深化、變化、串化、優(yōu)化——新課程背景下高三例題教學(xué)有效性的探討

☉廣東省信宜市信宜中學(xué) 吳程北

例題作為教學(xué)內(nèi)容的重要組成部分，成為了數(shù)學(xué)核心概念、教學(xué)重點(diǎn)等知識和能力培養(yǎng)的主要載體，其作用不言而喻：有助于學(xué)生鞏固、深化新學(xué)數(shù)學(xué)知識，領(lǐng)悟和掌握隱含于其中的重要數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練良好的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的能力，發(fā)展學(xué)生的智力.但很多教師對例題處理往往過于簡單，有時(shí)甚至一筆帶過，特別是在原教學(xué)方法慣性思維的牽引下，存在著機(jī)械傳授、例題解決表面化、教師講授與學(xué)生脫節(jié)等問題，聽到的經(jīng)常是“我這類例題講了n遍，學(xué)生還是不會”.所以在高三這個(gè)關(guān)鍵時(shí)刻，教師如何從茫?！邦}?！敝芯x并提煉出具有思維價(jià)值的典型問題，是擺在每一位高三教師面前迫切需要解決的課題.本人根據(jù)自己的教學(xué)實(shí)踐總結(jié)出“四化”，即將例題深化、變化、串化、優(yōu)化.

一、將教材的例題和習(xí)題“深化”，鞏固“雙基”

教材是學(xué)生學(xué)習(xí)最重要的文本資源，是高考試題最重要的素材來源，歷年高考題很多直接由教材的例題、習(xí)題改編而成.無論任何資料都不可能覆蓋所有考點(diǎn)，只有教材才能覆蓋所有考點(diǎn).同時(shí)課本中的例題和習(xí)題具有示范性、典型性和導(dǎo)向性，是課本的精髓.如果我們在復(fù)習(xí)中能恰當(dāng)對教材中的一些例題和練習(xí)題加以利用，發(fā)掘其潛在價(jià)值并進(jìn)行拓展，往往能起到意想不到的效果.但面對琳瑯滿目的訓(xùn)練題和各種各樣的測試題目，教師往往忽略了課本中的例題和習(xí)題，嚴(yán)重出現(xiàn)了“本末倒置”的現(xiàn)象，導(dǎo)致考試時(shí)很多試題雖然是來自于課本，但還是讓很多考生倍感困惑，成為解題中的障礙和失分點(diǎn).針對這些情況，本人提出在例題教學(xué)中要將教材的例題和習(xí)題“深化”.

案例1 （人教A版教材必修1習(xí)題1.3A組第6題）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x（1+x），畫出函數(shù)f（x）的圖像，并求出函數(shù)的解析式.

A.（-∞，-1）∪（2，+∞）B.（-1，2）

C.（-∞，-2）∪（1，+∞）D.（-2，1）

分析：本題往往采取分段函數(shù)分段處理的方法，或者畫出函數(shù)的圖像，利用函數(shù)的單調(diào)性處理，前者需要比較多的運(yùn)算，后者需要時(shí)間去作圖分析.如果能從整體上看這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式，你就會發(fā)現(xiàn)不正是上述的奇函，數(shù)嗎？并且在區(qū)間［0，+∞］上單調(diào)遞增，因而函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增.所以由f（2-a2）>f（a）及函數(shù)的單調(diào)性的定義，得2-a2>a，解得-2

A.f（x1）+f（x2）<0B.f（x1）+f（x2）>0

C.f（x1）-f（x2）<0D.f（x1）-f（x2）>0

分析：先觀察函數(shù)的解析式，不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)是偶函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，并且與y軸交于點(diǎn)（0，-1），由函數(shù)為偶函數(shù)，得（函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增），則f（x1）

由以上案例可見，教師應(yīng)這樣“加工”課本的例習(xí)題：①可以引導(dǎo)學(xué)生有意識的回歸課本，重溫課本中的基本概念、基本題型和基本方法；②可以有意識地培養(yǎng)學(xué)生用熟悉的方法解決新（陌生）的問題，即化歸的思想方法；③培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力和發(fā)散思維；④進(jìn)行相關(guān)的類題訓(xùn)練可以減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)，提高復(fù)習(xí)效率，起到溫故而知新的目的.

