基于貝葉斯估計法的礦區(qū)地表沉降預(yù)測組合模型*

吳偉強，王衛(wèi)紅，訾應(yīng)昆，耿詩畫，冉茂瑩

(1.西南科技大學(xué) 環(huán)境與資源學(xué)院，四川 綿陽 621010；2.國家遙感中心綿陽科技城分部，四川 綿陽 621010)

0 引言

甘肅金昌是我國最大的鎳生產(chǎn)基地，鎳礦資源占全國總儲量的62%，被譽為“中國鎳都”[1]。2016年至今，持續(xù)的地下開采導(dǎo)致金昌龍首礦西二采區(qū)采場塌陷并引發(fā)地面沉降。為確保礦區(qū)生產(chǎn)安全及最大限度地回采剩余鎳礦資源，對礦區(qū)地表沉降開展預(yù)測研究具有重要意義。

礦區(qū)地表沉降機理復(fù)雜且影響因素眾多，但仍具有一定的趨勢性。差分整合移動平均自回歸(Autoregressive Integrated Moving Average, ARIMA)模型在應(yīng)對具有趨勢性的問題時具有較好的表現(xiàn)[2]，徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型因能夠逼近任意非線性函數(shù)而可以應(yīng)對多影響因素和非線性問題[3]。但是單一模型的精度很難滿足當(dāng)前的礦區(qū)地表沉降預(yù)測需求，將單一預(yù)測模型進(jìn)行組合，發(fā)揮各模型的優(yōu)勢來提高預(yù)測精度是未來沉降預(yù)測領(lǐng)域的發(fā)展趨勢[4-8]。本文基于貝葉斯估計法，將ARIMA模型和徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行組合，通過將組合模型與單一模型和殘差修正組合模型進(jìn)行對比，驗證該模型的綜合性能，以期為礦山地表沉降預(yù)測提供另一種有效方法。

1 建立預(yù)測模型

為了驗證本文提出的基于貝葉斯估計法的組合預(yù)測模型在礦區(qū)沉降預(yù)測中的優(yōu)勢，共采用4種模型進(jìn)行預(yù)測對比。首先采用ARIMA模型和徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行單一模型預(yù)測，再將兩種單一模型分別采用殘差修正法和貝葉斯估計法進(jìn)行組合模型預(yù)測。

1.1 單一預(yù)測模型

1.1.1 ARIMA模型

ARIMA模型是針對時間序列預(yù)測的常見模型。ARIMA(p,d,q)模型可表示為

(1)

式中：φi為自相關(guān)系數(shù)；Xt為當(dāng)前項；θi為偏自相關(guān)系數(shù)；εt為噪聲項；p為自回歸階數(shù)；q為移動平均階數(shù)；L是滯后算子；d為差分階數(shù)，d∈Z，d>0，而當(dāng)d=0時，ARIMA模型等同于ARMA模型(即平穩(wěn)時間序列模型)[9]。本文通過計算得出的最適合研究區(qū)沉降數(shù)據(jù)的參數(shù)值為：p=5，q=5，d=0。

指數(shù)平滑預(yù)測法是以本期歷史監(jiān)測數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，引入平滑系數(shù)，以求得平均數(shù)的一種時間序列預(yù)測法，其計算式為

(2)

1.1.2 徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

1988年LOWE和BROOMHEAD提出將徑向基函數(shù)引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中。徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)因具有結(jié)構(gòu)簡單、收斂速度快、能夠逼近任意非線性函數(shù)等優(yōu)勢而得到了廣泛應(yīng)用[10-12]。徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是由三層構(gòu)成的前向網(wǎng)絡(luò),其模型可以表示為

(3)

本文擬采用的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)策略采用隨機選取固定中心，傳遞函數(shù)采用高斯函數(shù)：

(4)

式中，δi為頻帶系數(shù)。

在隨機選取固定中心的方法中，唯一需要訓(xùn)練的參數(shù)是隱含層與輸出層之間的權(quán)值，其步驟敘述如下。

1)選取基函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差

(5)

式中，dmax為所選中心之間的最大距離，n為隱含節(jié)點的個數(shù)。

2)確定中心和標(biāo)準(zhǔn)差后，得到基函數(shù)

i=1,2,…,n。

(6)

3)采用偽逆法，輸出權(quán)值矩陣ω

ω=G+d，

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1.2 組合模型

1.2.1 殘差修正組合模型

礦區(qū)沉降時間序列具有趨勢性與隨機性的特征，故采用ARIMA模型提取序列中的趨勢性，采用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型提取序列中的隨機性。具體步驟如下：

根據(jù)以上步驟求得殘差修正組合模型的最終預(yù)測結(jié)果：

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1.2.2 貝葉斯估計法組合模型

貝葉斯估計法根據(jù)多個不同基本模型當(dāng)前時刻之前的預(yù)測表現(xiàn)對各個模型動態(tài)賦權(quán)[13-14]。本文將ARIMA模型與徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型作為基本模型進(jìn)行組合，某一特定點的沉降量序列可由n個基本預(yù)測模型中任意一個模型來描述產(chǎn)生，即

(9)

(10)

根據(jù)貝葉斯定理可知

(11)

