有限群的完全c－置換子群與超可解性

劉玉鳳

（山東工商學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，山東 煙臺(tái)264005）

利用置換子群的性質(zhì)研究群的結(jié)構(gòu)是群論研究者感興趣的課題之一。早在1939年，文 [1]就證明了有限群的每個(gè)置換子群都是次正規(guī)的。1962年，文 [2]證明了對(duì)有限群G的每個(gè)置換子群H，H/HG，是冪零群。隨后文 [3－4]證明了π－擬正規(guī)子群和置換子群有類(lèi)似的性質(zhì)。2005年，文 [5]給出了有限群的c－置換與完全c－置換子群的概念，研究了其性質(zhì)，獲得了一系列結(jié)果。本文利用完全c－置換子群的概念，探討了極小子群的超中心性對(duì)群結(jié)構(gòu)的影響。

文中用p，q，r…表示素?cái)?shù)，π表示素?cái)?shù)的某個(gè)集合。π（G）表示G的階｜G｜的所有素因數(shù)的集合；N?G表示N是G的正規(guī)子群；H≤G表示H是G的子群；｜G∶H｜表示H在G的指數(shù)。Zμ（G）表示群G的超可解超中心。

文中所有群為有限群，所引用的概念和術(shù)語(yǔ)是標(biāo)準(zhǔn)的。未交代的可參見(jiàn)文 [6]。

1 基本概念和引理

定義1 設(shè)T，H是群G的子群。那么

（1）H和T稱(chēng)為在G中c－置換，如果對(duì)于某些x∈G，有HTx＝TxH。

（2）H稱(chēng)為在G中c－置換，如果H和G的所有子群c－置換。

定義2 設(shè)T，H是群G的子群。那么

（1）H和T稱(chēng)為在G中完全c－置換，如果H和T在＜H，T＞中c－置換。

（2）H稱(chēng)為在G中完全c－置換，如果對(duì)G的每個(gè)子群K，H和K在＜H，K＞中c－置換。

為了證明本文的主要結(jié)果，需要下列引理：

引理1[5]設(shè)G是群，K?G，H≤G。那么下列結(jié)論成立：

1）如果H和T在G中完全c－置換，且K≤T≤G，則KH/K和T/K在G/K中完全c－置換。

2）如果K≤H，T≤G且H/K和KT/K在G/K中完全c－置換，則H和T在G中完全c－置換。

3）如果T≤M≤G，H≤M且H和T在G中完全c－置換，則H和T在M中完全c－置換。

引理2[6]設(shè)χ是子群閉的局部群系，H是G的子群，則H∩Zx（G）?Zx（H）。

引理3[6]設(shè)G為極小非超可解群，P＝Gμ。那么下列斷言正確：

1）P是群G的Sylowp－子群，對(duì)于某一素?cái)?shù)p；

2）如果S是P在G中的補(bǔ)，那么S/S∩Φ（G）或是準(zhǔn)素循環(huán)群或是極小非交換群。

引理4[7]設(shè)G為極小非超可解群。則下列斷言正確：

1）G為可解群且｜π（G）｜≤3；

2）如果G不是斯米特群，那么G是西洛塔群；

3）G有唯一非單位正規(guī)Sylow子群。

引理5[8]設(shè)G為極小非超可解群，則

1）G＝PQ，P為G的正規(guī)非循環(huán)Sylowp－子群，Q超可解，P/Φ（P）是G/Φ（P）的極小正規(guī)子群；

2）如果p＞2，那么exp（P）＝p；如果p＝2，那么exp（P）≤4，此時(shí)G為極小非冪零群；

3）當(dāng)P為交換群時(shí)，P為初等交換群；

4）當(dāng)P是非交換群時(shí)，Φ（P）＝Z（P）＝P′；

5）存在x∈P＼Φ（P），使得＜x＞不是G的正規(guī)子群。

引理6[9]設(shè)χ是飽和群系，G是群，N是G的正規(guī)子群且G/N∈χ。如果N的素?cái)?shù)階元或4階元都包含在Zx（G）中，那么G∈χ。

2 主要結(jié)果

定理1 如果群G的4階循環(huán)子群在G中完全c－置換且G的任意極小子群含于G的超可解超中心Zμ（G）中，那么G是超可解群。

證明 設(shè)G是使結(jié)論不成立的極小階反例。

設(shè)L是G的任意一個(gè)真子群。由條件，L的4階循環(huán)子群在G中完全c－置換，所以由引理1知，L的4階循環(huán)子群在L中完全c－置換。而L的極小子群為G的極小子群，所以由給定的條件及引理2，L的任意極小子群含于L的超可解超中心Zμ（L）。因此G的每個(gè)真子群都滿(mǎn)足定理的條件，于是由G的選擇知G的所有真子群是超可解群，即G為極小非超可解群。由引理3，引理4，G可解且存在正規(guī)的Sylowp－子群P＝Gμ，p∈π（G），由引理5，P/Φ（P）是G/Φ（P）的極小正規(guī)子群。

