基于壓縮感知的井下圖像壓縮

楊子賢， 張礁石， 盧結(jié)成

（中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 電子科學(xué)與技術(shù)系，安徽 合肥230027）

0 引言

隨著測井技術(shù)的發(fā)展，對(duì)測井的要求日漸提高，井下電視圖像以其直觀可視的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)石油生產(chǎn)有著重要的指導(dǎo)意義。然而由于數(shù)字圖像的數(shù)據(jù)量大，要實(shí)現(xiàn)井下幾千米的圖像傳輸就對(duì)傳輸速率提出了較高的要求，但是因?yàn)榫嚯x很大，即使是使用電纜線進(jìn)行傳輸也會(huì)受到一定的限制，成本亦很高，而對(duì)于無線傳輸?shù)臏y井系統(tǒng)來說，由于電磁波頻率越高在大地中衰減越快，傳輸速率更加受到制約。所以必須對(duì)圖像進(jìn)行壓縮，保證傳輸速率、實(shí)時(shí)性的同時(shí)又可以從圖像上取得我們需要的信息。

在傳統(tǒng)的圖像壓縮算法中，都是先對(duì)圖像進(jìn)行高速采樣，即變換后得到大量變換系數(shù)，再對(duì)其進(jìn)行壓縮后再存儲(chǔ)和傳輸[1]，雖然有不錯(cuò)的效果，但是對(duì)于井下的圖像來說，由于比較復(fù)雜的壓縮過程，較大的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量，造成井下儀器功耗增加，電池使用壽命縮短，導(dǎo)致成本上升。所以急需找到一種壓縮編碼簡單、壓縮比高的算法。

近年來，Donoho等人提出了一種新穎的理論——壓縮感知理論（CS，Compressed Sensing），該理論突破了奈奎斯特定律的限制，信號(hào)可使用低速采樣，僅使用少量測量值就能較精確的恢復(fù)信號(hào)[2]。本文使用壓縮感知算法對(duì)井下電視圖像進(jìn)行壓縮編碼，由于其在井下數(shù)據(jù)發(fā)送端編碼時(shí)只需進(jìn)行簡單的線性測量即可，而復(fù)雜的解碼則在井上接收端進(jìn)行，非常適合測井系統(tǒng)的情況。同時(shí)對(duì)圖像進(jìn)行分塊處理，可以更好的適應(yīng)井下低速率的數(shù)據(jù)傳輸。

1 壓縮感知理論

1.1 基本原理

壓縮感知理論的主要思想是：只要信號(hào)通過某種正交變換后具有稀疏性，那么就可以用較低頻率對(duì)其觀測，用最少數(shù)目的觀測值來代表原信號(hào)的壓縮形式，然后根據(jù)觀測值高概率的重構(gòu)出原信號(hào)[3]。

假設(shè)有一信號(hào)X( X∈RN)，長度為N，有基向量為ψi(i=1,2,…,N)，對(duì)信號(hào)進(jìn)行變換：

即X=ΨΘ,則Θ是信號(hào)X的Ψ域表示。若Θ是稀疏的，即Θ中只有K個(gè)非零值(K＜＜N ) ；或者Θ經(jīng)排序后按指數(shù)級(jí)衰減并趨近于零，則可以對(duì)該信號(hào)進(jìn)行壓縮感知[4]。

壓縮感知的一般過程如圖 1所示，設(shè)計(jì)一個(gè)M×N( M＜N)維觀測矩陣Φ，通過觀測矩陣Φ去線性測量Θ，即可得到M維的觀測值Y，然后對(duì)Y進(jìn)行重構(gòu)，恢復(fù)信號(hào)。

從該過程可以看出，信號(hào)通過觀測矩陣 進(jìn)行線性投影，得到觀測值：

這樣使得其從N維降到了M維，觀測過程是非自適應(yīng)的，即觀測矩陣Φ的選取跟信號(hào)無關(guān)[5]。而要保證信號(hào)的精確重構(gòu)，必須使得通過觀測矩陣測量的觀測值不會(huì)破壞原始信號(hào)的信息[6]。

由上可知，觀測值Y可表示為：

式（3）中觀測值Y的維數(shù)小于原信號(hào)X的維數(shù)，該方程顯然是欠定的，即無法在已知Y的情況下求出確定的X。然而由于Θ是K稀疏的，理論證明，只要Θ滿足約束等距性（RIP，Restricted Isometry Property），即對(duì)任意K稀疏信號(hào) f，滿足：

其中常數(shù)0＜δk＜1，|T|≤K，T?{1,2,…,N}，ΦT是Φ中由T為索引的相關(guān)列構(gòu)成的大小為M×|T|的子矩陣，則K個(gè)非零系數(shù)可由M個(gè)測量值精確重構(gòu)。文獻(xiàn)[7]亦指出，滿足約束等距性的等價(jià)條件是觀測矩陣Φ與基矩陣Ψ不相關(guān)。由于高斯隨機(jī)矩陣與大多數(shù)由正交基構(gòu)成的矩陣不相關(guān)，所以一般選擇高斯隨機(jī)矩陣作為觀測矩陣即可很好的滿足不相關(guān)條件。其他滿足RIP條件的可作為觀測矩陣的還有：二值隨機(jī)矩陣，傅里葉隨機(jī)矩陣等[8]。

