科學(xué)發(fā)現(xiàn)年齡定律的再探討

周愛民

（鄭州大學(xué)圖書館 河南 鄭州 450002）

梁立明、 趙紅洲已探討過科學(xué)發(fā)現(xiàn)年齡定律。 他們探討的科學(xué)發(fā)現(xiàn)年齡定律分析方法已作為經(jīng)典方法進(jìn)入了許多科學(xué)計量學(xué)書中。 為了探索出科學(xué)發(fā)現(xiàn)年齡符合威布爾分布，我們希望不作任何參數(shù)假定的情況下，得到威布爾分布的參數(shù)，為此我們從威布爾分布基本概念談起。

1 威布爾分布基本概念

定義：若非負(fù)隨機變量X 有分布函數(shù)

其中a、γ、k 均大于0，則稱X（或F（x））有威布爾分布。設(shè)隨機變量x 服從三參數(shù)威布爾分布，則其概率密度函數(shù)和累積概率分布函數(shù)為

其中，K＞0 為形狀參數(shù)，a＞0 為尺度參數(shù)，γ≥0 為位置參數(shù)。

表1 1500-1960 年按世紀(jì)分期重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)與年齡的統(tǒng)計數(shù)據(jù)

2 重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)的年齡數(shù)據(jù)（表1）

3 數(shù)據(jù)處理

威布爾分布一般只給出時間， 即第一個數(shù)值產(chǎn)生的時間、第二個數(shù)值產(chǎn)生的時間、第三個數(shù)值產(chǎn)生的時間、…、第n個數(shù)值產(chǎn)生的時間。 但1500-1960 年按世紀(jì)分期重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)與年齡的統(tǒng)計數(shù)據(jù)卻是分組型數(shù)據(jù)，即每十歲間產(chǎn)生了多少重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)，因此我們不能直接利用威布爾模型。 我們必須給出新的方法。 我們僅分析1601-1700 年期間的數(shù)據(jù)。由于此數(shù)據(jù)表給出的是歲數(shù)與發(fā)生的頻率，而不是重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生時的具體歲數(shù)，所以我們下面用威布爾累積概率分布函數(shù)來作為擬合模型。

威布爾模型中，F(xiàn)（x）表示累積概率。 顯然我們可以把問題轉(zhuǎn)化成：

F（20）-F（10）=0.05

F（30）-F（20）=0.28

F（40）-F（30）=0.26

F（50）-F（40）=0.24

F（60）-F（50）=0.09

F（70）-F（60）=0.08

為此我們定義一個新差函數(shù)

Φ（x）的值如表2。

表2 Φ（x）的值

顯然這是一個一元非線性回歸問題， 我們利用dps 軟件中的一元非線性回歸程序計算得：

R2=0.9077，擬合精度還可以。我們考慮到x＞12.7164 則定義累積概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)為：

我們考慮到x＞12.7164，計算區(qū)間概率值P，區(qū)間概率值P與差函數(shù)Φ（x）的擬合值（x）的唯一差別是第一個值不同，（x）中的]在x＜12.7164 處取非0 值，而

則

在x＜12.7164 處只能是0 值， 因此， 區(qū)間概率值P 在x＜12.7164 處只能是0 值。 二者矛盾，因此，必須按定義的累積概率分布函數(shù)計算區(qū)間概率值P，得：

表3 計算結(jié)果分析

最大殘差為3.3715。

4 分布檢驗

設(shè)數(shù)組數(shù)為k，各組頻數(shù)為fi，總頻數(shù)為n，那么有卡方

定理，若n 充分大，則不論總體服從什么分布，統(tǒng)計量

總是近似地服從自由度為k-r-1 的χ2分布。

其中r 是被估參數(shù)的個數(shù)，pi是被假定分布的概率（即計算出的概率），而不是原頻率所決定的觀察概率。 這個定理告訴我們，只要能通過卡方檢驗，就可以認(rèn)為服從被假定的分布。

針對1601-1700 年期間的數(shù)據(jù)擬合結(jié)果，有

5 最佳發(fā)現(xiàn)年齡

最佳發(fā)現(xiàn)年齡的特點是成果增加最快， 成果增加最快處，累積函數(shù)

數(shù)量增加也最快，因此，該式的導(dǎo)數(shù)最大。 即

即：

化簡后可寫成下式：

解得：

我們把各個參數(shù)代入得：

x≈32.39

6 重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)的年齡半衰期

我們令

利用DPS 軟件求得

x=36.3089

即1601-1700 這個世紀(jì)完成世界上全部重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)的一半年齡是36.3089 歲。

7 結(jié)語

從前邊分析知： 重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)年齡確實服從威布爾分布。 一般而言威布爾分布位置參數(shù)要小于自變量的最小值，但具體是多少，必須進(jìn)行計算。

［1］程侃.壽命分布類與可靠性數(shù)學(xué)理論[M].科學(xué)出版社，1999：25-26.

［2］梁立明，趙紅州.科學(xué)發(fā)現(xiàn)年齡定律是一種威布爾分布[J].自然辯證法通訊，1991（1）.