三維極化幅度調(diào)制解調(diào)器

宋漢斌，張俊博，陳曉光，張建秋

（復旦大學 信息科學與工程學院，上海 200433）

1 引言

眾所周知，調(diào)制解調(diào)技術是通信系統(tǒng)中的一項關鍵技術。而傳統(tǒng)的PAM和PSK調(diào)制就是通過控制傳播信號的幅度或相位（頻率可以理解成一種特殊的相位）來進行信息調(diào)制的技術，由于僅僅利用了傳播信號的幅度或相位，所以它們的自由度是一維的；在此基礎上發(fā)展起來的QAM調(diào)制解調(diào)技術，只不過是同時利用了傳播信號的幅度和相位，因此其自由度也只有二維。那么，是否可以進一步的擴展調(diào)制參數(shù)的自由度，進而提高系統(tǒng)的性能呢？近年來，人們在光通信中，利用光的偏振（極化）信息對光信號的三維調(diào)制進行了一系列的研究[1～3]。但是，光通信的信源、信道和收發(fā)模型都與無線通信有所不同，因此有必要根據(jù)無線通信的特點，來研究和發(fā)展無線通信中三維調(diào)制的新方法。

早在 20世紀二三十年代，人們就開展了在調(diào)幅（AM）廣播中使用電磁波極化信息進行調(diào)制的研究，其研究結果表明：利用極化調(diào)制可以獲得較高的載噪比[4]；人們通過引入雙極化天線，以極化分集代替空間分集進行接收，可以使接收信號的增益提高3dB[5]。同時，文獻[6]討論了極化敏感陣列的濾波性能；文獻[7]研究了極化準正交空時分組碼的性能。而矢量天線的發(fā)展也為人們更好地利用電磁波的極化信息創(chuàng)造了新的有利條件[8]。那么，在無線通信系統(tǒng)中，是否能夠利用電磁波的極化參數(shù)所攜帶的信息，來進行三維調(diào)制解調(diào)呢？據(jù)筆者所知，目前在無線通信系統(tǒng)中所開展的三維調(diào)制解調(diào)的研究還比較少。文獻[9]在給出了全極化電磁波在空間中的表達式之后，認為電磁場的幅度、極化、相位等參數(shù)均可以用來傳遞信息，并指出，聯(lián)合這些參數(shù)的矢量調(diào)制方式是未來調(diào)制解調(diào)的研究方向之一。然而，文獻[9]中未討論如何利用這些參數(shù)來進行調(diào)制的方法。同時，文獻[9]中也沒有給出與多維調(diào)制相適應的具體的解調(diào)方法。那么，以什么樣的方式利用這些參數(shù)來實現(xiàn)三維調(diào)制與解調(diào)就成為了需要解決的問題。

2 三維聯(lián)合調(diào)制的模型

空間中的電磁場包含幅度、傳播方向、極化方式、頻率、相位等信息。為了描述電磁場的這些信息，可以在三維空間中建立以x?、y?和z?為單位方向矢量的三維直角坐標系，如圖1所示。在這一坐標系中，可以用 r?-表示電磁波傳播方向的單位矢量；用φ?和θ?來表示與傳播方向垂直電磁波平面上2個極化方向的單位矢量。為了獲得電磁波的全部信息，就必須要有與傳統(tǒng)標量天線不同的新天線，矢量天線就是這樣一種能測量電磁波全部信息的天線[8]。這種矢量天線是由3個電偶極子和3個磁偶極子構成，它的全部偶極子在空間上是相互正交、同點分布、具有不同的極化特性，且能夠發(fā)射和接收x、y和z 3個方向的電場和磁場分量。文獻[9]和文獻[10]指出，對于遠場信號，原點處的矢量天線在x、y和z 3個方向所接收到的電場信號Y(t)可以表示為

其中，ex、ey和ez分別表示矢量天線在x、y和z 3個方向的電偶極子上感應到的電場分量；V(θ,φ)與電磁波相對于矢量天線的波達方向有關；Q (γ ,η)與矢量電磁波的電場極化方向有關；θ∈ [0,π)表示信號的俯仰角； φ ∈ [ 0,2π)表示信號的方向角，如圖1所示；γ ∈ [ 0,π/2)表示矢量電磁波的極化輻角；η ∈[- π ,π)表示矢量電磁波的極化相位差；是天線發(fā)射電磁波信號的復表示；表示電磁波的幅度；fc表示電磁波的頻率。