(12)

Prob(yt/yt-1,…,y1,Z=n)

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合并式(12)和式(13)得

(14)

總結(jié)第t+1時刻的預(yù)測結(jié)果，用N個預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果組合表示為

(15)

2 實驗與結(jié)果分析

2.1 研究區(qū)概況

本文以甘肅省金昌市的金川硫化銅鎳礦龍首礦西二采區(qū)為研究對象(簡稱“西二采”)。西二采礦區(qū)地勢較平坦，平均海拔在1 500～1 800 m。地表無水系，屬溫帶大陸性氣候。由于持續(xù)的地下開采，西二采地表塌陷、裂縫明顯，形成了巨大的安全隱患。目前沉降區(qū)面積約1.1 km2，其位置如圖2所示。

圖2 沉降區(qū)位置

2.2 礦區(qū)SBAS-InSAR監(jiān)測及分析

本文選取2019年3月22日至2020年6月8日共38個時相的Sentinel-1A衛(wèi)星C波段升軌斜距單視復(fù)數(shù)(SLC)SAR影像(相鄰兩個時相的時間間隔為12 d)，采用SARscape5.2.1軟件進(jìn)行SBAS數(shù)據(jù)處理，提取了37期地表沉降信息。累積沉降值見圖3。

圖3 累積沉降值

由圖3可以看出，礦區(qū)沉降區(qū)域大致呈橢圓形，礦區(qū)在監(jiān)測時間內(nèi)最大累積沉降量達(dá)-168.4 mm。本文以最大累積沉降點sample O作為坐標(biāo)原點，分別以橢圓形沉降區(qū)的短軸和長軸為橫向和縱向，各選取4個樣本點(sample 1-sample 4、sample 5-sample 8)，包括原點在內(nèi)共9個樣本點。

各樣本點沉降變化曲線如圖4所示。由圖4可知，各樣本點的累積沉降值以及沉降趨勢相差不大，均在第1-第15期沉降較慢，第16-第37期沉降較快。

圖4 各樣本點沉降變化曲線

2.3 模型沉降預(yù)測及結(jié)果分析

本文將SBAS-InSAR的前30期監(jiān)測數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，對后7期(2020年3月28日-2020年6月8日)的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，并將后7期SBAS實際監(jiān)測值與預(yù)測值進(jìn)行對比分析。表1為各個模型的前30期擬合度(以sample 1為例)，表中的R2為模型的判定系數(shù)，MAE為平均絕對誤差，RMSE為均方根誤差。表2為各個模型的預(yù)測值與相對誤差(以sample 1為例)。

表1 各個模型的擬合度

表2 各個模型預(yù)測值與相對誤差

為驗證上述4種預(yù)測模型的有效性，以9個樣本點預(yù)測值的MAE、MAPE(平均相對誤差)、RMSE為評價指標(biāo)，計算公式分別見式(16)、式(17)、式(18)，計算結(jié)果見表3。

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(17)

(18)

表3 不同模型預(yù)測精度比較

從表3可以看出：ARIMA模型的MAPE達(dá)到了11.40%(一般認(rèn)為MAPE低于10%時，模型可以使用)，單一的ARIMA模型在中長期地表沉降預(yù)測中應(yīng)用效果較差；而單一的徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型各項性能指標(biāo)均優(yōu)于單一的ARIMA模型，可以滿足中長期地表沉降預(yù)測的基本需求；基于貝葉斯估計法和殘差修正法的兩種組合模型的MAE和MAPE以及RMSE指標(biāo)均優(yōu)于單一模型，但是殘差修正法組合模型與徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型相比，各項性能指標(biāo)的差距均不大；貝葉斯估計法組合模型相對其他3種模型的各項指標(biāo)均有較大提升，為最佳預(yù)測模型。

3 結(jié)論

以金川硫化銅鎳礦龍首礦西二采為研究對象，采用38景SAR影像進(jìn)行SBAS-InSAR地表沉降監(jiān)測，得到該地區(qū)37期累積沉降量，根據(jù)9個樣本點的前30期累積沉降數(shù)據(jù)建立4種模型，分別計算得到后7期的預(yù)測值，并將其與實際值比較來測試4種模型的精度和適用性，得到以下主要結(jié)論：

a.基于殘差修正法將ARIMA模型和徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)各自的優(yōu)勢進(jìn)行組合，采用貝葉斯估計法根據(jù)兩種單一模型當(dāng)前時刻之前的預(yù)測表現(xiàn)對單一模型動態(tài)賦權(quán)，有效克服了單一模型的缺陷。預(yù)測實驗結(jié)果表明：兩種組合模型精度均優(yōu)于單一模型，可以應(yīng)用于礦山地表沉降預(yù)測。

b.基于貝葉斯估計法的ARIMA和徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合模型的性能不僅優(yōu)于單一模型，而且與基于殘差修正法的組合模型相比，其性能有大幅提升，得到的MAE為3.326 mm、MAPE為2.65%、RMSE為6.254 mm。

c.本文提出的基于貝葉斯估計法的組合預(yù)測模型有效提高了模型的預(yù)測精度，為礦山地下開采引起的地表沉降預(yù)測提供了另一種有效方法。