基于擴展卡爾曼濾波的機動目標跟蹤研究*

張 蕊 史麗楠

北京航空航天大學宇航學院，北京 100191

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基于擴展卡爾曼濾波的機動目標跟蹤研究*

張 蕊 史麗楠

北京航空航天大學宇航學院，北京 100191

針對雷達導引頭跟蹤機動目標問題，建立了一種適于高機動目標探測的非線性系統(tǒng)模型，采用擴展卡爾曼濾波算法推導適用于彈載脈沖多普勒雷達機動目標探測的濾波模型，用以估計俯仰失調(diào)角、方位失調(diào)角、彈目相對速度和距離等信息，利用系統(tǒng)數(shù)學模型對目標加速度及彈目視線角速率進行解算估計。對標稱彈道和極限彈道的跟蹤仿真表明，所建立的系統(tǒng)模型和濾波設計方案，能夠處理真實飛行中存在的部分信息缺失問題，對于極端情況下的遮擋問題也能在一定時間內(nèi)保證較高的跟蹤精度。

擴展卡爾曼濾波；當前統(tǒng)計模型；機動目標跟蹤；脈沖多普勒雷達

雷達導引頭機動目標跟蹤指的是角度跟蹤、速度跟蹤和距離跟蹤。在機動目標跟蹤中，卡爾曼濾波可在線性高斯情況下利用最小均方誤差準則獲得目標的動態(tài)估計[1]，但實際系統(tǒng)中觀測數(shù)據(jù)與目標動態(tài)參數(shù)間一般是非線性關系，需要利用線性化方法將非線性濾波問題轉(zhuǎn)化為近似的線性濾波問題。最常用的線性化方法是泰勒級數(shù)展開，所得到的濾波方法即是擴展卡爾曼濾波, 早在1996 年Garrison就提出了采用擴展卡爾曼非線性濾波( EKF) 進行衛(wèi)星編隊飛行的相對導航設計方法[2]。

目標運動模型是濾波算法的基礎，Singer模型[3]采用有色噪聲模型，比白噪聲描述機動加速度更為切合實際，但只適用于等速和等加速范圍內(nèi)的目標運動，對于超出此范圍的運動，模型誤差較大。Jerk模型的實質(zhì)是在通常三維狀態(tài)向量增加一維向量即加速度變化率,研究發(fā)現(xiàn)Jerk模型在跟蹤具有階躍加速度變化率的目標時存在穩(wěn)態(tài)確定性誤差問題[4-5]，把機動看作是半馬爾科夫過程描述的一系列有限指令，指令由馬爾可夫過程的轉(zhuǎn)移概率確定，轉(zhuǎn)移時間為隨機變量。Kendrick等把機動目標法向加速度的大小描述為非對稱分布的時間相關隨機過程[6]，狀態(tài)方程是非線性的，但白色高斯過程能直接傳播，且能保持概率密度函數(shù)的非對稱性質(zhì)。周宏仁提出了機動目標“當前”統(tǒng)計模型[7]：當目標以某一加速度機動時，下一時刻的加速度取值是有限的，且只能在“當前加速度”的鄰域內(nèi)。由于該模型采用非零均值和修正瑞利分布表征機動加速度特性，因而更符合實際。隨著這些技術的發(fā)展，擴展卡爾曼濾波已在衛(wèi)星導航、慣性導航等領域被廣泛應用。文獻[8]采用衛(wèi)星軌道姿態(tài)一體化確定的擴展卡爾曼濾波算法對軌道和姿態(tài)進行估計，文獻[9]設計了擴展卡爾曼濾波器，以二位置對準為例，比較了高保真非線性誤差模型與線性模型和大方位誤差模型的濾波效果。

本文基于目標運動的物理過程和當前統(tǒng)計模型理論，建立雷達跟蹤系統(tǒng)的角度跟蹤和距離速度跟蹤系統(tǒng)數(shù)學模型。采用擴展卡爾曼濾波算法推導適用于彈載雷達機動目標探測的濾波模型，用以估計俯仰和方位失調(diào)角、彈目相對速度和距離信號等信息，并對目標加速度及彈目視線角速率進行解算。

1 狀態(tài)方程建模

1.1 角偏差模型

由于雷達僅能測出方位失調(diào)角ε和俯仰失調(diào)角η，不能測出空間扭角γa，為了推導出測量值的動力學方程，這里先不考慮空間扭角，在失調(diào)角ε和η都為小量時，角誤差方程如式(1)表示：

(1)