圖1 矢量天線極化—角度導向矢量方向

式（1）描述了矢量電磁場各個參數(shù)之間關系，下面從這一方程出發(fā)，結合矢量天線對極化信息敏感的特點，提出一種多參數(shù)的聯(lián)合矢量調(diào)制方法，并給出其調(diào)制信號的矢量表達式和三維星座點的排布方式。

當發(fā)射和接收天線在空間中的相對位置固定時，即假設式（1）中電磁波傳播方向信息（DOA）的參數(shù)V(θ,)φ是已知時，天線接收到的信號只與發(fā)送信號的幅度、極化、頻率、初始相位以及噪聲有關。下面首先針對這一情況，來考慮如何利用空間電磁波的幅度、極化輻角和極化相位差這3個參數(shù)(A,θ,φ)實現(xiàn)三維調(diào)制。

其中，Eφ表示TEM波的水平極化分量；Eθ表示TEM波的垂直極化分量；而電磁波在傳播方向-方向上電場分量為0。在極化模式確定的情況下，TEM波?和方向電場分量可以表示為[11]

在假設電磁波信號初始相位為0的條件下，電磁波信號可以表示為。此時，根據(jù)式（2）和式（3），可以得到TEM波φ?和θ?方向的電場信號sTEM(t)為

PSK調(diào)制信號sm(t)可以表示為[12]

其中，sm(t)表示PSK調(diào)制信號；Re[·]表示取實部運算；A表示PSK調(diào)制信號的幅度；φm=2π(m-1)M表示PSK調(diào)制信號的相位；fc表示載波頻率；M表示星座點個數(shù)。

從式（5）中可以發(fā)現(xiàn)，PSK調(diào)制的本質是通過給兩路相互正交的同頻載波賦予不同的幅度值，從而使得在同一個載波頻率下的信號具有不同的相位，因此稱其為相移鍵控調(diào)制。PSK中所傳遞的被調(diào)制信息，就是式（5）中兩路載波幅度比值的反正切，即：φm=arctan(sinφm/cosφm)。也就是說，在假設復包絡的初始相位為0的條件下，只要給定兩路正交載波的幅度，就可以唯一確定調(diào)制相位mφ。

對式（4）中所描述的TEM波信號取實部，可以得到：

當令式（6）中TEM波信號的極化參數(shù)η=90°時，可以得到：

比較式（5）和式（7），可以看到，PSK調(diào)制信號與通過給TEM波信號附加一個極化參數(shù)η=90°的約束條件而得到的信號具有同樣的表達式。而且，TEM波的2個極化方向?和?本身就是正交的，恰恰與PSK調(diào)制中I、Q兩路載波相互正交的條件相對應。通過比較式（5）和式（7），可見PSK調(diào)制中用以控制相位信息的變量mφ在數(shù)學上與TEM波中的極化參數(shù)γ具有相同的形式。

與PSK調(diào)制相類似，QAM調(diào)制信號可以表示為[12]

其中，Amc和Ams分別表示QAM調(diào)制信號復包絡的實部和虛部；表示QAM調(diào)制信號的幅度；φm=arctan(Amc/Ams)表示QAM調(diào)制信號的相位。

從式（8）中可以看出，QAM調(diào)制也是通過給兩路相互正交的載波賦予不同的幅度來傳輸信息的。它與PSK調(diào)制的不同之處在于，在QAM調(diào)制中，其信號幅度不再是一個定值，因此，QAM調(diào)制具有二維調(diào)制自由度，可以同時傳遞幅度信息和相位信息。

對比QAM調(diào)制信號的表達式（8）與TEM波的表達式（7），可以發(fā)現(xiàn)，QAM調(diào)制信號也是TEM波信號在η=90°這一約束條件下的一種特殊情況，QAM調(diào)制變量Am和mφ與TEM波的幅度參數(shù)和極化參數(shù)γ具有相同的數(shù)學表現(xiàn)形式。

