數(shù)的起源和算具的發(fā)展

陶濟(jì)林

（太原市財貿(mào)學(xué)校，山西 太原 030006）

當(dāng)你按著計算器的數(shù)字鍵計算時，當(dāng)你使用現(xiàn)代計算機(jī)處理大量數(shù)據(jù)時，你可曾想到，我們的祖先是如何計記數(shù)和計算的呢？讓我們沿著歷史的脈絡(luò)一起來探尋數(shù)的起源和算具的發(fā)展吧！

1 數(shù)的產(chǎn)生和記數(shù)符號的出現(xiàn)

人們對于數(shù)的認(rèn)識，并不是天生就有的。遠(yuǎn)古時代，人們靠采集和圍獵為生。有無獵物或果實(shí)，關(guān)系到古人的生存，而“有”和“無”的問題，孕育了人類最初的數(shù)學(xué)思想。對“有”的進(jìn)一步認(rèn)識，又產(chǎn)生了另一個數(shù)學(xué)問題：“多”與“少”，要想知道有多少果實(shí)或獵物，就要作個比較，和什么作比較呢？被拿來作為比較標(biāo)準(zhǔn)的東西就成了最初的記數(shù)工具。

手、耳、腳等人體器官成為了人類最早使用的天然記數(shù)工具。如果采集到的果實(shí)或打到的獵物與一只手的手指數(shù)相同，就稱其個數(shù)為“手”，如果與人的耳朵一樣多，就稱其個數(shù)為“耳”，如果與整個人的手指及腳趾數(shù)加起來一樣多，就稱“整個人”。所以，一旦成為記數(shù)的工具，一根手指就不僅僅是手指，它可以表示一頭羊、一個果子、一根木頭或任何別的東西。用手指、腳趾難以長時間記錄數(shù)據(jù)，并且表示的數(shù)量有限。經(jīng)過探索和實(shí)踐，古人發(fā)明了在繩子上打結(jié)的方式記數(shù)，這在我國古書《易經(jīng)》《莊子》中都有記載。

后來，古人又想到用小石子或木棒來幫助記數(shù)：在一堆待記數(shù)的物品中，每取出一個物品時，就放上一粒小石子或一根木棒，漸漸的，人們就習(xí)慣用石子或木棒來計算物品的個數(shù)，成為了通用的記數(shù)工具。

而在世界上，其他民族也大多經(jīng)歷了結(jié)繩記數(shù)的階段。古代印加人運(yùn)用繩結(jié)的數(shù)量、尺寸、顏色和形狀來記錄莊稼的產(chǎn)量、租稅、人口以及其他資料和信息。印加王室用結(jié)繩法傳遞信息，統(tǒng)治著從厄瓜多爾到智利綿延3 500 km的印加帝國。

隨著生產(chǎn)的發(fā)展，要計數(shù)的物品越來越多，一些計算的結(jié)果還需要長期保存。這時用石子、木棒這種機(jī)械的、一一對應(yīng)的辦法來記數(shù)和計算就出現(xiàn)了麻煩，例如，不能為了計算10 000個物品，就用上10 000個石子或木棒，這暴露了實(shí)物計數(shù)法的局限性。于是，古人想出了用符號這種畫出來的工具來替代石子和木棒記數(shù)，使人類的記數(shù)方式產(chǎn)生了一次重大的飛躍。

用怎樣的符號來表示數(shù)呢？世界各地有不同的做法。中國是世界上最早采用符號記數(shù)的國家之一。商周時代，我們的祖先已有一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬的符號，并把它刻在龜甲和獸骨上。

大約公元前3 000年，古埃及人已經(jīng)開始用象形符號來代替實(shí)物記數(shù)了。公元前2 500年，巴比倫人采用兩種基本符號構(gòu)成了記數(shù)符號，它們是用一種截面為楔形的筆在泥板上刻寫而成，后人稱之為楔形符號。大約公元前6世紀(jì)，古希臘人已熟練采用了一種阿卡提數(shù)碼來記數(shù)。同期古羅馬人使用7個基本的符號并通過不同的搭配來表示不同的數(shù)字符號，即通常人們說的羅馬數(shù)字。居住在中美洲尤卡坦半島的瑪雅人是印第安人的一個部落，他們使用“·”和“-”兩個基本符號記數(shù)，“·”表示 1，“-”表示“5”，叫做橫點(diǎn)記數(shù)法，并采用縱式、二十進(jìn)制。