二、將例題“變化”，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性

將例題“變化”，即變式，就是不斷變換問題呈現(xiàn)的方式，使事物的非本質(zhì)特征時(shí)隱時(shí)現(xiàn)，而事物的本質(zhì)特征保持不變.通過開展變式教學(xué)，有意識地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探索“變”的規(guī)律.所以要發(fā)揮例題教學(xué)以點(diǎn)帶面的功能，就要對例題進(jìn)行“變化”，挖掘問題的內(nèi)涵和外延，提高思維的深度和廣闊性，培養(yǎng)學(xué)生隨問題變化而變化的應(yīng)變能力，達(dá)到“講一題，學(xué)一法，會一類，通一片”.

案例2已知函數(shù)f（x）=x2－2x+2，求其在區(qū)間［0，2］上的最值.

在教學(xué)中我對案例2進(jìn)行了下面的一些題組變化.

變式1（把對稱軸放在區(qū)間外）求函數(shù)f（x）=x2－2x+2在區(qū)間［0，2］上的最值；

變式2（將定區(qū)間變?yōu)閯訁^(qū)間）求函數(shù)f（x）=x2－2x+2在區(qū)間［t，t+2］上的最值；

變式3（將定對稱軸變?yōu)閯訉ΨQ軸）求函數(shù)f（x）=x2－2mx+2在區(qū)間［0，2］上的最值；

深化（一般情況）求函數(shù)f（x）=ax2+bx+c在區(qū)間［m，n］上的最值.

三、將例題“串化”，培養(yǎng)學(xué)生的化歸能力

將例題“串化”，也就是在教學(xué)過程式中，教師要有意識地將“形異質(zhì)同”、“形同質(zhì)異”的題目，將其串珠成線在一起，根據(jù)學(xué)生的不同認(rèn)知水平，通過“形異質(zhì)同”、“形同質(zhì)異”的例題和習(xí)題訓(xùn)練，讓學(xué)生從“異”中發(fā)現(xiàn)“同”的現(xiàn)象，從“同”中發(fā)現(xiàn)“異”的本質(zhì)，這樣既為訓(xùn)練思維、深化認(rèn)識、優(yōu)化認(rèn)知提供契機(jī)，又培養(yǎng)學(xué)生解題能力和抽象概括能力，使他們對有關(guān)的概念、知識、思想方法及其內(nèi)在聯(lián)系有了更深刻的理解.

1.“形異質(zhì)同”型.

串2：直線y=kx+2與雙曲線x2－3y2=3恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B且∠AOB為直角（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

把串2中的“∠AOB為直角”改為“∠AOB為銳角”或“∠AOB為鈍角”，其他條件不變都可以.

不難發(fā)現(xiàn)題目從表面上看是不同的問題，但本質(zhì)不變，都是聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，再用韋達(dá)定理求解.課堂上教師經(jīng)常進(jìn)行這種“形異質(zhì)同”習(xí)題的訓(xùn)練，呈現(xiàn)其通性通法，可以避免搞題海戰(zhàn)術(shù)，有效減輕學(xué)生的復(fù)習(xí)負(fù)擔(dān)，讓學(xué)生在復(fù)習(xí)中既可見“樹木”又見“森林”.

2.“形同質(zhì)異”型.

案例4（1）設(shè)函數(shù)f（x）=lg（ax2－x+a）的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)f（x）=lg（ax2－x+a）的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

這些問題看似相同，實(shí)則不同，容易混淆.因此教師在復(fù)習(xí)時(shí)要善于引導(dǎo)學(xué)生將習(xí)題歸類，善于對比思考，推敲它們之間的區(qū)別和聯(lián)系，集中精力解決同類問題中的本質(zhì)問題，總結(jié)出解這一類問題的方法和規(guī)律.

四、將例題解法“優(yōu)化”，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性

對于一道數(shù)學(xué)題，由于審視的角度不同，而得到不同的解題方法.在例題教學(xué)中，教師若能抓住一切有利時(shí)機(jī)，經(jīng)常有意識地啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生在所學(xué)的知識范圍內(nèi)，盡可能地提出不同的新構(gòu)想，追求更好、更簡、更美、更優(yōu)的解法，這不僅僅有利于基礎(chǔ)知識的縱橫聯(lián)系和溝通，而且也有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力和創(chuàng)新能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的信息收集和整理能力、發(fā)展問題和思考問題的能力、分析和解決問題的能力.因此例題教學(xué)應(yīng)逐層遞進(jìn)，層層優(yōu)化，引導(dǎo)學(xué)生在探索和發(fā)現(xiàn)問題的過程中去繁就簡，優(yōu)化思路，為學(xué)生主動構(gòu)建知識體系、實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的整體優(yōu)化建立橋梁.