如前所述，與PSK和QAM相對應的TEM波信號滿足η=90°這一約束條件。此時，對TEM波信號取實部而得到的I、Q兩路同頻載波cos2πfct和sin2πfct之間滿足相互正交的條件。在接收端解調(diào)的過程中，當I、Q兩路載波相互正交時，就能使用相干解調(diào)等方法來完成對調(diào)制信號的解調(diào)。那么，如果可以找到一種解調(diào)方法，不需要依賴于載波信號的具體波形也能夠恢復出幅度和極化參數(shù)，是否就意味著可以利用更多的調(diào)制參數(shù)進行解調(diào)呢？如果能找到這樣的方法，就可以不必再將極化參數(shù)η固定為η=90°的定值，而將極化參數(shù)η作為新的可以攜帶信息的調(diào)制變量，從而實現(xiàn)三維調(diào)制。本文稱這種三維調(diào)制為極化的QAM調(diào)制，簡稱為PQAM調(diào)制。

PQAM與傳統(tǒng)的PSK、QAM有所區(qū)別的另一個地方是，它是利用載波本身的極化參數(shù)去傳遞信息的，且具有與PSK和QAM相類似的數(shù)學表達式。但在本質上，PSK和QAM是把基帶信息調(diào)制到載波的幅度和相位上，而在PQAM的調(diào)制中，則是把基帶信息同時調(diào)制到載波的幅度A、極化參數(shù)γ和η上。

在筆者提出的PQAM調(diào)制中，選取電磁波的幅度A、極化輻角γ和極化差異角η這3個參數(shù)作為攜帶信息的調(diào)制變量。并依然采用式（4）中所描述的s( t)=ej2πfct作為聯(lián)合調(diào)制的載波信號，那么TEM波在?和?方向電場信號sTEM(t)的表達式（6）就可以重新寫成：

同PSK、QAM調(diào)制相類似，對式（9）中的sTEM(t)進行取實部操作，就可以得到PQAM調(diào)制的信號如下：

其中，幅度參數(shù)A代表電磁波能量的大?。粯O化輻角γ代表電磁波?方向和?方向電場強度的比值，從前面的分析可知其與PSK調(diào)制中的參數(shù)mφ具有同樣的物理意義；極化差異角η代表電磁場在方向和方向的相位差異，在PSK和QAM調(diào)制中有η=90°，而在本文的PQAM中的η取值范圍是-π≤η≤π。

正如文獻[9]中所指出的，矢量天線是可以發(fā)射全極化電磁波的最為有效的手段。當矢量天線的3個電偶極子的方向與圖1中建立的空間直角坐標系、和?方向相同時，對于遠場電磁波信號，矢量天線發(fā)射的電磁源(角度和極化參數(shù)為Θ={θ, φ, γ ,η})信號在矢量天線3個電偶極子的原點O處的電場可以表示為[9,10]

其中，ex(Θ,t)、ey(Θ,t)和ez(Θ,t)分別表示矢量天線、和3個方向上的電場分量。從式（11）中可以看到，Eφ和Eθ會在矢量天線的3個電偶極子上產(chǎn)生感應電壓。將電磁波極化分量的表達式（3）代入式（11），可以得到矢量天線，和方向上的電場分布為

將式（11）中所得到的PQAM表達式代入式（12），可以得到，利用矢量天線發(fā)射PQAM調(diào)制信號時，矢量天線、?和?方向電偶極子上的電場表達式為

通過引入極化參數(shù)作為新的調(diào)制變量，推導出了三維極化幅度調(diào)制信號的表達式，并基于矢量天線實現(xiàn)了這種三維調(diào)制，給出了矢量天線x?、y?和z?方向所發(fā)射信號的表達式。

3 PQAM調(diào)制的解調(diào)方法

文獻[13]運用幾何代數(shù)等數(shù)學方法，成功地解耦了矢量天線陣列接收信號中的電磁源的波達方向參數(shù)和極化參數(shù)，使極化參數(shù)的估計結果不受到DOA方向估計結果的影響，因此，在進行PQAM調(diào)制信號解調(diào)時，假設DOA方向參數(shù)(θ,)φ已知，或者其與電磁源的極化參數(shù)(γ,)η和幅度參數(shù)A的關系已經(jīng)解耦。