公元前2 500年前后，印度出現(xiàn)了哈拉巴數(shù)碼。公元前后又出現(xiàn)了婆羅門數(shù)碼和卡羅什奇數(shù)碼。到了6世紀(jì)，印度產(chǎn)生了十進(jìn)制的位值制數(shù)碼。8世紀(jì)已有了零的符號。印度位值制數(shù)碼約在9紀(jì)傳入阿拉伯地區(qū)并演變成了阿拉伯?dāng)?shù)字。我們現(xiàn)在通用的0,1,2,3,4,5,6,7,8,9就是阿拉伯?dāng)?shù)字，是在吸收古印度記數(shù)法和古希臘記數(shù)法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。

2 計算問題的產(chǎn)生和算具的演變

隨著生產(chǎn)水平的不斷提高，出現(xiàn)了越來越多的剩余產(chǎn)品，簡單的記數(shù)顯然已不能滿足人們的需要，他們遇到了大量加減、均分等問題，于是出現(xiàn)了“計算”問題。在長期的勞動實(shí)踐中，人們不但制定了數(shù)字符號，還發(fā)明了加減乘除等數(shù)學(xué)運(yùn)算符號，并在17世紀(jì)得到了廣泛的使用。

在中國，當(dāng)奴隸制社會從其初級階段向中級階段發(fā)展的時候，社會的生產(chǎn)力發(fā)生了新的變化，原始的計數(shù)工具已不能滿足社會生產(chǎn)和產(chǎn)品交換的需要，人們便引進(jìn)了一種統(tǒng)一的、可以代替數(shù)字的實(shí)物——籌?！断暮铌査憬?jīng)》將其記數(shù)法歸納為：“一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當(dāng)，滿六以上，五在上方，六不積算，無不單張”。而用算籌擺成數(shù)來進(jìn)行計算，稱為籌算。它是中國人獨(dú)創(chuàng)的計算方法，與現(xiàn)代筆算差異很大。這種算具使數(shù)字在計算中既直觀又抽象，體現(xiàn)了中國古代人的智慧。從我國最早的天文學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中可以推定：我國最遲在西周或西周以前就有了籌算，到了春秋戰(zhàn)國時期，人們已能熟練運(yùn)用。

漢朝是我國歷史上一個文化的繁榮時期，此時的天文、地理、歷法、水文、測量、數(shù)學(xué)發(fā)展到了一個較高的水平。對一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)命題只靠籌算來進(jìn)行，已經(jīng)不能勝任，于是一些新的計算工具和計算方法應(yīng)運(yùn)而生，如：太乙、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運(yùn)籌，把頭、了知、成數(shù)、計數(shù)、積算、珠算（使用游珠算盤）、龜算……

據(jù)史料考證：算盤在唐代就已經(jīng)出現(xiàn)了，起初并不完善，經(jīng)過發(fā)展可以用來做加減乘除以及求平方根和立方根等多種運(yùn)算，是當(dāng)時一種非常先進(jìn)的計算工具。它與籌算并存，最終在元代中葉后取代了籌算。我國古代算盤一般含有13檔算珠，當(dāng)中由一根橫梁隔開，每檔下有5顆算珠，每顆當(dāng)一，上有兩顆算珠，一顆當(dāng)五。算法主要采用口訣進(jìn)行。明代數(shù)學(xué)家程大位在《算法統(tǒng)宗》中，將各種算法編成口訣記載下來，對珠算的普及和傳播起到了很大的促進(jìn)作用。我國的算盤結(jié)構(gòu)簡單，好學(xué)易懂，運(yùn)算快捷，攜帶方便，流傳極為廣泛。它不僅對中國科技和經(jīng)濟(jì)的發(fā)展起到過有益的作用，而且流傳到日本、朝鮮及東南亞各國，對世界文明作出了重大貢獻(xiàn)。算盤被譽(yù)為“四大發(fā)明”之外的“第五大發(fā)明”。即使是在計算機(jī)時代的今天，人們還在使用算盤，國際上多次進(jìn)行的計算速度的比賽中，每次加減法速度的冠軍都是算盤，但是乘除法稍慢，為此，又研制出了電子計算器和算盤結(jié)合為一體的電子算盤。

文藝復(fù)興運(yùn)動給歐洲文明帶來了曙光。17世紀(jì)以后，數(shù)學(xué)和計算工具的發(fā)展重心轉(zhuǎn)移到了歐洲，各種各樣的計算機(jī)器不斷涌現(xiàn)，有力地推動了世界科技的發(fā)展。1642年法國人帕斯卡研制出了一臺手搖計算機(jī)，能計算8位數(shù)的加減法，叫做加法機(jī)。17世紀(jì)70年代德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲研究出了四則計算機(jī)。17世紀(jì)，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了一種算籌，能進(jìn)行乘、除、平方根、立方根等運(yùn)算。1890年美國人口普查中，豪列利特統(tǒng)計機(jī)發(fā)揮了神威。并在許多大企業(yè)的會計業(yè)務(wù)中發(fā)揮作用。