（1）如果p＝2，由引理5，exp（P）≤4。P＝Gμ為群G的Sylow2－子群?？梢詳喽≒＼Φ（P）中沒(méi)有四階元。事實(shí)上，如果存在四階元x∈P＼Φ（P），則由條件＜x＞在G中完全c－置換。設(shè)K＝＜x＞，Q是K在G中的補(bǔ)子群。由題設(shè)，對(duì)于某些素?cái)?shù)t∈＜K，Q＞，有KQt＝QtK。由Dedekind恒等式，P∩KQt＝K（P∩Qt）＝K?KQt，這表明KQt?NG（K）。因此，對(duì)于p，q∈π（G），q≠p時(shí)，有q不能整除｜G∶NG（K）｜。由于P/Φ（P）是初等交換群，其子群KΦ（P）/Φ（P）?P/Φ（P）且有KΦ（P）/Φ（P）?PΦ（P）/Φ（P）。而由Qt?NG（K）可得KΦ（P）/Φ（P）?G/Φ（P），因此KΦ（P）?G。從而得到Φ（P）＜KΦ（P）≤P，由此得P＝K。矛盾。這表明P中的元都是二階元。于是由給定的條件可得P的所有元都包含在G的超可解超中心Zμ（G）中。由引理5，引理6，G是超可解群，矛盾。

（2）如果p＞2，由引理5，exp（P）＝p。于是由給定的條件，P的所有元都包含在G的超可解超中心Zμ（G）中。由引理5，引理6，可知G是超可解群，矛盾。

以上的矛盾表明G是超可解群。

定理2 設(shè)N?G且G/N是超可解群。如果N的任意4階循環(huán)子群在G中完全c－置換且N的任意極小子群包含在G的超可解超中心Zμ（G）中，那么G是超可解群。

證明 設(shè)結(jié)論不成立并選取G為極小階反例。

設(shè)L為群G的任一真子群。由N?G知N∩L?L，于是L/N∩L?NL/N≤G/N。因此由給定的條件L/N∩L超可解。又N∩L的任意極小子群是群N的極小子群，于是由條件及引理2，N∩L的任意極小子群包含在Zμ（L）中。而N∩L的4階循環(huán)子群也是N的4階循環(huán)子群，所以由條件及引理1，N∩L的4階循環(huán)子群在L中完全c－置換。因此群G的每個(gè)真子群滿(mǎn)足定理的條件。由G的選擇知群G為極小非超可解群。由引理3，引理4，G可解且存在正規(guī)的Sylowp－子群P＝Gμ，p∈π（G）。由引理5，P/Φ（P）是G/Φ（P）的極小正規(guī)子群。

如果N＝1，那么由條件G是超可解群，矛盾。如果N＝G，那么由定理1，G是超可解群，矛盾。因此，1＜N＜G。由于G/N超可解，所以P＝Gμ≤N。

（1）若p＞2，則由引理5，exp（P）＝p。于是由定理的條件知P?Zμ（G）。由引理5，由引理6，G是超可解群，矛盾。

（2）若p＝2，則由引理5，exp（P）≤4。P＝Gμ為群G的Sylow2－子群?？梢詳喽≒＼Φ（P）中沒(méi)有四階元。事實(shí)上，如果存在四階元x∈P＼Φ（P），則由條件＜x＞在G中完全c－置換。設(shè)K＝＜x＞，Q是K在G中的補(bǔ)子群。于是由題設(shè)，對(duì)于某些素?cái)?shù)t∈＜K，Q＞，有KQt＝QtK。由Dedekind恒等式，得P∩KQt＝K（P∩Qt）＝K?KQt，這表明KQt?NG（K）。因此，對(duì)于p，q∈π（G），q≠p時(shí)，有q不能整除｜G∶NG（K）｜。由于P/Φ（P）是初等交換群，其子群KΦ（P）/Φ（P）?P/Φ（P）且KΦ（P）/Φ（P）?PΦ（P）/Φ（P）。而由Qt?NG（K）可得KΦ（P）/Φ（P）?G/Φ（P），因此有KΦ（P）?G。從而得到Φ（P）＜KΦ（P）≤P，由此得P＝K。矛盾。因此P中的元都是二階元。于是由給定的條件可得P的所有元都包含在G的超可解超中心Zμ（G）中。由引理5，由引理6，G是超可解群，矛盾。

以上的矛盾表明定理成立。

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