對于單信號源發(fā)射單矢量天線接收的情況，可以將矢量天線x、y和z 3個方向電偶極子上接收到的電場信號表示為[14,15]

其中，E( t)=[exeyez]T表示矢量天線x、y和z 3個方向電偶極子所接收到的電場信號；N( t)=[nxnynz]T表示3個方向上影響電場信號的噪聲。根據(jù)式（14），在不含噪聲的情況下，可以通過求解下述方程得到極化參數(shù)(γ,η)的估計(,)：

可以看出，式（15）是一個超定方程，對這樣的方程，可以根據(jù)最小二乘準則進行求解。當信號源的波達方向V(θ,)φ已知時，其在最小二乘意義下，式（15）的解可以通過兩邊都乘以V(θ,)φ的偽逆V+(θ,)φ來得到，即：

將V+(θ,)φ的表達式代入式（16），便可得到：

于是有

根據(jù)式（18），可以得到：

4 解調(diào)方法性能分析與仿真

上面對信號的極化參數(shù)(γ,η)進行估計時，并沒有考慮噪聲的影響。假設矢量天線3個方向上所接收到的噪聲均為零均值加性高斯白噪聲，由于矢量天線具有對稱性，因此，矢量天線3個方向的噪聲nx、ny和nz的分布均為(0,σ2)N。根據(jù)式（14），可以將極化參數(shù)(γ,)η的觀測表示為

其中，Q(γ,η)表示極化參數(shù)(γ,η)的觀測；V+(θ,φ)是V(θ,φ)的偽逆。由于N(t)服從的分布為N(0,σ2I)， 因 此V+(θ,φ)N(t)服 從 的 分 布 為N(0,σ2V+(θ,φ)(V+(θ,φ))H)。 又 因 為V+(θ, φ)(V+(θ, φ))H=I，于是，V+(θ,φ)N(t)服從的分布也為N(0,σ2I)。令

將式（20）和式（21）代入式（18），可以將信號極化參數(shù)的估計(,)表示為

如前所述，由于nφ和nθ都服從分布N(0,σ2)，于是有：極化域兩路信號的噪聲均為零均值高斯白噪聲，且極化域噪聲是空域噪聲的線性組合。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，式（22）與幅度為Asinγ，相位為η的QAM調(diào)制具有相類似的表達式；式（23）與幅度為Acosγ的PAM調(diào)制具有相類似的表達式，只有式（22）和式（23）中的信號均正確解調(diào)時，才能正確解調(diào)三維PQAM調(diào)制信號。因此，可以將2M+N個星座點的PQAM調(diào)制的誤碼率，表示為2M個星座點的PAM誤碼率與2N個星座點的QAM的誤碼率的組合。

在根據(jù)星座圖確定信號的判決邊界時，由于參數(shù)Asinγ ejη和Acosγ隨參數(shù)γ和η的變化是非線性的，因此不能以γ和η的中值作為判決邊界，而應該以Asinγ ejη和Acosγ的中值作為判決邊界。以64PQAM為例，其星座圖如圖2所示。圖2中星座點S的調(diào)制參數(shù)為和η=arctan(13)，其判決區(qū)域邊界為和0≤Asin γsinη≤2/，圖2中的灰線部分所組成的區(qū)域（由ABCD-EGHF、EGHF-PQNM、CDEF- IKLJ、PFI-QEJ組成）即為其正確的判決區(qū)域。

圖2 三維64PQAM星座圖

根據(jù)上述分析，可以得到2M+N點PQAM調(diào)制信號的誤碼率表達式為

式（24）中，當M+N=3n 時，則M=n,N=2n ；當M+N=3n +1時，則M=n+1,N=2n ；當M+N=3n +2時，則M=n,N=2(n +1)。分別以32PQAM、64PQAM和128PQAM調(diào)制為例，這3種調(diào)制信號的誤碼率可以表示為

其中，EsN0表示將三維矩形星座圖中各方向能量均歸一化后，星座圖所對應調(diào)制信號的符號信噪比。根據(jù)式（25）、式（26）和式（27），可以得到這3種調(diào)制信號誤碼率的仿真結果如圖3所示。將64點三維PQAM和64點二維QAM的誤碼率進行了對比，仿真結果如圖4所示。