在一些人致力于研究各類機(jī)械計算機(jī)的同時，出現(xiàn)了另一批計算工具的探索者，他們從另一個角度探索計算工具的改革，這就是模擬計算機(jī)的研制。比機(jī)械計算機(jī)稍早出現(xiàn)和并行發(fā)展的各類計算尺，是最早的模擬計算工具。1620年，英國人岡特制造了一種計算尺，它可以把乘、除運(yùn)算化成加、減運(yùn)算。1632年，英國人奧特雷德發(fā)明了圓形計算尺和有滑尺的計算尺。19世紀(jì)中葉以后，出現(xiàn)了有游標(biāo)的現(xiàn)代型計算尺。后來又制造出了適應(yīng)各種要求的普通計算尺和專用計算尺。

20世紀(jì)初，各種尺算工具廣泛流傳。在計算機(jī)普及之前，許多國家的中學(xué)數(shù)學(xué)課程中都設(shè)有計算尺的教學(xué)內(nèi)容?，F(xiàn)代計算尺不僅可以做乘除、比例、平方、立方、開方、對數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)等運(yùn)算，還能解代數(shù)方程。計算尺曾被看做是科技進(jìn)步的象征，但是其準(zhǔn)確度依賴于模擬物理量的精確度，限制了其通用性和準(zhǔn)確度，并在運(yùn)算速度和使用方便程度上較電子計算器遜色，最終被后者取代。

3 不斷發(fā)展的計算機(jī)

電子計算機(jī)是20世紀(jì)人類最偉大的發(fā)明之一。從第一臺計算機(jī)“艾尼阿克”（ENIAC）問世以來，電子計算機(jī)已更新了數(shù)代。

第一代：電子管計算機(jī)。采用水銀延遲線做內(nèi)存，磁鼓做外存。體積大、耗電多、運(yùn)行速度慢。主要用于科學(xué)計算和軍事方面。

第二代：晶體管計算機(jī)。內(nèi)存主要采用磁芯，外存大量采用磁盤，輸入輸出設(shè)備有了較大改進(jìn)。體積顯著減少、可靠性提高、運(yùn)算速度可以達(dá)到每秒百萬次。有了高級程序設(shè)計語言和編譯系統(tǒng)，開始用于管理為目的的信息處理。

第三代：固體組件計算機(jī)。主要采用中、小規(guī)模集成電路。運(yùn)算速度達(dá)到每秒千萬次，可靠性大大提高，體積進(jìn)一步縮小。軟件方面進(jìn)步很大，有了操作系統(tǒng)，開展了計算機(jī)語言的標(biāo)準(zhǔn)化工作，并提出了機(jī)構(gòu)化程序設(shè)計方法，出現(xiàn)了計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)。其應(yīng)用開始向社會化發(fā)展，應(yīng)用領(lǐng)域和普及程度迅速擴(kuò)大。

第四代：大規(guī)模集成電路計算機(jī)。它的出現(xiàn)使計算機(jī)發(fā)生了巨大的變化，特別是在存儲容量、運(yùn)算速度、可靠性和性價比等方面均比上一代計算機(jī)有了較大突破。各種系統(tǒng)軟件和應(yīng)用軟件大量推出，功能配置空前完善，應(yīng)用遍及所有領(lǐng)域，成為人類社會活動中不可缺少的工具。

第五代：人工智能計算機(jī)，它改變前幾代計算機(jī)“計算功能+數(shù)據(jù)存儲”的結(jié)構(gòu)，變?yōu)椤巴评砉δ?知識儲存”的結(jié)構(gòu)，其核心是人工智能。它把許多處理機(jī)并聯(lián)起來處理信息，速度大大提高。它不僅能計算，還能識別聲音、文字和圖像，及進(jìn)行語言翻譯。

第六代：人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計算機(jī)，它模擬人腦的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，滿布的微處理器同時運(yùn)算，信息處理速度大大提高，具有運(yùn)算、識別、學(xué)習(xí)、記憶、聯(lián)想等功能，像人腦一樣聰明。雖然他不以單純的計算為目的，但確有提高人類綜合運(yùn)算能力的美好前景。

計算機(jī)在不斷地發(fā)展，它到底有多大的計算能力難以說清，已有的事實(shí)讓我們感受到了它的巨大威力，人類有了計算機(jī)才算真正插上了計算的“翅膀”。人類創(chuàng)造了計算機(jī)，讓它越來越有智慧，甚至在計算速度方面遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了人的能力，但計算機(jī)不可能完全代替人腦，人類會用他們的聰明才智創(chuàng)造出更快、更好的計算工具來實(shí)現(xiàn)自己偉大的夢想。