案例5 從圓（x-1）2+y2=1外一點(diǎn)P（2，3）向該圓引切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B，求直線AB的方程.

教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生容易從直觀入手分析，即由切線求切點(diǎn).由圓心（1，0）到切線的距離等于半徑，求得切線方程為x=2和4x－3y+1=0，從而得到切點(diǎn)即得直線AB的方程為x+3y－2=0.此法符合學(xué)生的思維特點(diǎn)，易被學(xué)生掌握，但運(yùn)算量較大，如何優(yōu)化使求切線方程更簡潔呢？

優(yōu)化1：由兩圓相交求切點(diǎn).

設(shè)已知圓的圓心為C，根據(jù)平面幾何性質(zhì)：切點(diǎn)是以PC為直徑的圓與圓C的交點(diǎn)，以PC為直徑的圓的方程為（x－2）（x－1）+y（y－3）=0，與圓C的方程（x-1）2+y2=1聯(lián)立，得切點(diǎn)B（2，0），從而得直線AB的方程x+3y－2=0.運(yùn)用平面幾何性質(zhì)，減少運(yùn)算量，簡化了解題過程.值得思考的是：要求過切點(diǎn)的直線方程，是否一定要求出切點(diǎn)的坐標(biāo)？解題理念的突破，為學(xué)生優(yōu)化解題提供了動機(jī).

優(yōu)化2：巧用設(shè)而不求法.

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），在優(yōu)化1中，將兩圓的方程相減，得x+3y－2=0（*）.由于兩個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)滿足這兩個(gè)圓的方程，所以也滿足（*），而方程（*）是關(guān)于x、y的一次方程，這說明方程（*）即為過切點(diǎn)A、B的直線方程.這種簡明的推理過程，無疑會激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)樂趣，促進(jìn)他們挖掘新的思維通道.

優(yōu)化3：逆向思維.

變換視角，將點(diǎn)P看做兩切線的交點(diǎn).設(shè)切點(diǎn)為A（x1，y1）、B（x2，y2），則切線PA的方程為（x－1）（x1－1）+yy1=1.PA過點(diǎn)P（2，3），將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入，化簡得x1+3y1－2=0.同理可得x2+3y2－2=0.由這兩個(gè)方程知切點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐標(biāo)都滿足方程x+3y－2=0.故此方程即為過點(diǎn)A、B的直線方程.

這三種解法分別從不同角度出發(fā)，溝通了知識的縱向、橫向聯(lián)系，通過分析、聯(lián)想，使學(xué)生思維產(chǎn)生質(zhì)的飛躍，獲得嶄新而巧妙的最優(yōu)解法，這樣訓(xùn)練有利于學(xué)生的解題，優(yōu)化了思維品質(zhì).在整個(gè)過程中把握數(shù)學(xué)的靈魂——思想方法和知識的精髓，通過學(xué)生探索知識的形成過程，讓學(xué)生參與到發(fā)現(xiàn)或解決數(shù)學(xué)問題的情境中，探索解決問題的最佳思路，可以很好地吸引學(xué)生從多角度觀察、思考、聯(lián)想、概括并獲得多種解題路徑，從而不斷掀起學(xué)生的思維浪花，使他們既開闊了視野，又增添了興趣，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)的艱辛和成功的喜悅，也感受到數(shù)學(xué)的美妙與情趣.同時(shí)，在師生的共同探索中去繁就簡，優(yōu)化思路，培養(yǎng)了思維的靈活性和深刻性，有效地培養(yǎng)學(xué)生的探究能力.

總之，例題教學(xué)的有效性提高是一個(gè)值得我們不斷總結(jié)、不斷完善的課題，本文總結(jié)出來的例題教學(xué)“四化”，是自己在教學(xué)中不斷實(shí)踐總結(jié)出來的，還有一些地方需要完善、推敲.