圖3 32、64和128點PQAM調(diào)制的誤碼率

圖4 64點三維調(diào)制和二維調(diào)制的誤碼率

從圖3中可以看出，三維調(diào)制的誤碼率隨著星座點數(shù)量的增加而上升，這是由于星座點數(shù)量的增加會導致星座點之間的歐氏距離減小，從而導致誤碼率的上升。從圖4中可以看出，在星座點數(shù)量為64的情況下，三維64PQAM比二維64QAM具有更低的誤碼率。其原因是由于星座點數(shù)量相同時，分布在三維空間中的PQAM信號比二維空間的QAM信號能夠獲得更大的歐式距離；或者說，在誤碼率相近時，由于三維空間中可容納更多的星座點，因而能同時傳遞更多的信息，因此PQAM比QAM具有更高的數(shù)據(jù)傳輸效率。

為了驗證本文計算結果，對三維PQAM調(diào)制解調(diào)的過程進行了蒙特卡羅仿真，當噪聲為加性高斯白噪聲時，得到了不同信噪比下調(diào)制解調(diào)系統(tǒng)的誤碼率，并與誤碼率理論值進行了對比，以32PQAM和64PQAM為例，蒙特卡羅仿真結果如圖5和圖6所示。

從圖5和圖6的仿真結果中可以看出，三維PQAM信號誤碼率的蒙特卡羅仿真實驗結果與式（24）中給出的理論值相吻合，實驗結果驗證了三維調(diào)制信號誤碼率的表達式。

圖5 32PQAM信號誤碼率蒙特卡羅仿真

圖6 64PQAM信號誤碼率蒙特卡羅仿真

為了說明DOA方向估計產(chǎn)生的誤差對PQAM解調(diào)器的影響，通過蒙特卡羅仿真實驗對比了已知和未知DOA方向時解調(diào)信號的誤碼率。以64點三維PQAM調(diào)制為例，這2種情況下系統(tǒng)誤碼率的蒙特卡羅仿真結果如圖7所示。

圖7 DOA方向對誤碼率的影響

從圖7中可以看出，未知DOA方向時系統(tǒng)的誤碼率高于已知DOA方向時的誤碼率。其原因是當DOA方向未知時，需要首先對DOA方向進行估計，在這一過程中所產(chǎn)生的誤差會影響之后的最小二乘解調(diào)結果，從而造成誤碼率的提高。

為了說明信道編碼與三維調(diào)制結合對系統(tǒng)性能的影響，對三維PQAM信號與7-4漢明碼結合后的通信系統(tǒng)誤比特率進行了仿真，并與未進行信道編碼時三維調(diào)制信號的誤比特率進行了對比，以64點三維調(diào)制信號為例，仿真結果如圖8所示。

從圖8中可以看出，64點三維調(diào)制與7-4漢明碼結合后，其誤比特率明顯降低。例如，當信噪比為16dB時，信道編碼后的調(diào)制信號誤比特率比未進行信道編碼時的誤比特率低0.7。仿真結果表明，三維調(diào)制與信道編碼的結合是降低系統(tǒng)誤比特率的有效方法。

圖8 信道編碼對誤比特率的影響

5 結束語

本文提出了一種將信號幅度、極化輻角與極化相位角進行三維聯(lián)合調(diào)制的方法，給出了三維聯(lián)合調(diào)制信號的表達形式，并給出了基于矢量天線的三維聯(lián)合調(diào)制的實現(xiàn)方法。在接收端，通過最小二乘方法估計出信號的極化參數(shù)估計，并用包絡檢波方法恢復出信號的幅度參數(shù)，成功實現(xiàn)了三維聯(lián)合調(diào)制信號的解調(diào)。并根據(jù)調(diào)制解調(diào)原理得到了三維聯(lián)合調(diào)制誤碼率計算公式，蒙特卡羅仿真實驗驗證了理論結果。分析與仿真結果均表明：提出的調(diào)制方法具有傳輸速率高和誤碼率低的優(yōu)點。

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