1.2 信號(hào)重構(gòu)

信號(hào)重構(gòu)的過程就是根據(jù)式中得到的觀測值求出原信號(hào)估計(jì)值的過程，這是最復(fù)雜最關(guān)鍵的一步。常用方法有基追蹤()算法——將最小0范數(shù)問題轉(zhuǎn)化為最小 1范數(shù)問題即轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題來求解[9]，和貪婪追蹤算法——通過每次迭代時(shí)選擇一個(gè)局部最優(yōu)解來逐步逼近原信號(hào)，其中貪婪追蹤算法比基追蹤算法運(yùn)算量小且易于實(shí)現(xiàn)[10]。

貪婪追蹤算法又分為匹配追蹤（MP）和正交匹配追蹤（OMP）。MP算法思想是，在每次迭代過程中，從過完備原子庫（觀測矩陣）中選擇與信號(hào)最匹配的原子來構(gòu)建稀疏逼近，求出信號(hào)殘差，然后選擇與殘差最匹配的原子，經(jīng)過數(shù)次迭代，將信號(hào)用原子的線性來表示。OMP算法是 MP算法的改進(jìn)，減少了MP算法中為了獲得收斂所需要的迭代次數(shù)，其算法思想是，以貪婪的方式選擇觀測矩陣 的列，并保證每次迭代中所選 的列與觀測信號(hào) 的殘差最大相關(guān)。從觀測信號(hào)中減去這個(gè)相關(guān)部分的信號(hào)，生成新的殘差，再參與下一次迭代運(yùn)算，反復(fù)操作直到迭代次數(shù)達(dá)到稀疏度K后停止[11]。OMP方法更適合于圖像的重構(gòu)，本文的CS重構(gòu)采用了這種方法。

2 圖像分塊

由于測井系統(tǒng)的條件限制，數(shù)據(jù)傳輸率低，為了適應(yīng)這種情況，將圖像分成等尺寸的塊，獨(dú)立的對(duì)每一塊進(jìn)行壓縮感知的觀測和重構(gòu)，這樣由于每一快數(shù)據(jù)量的減小，不僅減少了每次壓縮感知的運(yùn)算復(fù)雜度，也減少了井下數(shù)據(jù)儲(chǔ)存量，減少井下部分系統(tǒng)的功耗，延長電池使用壽命；而且在所有數(shù)據(jù)到達(dá)井上部分重構(gòu)之前不需要得到整幅圖像的觀測數(shù)據(jù)，在適應(yīng)低速率傳輸?shù)耐瑫r(shí)更能提高傳輸效率和實(shí)時(shí)性。

3 圖像壓縮及實(shí)驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)壓縮感知理論可知，當(dāng)用觀測矩陣觀測原圖像得到觀測值時(shí)就已經(jīng)對(duì)圖像進(jìn)行了壓縮，這種觀測是線性的，簡單且壓縮效果好，適合測井系統(tǒng)的要求。具體步驟如下：

2）對(duì)每個(gè)子塊進(jìn)行小波變換,得到其稀疏表示iθ。

3）對(duì)每個(gè)iθ選取相同的觀測矩陣 (高斯隨機(jī)矩陣)進(jìn)行觀測，得到觀測值yi。

4）對(duì)每個(gè)觀測值yi進(jìn)行OMP重構(gòu)，經(jīng)小波反變換和圖像重組得到恢復(fù)后的圖像X'。

實(shí)驗(yàn)中選用一幅井下電視圖像，大小為256×256。對(duì)原始圖像通過選取不同的采樣率M/N得到不同壓縮比下恢復(fù)的圖像，如圖2所示從結(jié)果可以看到隨著采樣率降低即壓縮比提高，圖像重構(gòu)的質(zhì)量下降，不過即使在壓縮為1:8的時(shí)候，依然有較好的結(jié)果，對(duì)井下電視圖像的作用(觀測和分析油泡、管壁等情況)基本沒有影響。

圖2 不同壓縮比下壓縮感知進(jìn)行圖像壓縮的效果

對(duì)圖像進(jìn)行分塊(8× 8,16× 16)后分別進(jìn)行壓縮感知然后重構(gòu)，得到結(jié)果如圖3、圖4所示。

從上面實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看到分塊可以使得壓縮后恢復(fù)的圖像效果明顯提高，而且塊分得越小效果越好，但是塊分得過小會(huì)造成井下器件的復(fù)雜化，所以應(yīng)根據(jù)器件，傳輸速率，功耗等綜合考慮分塊的程度。

圖4 16× 16分塊壓縮下的重構(gòu)效果

4 結(jié)語

用壓縮感知的方法對(duì)井下電視圖像進(jìn)行分塊壓縮和重構(gòu)，以適應(yīng)測井系統(tǒng)的要求。最后在高壓縮比的情況下得到了較好結(jié)果，基本不會(huì)影響圖像在系統(tǒng)中的作用，大大提高了傳輸效率。該技術(shù)對(duì)井下數(shù)據(jù)傳輸有重要意義，具有廣闊的前景。

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