1.2 角速度模型

根據(jù)目標和導彈在地面坐標系中的關系(圖1)，并近似認為目標視線相對于慣性空間旋轉(zhuǎn)角速度和天線光軸相對于慣性空間角速度相等，可得到角速度動態(tài)方程為(由于狀態(tài)量耦合，為方便起見，彈目相對距離在此一并表示)：

(2)

RTM為彈目距離，nT為目標加速度，nM為導彈加速度，上標“r”和“a”分別表示視線坐標系和天線坐標系，下標“x、y、z”分別表示其在坐標系上的3個分量。

圖1 地面坐標系中的目標和導彈

1.3 目標加速度模型

(3)

(4)

wi是零均值白噪聲，τi是加速度相關時間常數(shù)。對(3)式兩邊同時求導可得：

(5)

(6)

(7)

(8)

即：

(9)

如前所述，r′系下慢變狀態(tài)的目標加速度可以看作式(7)所示的非零均值隨機過程，則有：

整理后可得：

(10)

由于2個失調(diào)角皆為小量可知：

(11)

最后得到：

(12)

(13)

至此，由式(1)、式(2)、式(12)和式(13)就得到了機動目標跟蹤的系統(tǒng)狀態(tài)方程。

2 擴展卡爾曼濾波

考慮離散時間非線性動態(tài)系統(tǒng)，其狀態(tài)方程和量測方程分別為[10]：

(14)

(15)

(16)

3)將式(16)代入式(15)得近似線性模型為：

(17)

4)狀態(tài)濾波以及增益矩陣和誤差協(xié)方差矩陣的更新為：

(18)

(19)

Pk/k=(I-KH)Pk/k-1(I-KH)T+KRKT

(20)

由于量測矩陣被雅克比陣H代替，根據(jù)式(18)計算出的增益K已不是最優(yōu)的，因此不能利用常規(guī)的P陣計算式來更新協(xié)方差陣，而必須采用式(20)以保證P的正定和對稱，防止濾波發(fā)散。

3 濾波器設計

在雷達沒有四維信息觀測輸出前，濾波器要為雷達提供目標初始四維信息參考。按照PD雷達的典型工作過程，在雷達開機后一般經(jīng)過一定時間搜索鎖定才能獲得角度觀測，此時雷達工作模式導致發(fā)射波和回波有重疊，即“周期性”遮擋現(xiàn)象，目標的角度觀測信息可信度也呈周期性變化，可能會沒有觀測信息。在角度穩(wěn)定捕獲后，滿足速度鎖定條件時，可以獲得角度和彈目相對速度的觀測條件，最后當距離捕獲條件滿足時，雷達測距模式開啟，此時遮擋效應解除，直到彈目相對距離接近到雷達能測量的最小距離。

由此可知，濾波器會交替性的處于僅角度觀測、無觀測、角度速度觀測、四維信息完全觀測等條件下。觀測條件不同意味著濾波觀測方程不同，因此需要針對每一種可能出現(xiàn)的觀測模式單獨推導濾波方程和設計濾波器。

3.1 四維狀態(tài)可測

狀態(tài)方程為非線性，量測方程為線性的系統(tǒng)方程可表述為：

(21)

(22)

(23)

將式(23)寫成標準的線性狀態(tài)方程：

(24)

當目標在目標視線坐標系中直線渡越時，方位角速度和俯仰角速度的最大值出現(xiàn)在渡越點上，且角度的峰值反比于距離。一般來說，除渡越點外，角速度是不會超過這個峰值的，因此A12(t)中非零元素的數(shù)值都反比于相對距離的平方，所以當距離略大時，A12(t)近似為0。經(jīng)簡化后，X1(t)和X2(t)之間的耦合作用減弱了，系統(tǒng)可以解耦為角跟蹤系統(tǒng)和距離跟蹤系統(tǒng)2個分系統(tǒng)，增強了系統(tǒng)濾波的實時能力。

同樣可以得到角跟蹤和距離跟蹤的量測方程：

Z1=H1X1+V1

(25)

Z2=H2X2+V2

(26)

將上述各動態(tài)模型子系統(tǒng)寫成統(tǒng)一的形式進行離散化。離散化時，設為均勻采樣。采樣周期為T，則可得到相應的離散時間模型。

1)角跟蹤系統(tǒng)

(27)

(28)

其中：

2)距離速度跟蹤系統(tǒng)

(29)

(30)

線性濾波算法如式(31)～式(35)所示，分別為狀態(tài)一步預測，狀態(tài)估計，濾波增益，一步預測均方誤差和估計均方誤差:

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

3.2 距離觀測缺失

在雷達距離門鎖定前或者彈目距離小于測量最低限時，觀測方程中將沒有距離信息，但與四維觀測皆有的情況類似，其測量過程仍然可以分為角跟蹤回路和距離速度回路，相應的角跟蹤系統(tǒng)的狀態(tài)方程和距離速度跟蹤系統(tǒng)的狀態(tài)方程與3.1相同，量測方程如下所示：

Z1=H1X1+V1

Z2=H2X2+V2

(36)

3.3 僅失調(diào)角可觀

當僅有角度觀測時，此時系統(tǒng)觀測方程沒有距離和速度信息，距離和速度回路的信息完全依靠濾波器的狀態(tài)估計產(chǎn)生，因此不能將系統(tǒng)繼續(xù)解耦，而需要用到9×9的狀態(tài)陣，將角度信息與距離速度信息耦合起來，通過角度信息修正距離和速度的估值。此時系統(tǒng)的狀態(tài)方程和量測方程如下所示：

(37)

Z=HX+V

(38)

濾波算法公式與3.1相同。

3.4 無觀測(遮擋)

系統(tǒng)無觀測信息時，要求濾波器能在短時間內(nèi)依據(jù)系統(tǒng)前期狀態(tài)實現(xiàn)向外遞推，得到合理的四維觀測信息估計值，用于在遮擋消除后重新捕獲目標。此時濾波問題轉(zhuǎn)化為預測問題，系統(tǒng)中沒有了觀測方程組，依據(jù)卡爾曼濾波原理得到系統(tǒng)遞推公式如下：

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

需要說明：由于該公式是在前一次估計值基礎上進行遞推，如果時間太長會由于誤差積累導致濾波發(fā)散，即濾波值與真值出現(xiàn)較大偏差，數(shù)值仿真驗證發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在大約4s后發(fā)生發(fā)散。

在各種觀測條件下濾波器都得到后，需要設計一套協(xié)調(diào)邏輯和數(shù)值的方法，保證各種模式下濾波器的光滑切換，本文采用了各種濾波模式共用狀態(tài)變量的方式實現(xiàn)濾波器切換。

4 仿真結果

實際交戰(zhàn)過程中由彈載計算機發(fā)出雷達開機指令，雷達截獲目標后，再向彈載計算機發(fā)送角度、速度和距離的可信標志，并由此判斷采用哪種濾波模式。在測距模式啟動之前，由于發(fā)射脈沖與回波脈沖之間的重疊問題，可能導致雷達測量信息出現(xiàn)周期性遮擋，為了檢驗濾波器在“真實”交戰(zhàn)過程中的表現(xiàn)，對標稱彈道以及極限彈道都進行了雷達跟蹤系統(tǒng)仿真測試。

4.1 標稱彈道測試

仿真條件：彈目相對而飛，彈目高度差約為2km。圖2給出了濾波器對目標加速度的估計值。在視線方向上的加速度由于有目標相對速度修正，得到很好的估計，而垂直于目標視線的加速度由于相對距離在分母中的影響，且是二次估計，其收斂速度相對較慢。圖3～圖5分別為失調(diào)角、相對距離、相對速度和視線角速率的仿真結果。在標稱交戰(zhàn)條件下濾波器能夠準確的估計失調(diào)角信號，在角度回路實現(xiàn)穩(wěn)定跟蹤后，速度回路鎖定前，濾波器對目標位置和速度的估計在可以接受范圍內(nèi)，速度并未發(fā)散，為速度通道截獲提供了參考信息。在速度通道截獲后，距離估計值進一步收斂，直至距離截獲，遮擋效應消失。

圖2 目標加速度在地面坐標系中的投影

圖3 失調(diào)角

圖4 相對距離與相對速度

圖5 視線角速率

4.2 極限彈道測試

為進一步測試濾波器的適應能力，以及分析遮擋對于濾波系統(tǒng)的影響，這里選取了一條極限彈道進行跟蹤。仿真條件：彈目距離約50km，等高飛行，目標速度約1Ma，目標做加速度5g的盤旋。圖6～圖9是仿真結果?？梢钥吹秸趽醅F(xiàn)象的出現(xiàn)，增加了目標加速度估計的超調(diào)，增加了速度和距離的收斂時間，而對于整體的收斂性仍然可以保證，對于失調(diào)角的影響相對較小。

圖6 目標加速度在地面坐標系中的投影

圖7 失調(diào)角

圖8 相對距離與相對速度

圖9 視線角速率

4 結論

基于彈目運動學原理和目標“當前”統(tǒng)計模型，針對雷達跟蹤系統(tǒng)建立了高機動目標探測的非線性系統(tǒng)模型，推導了彈載PD雷達機動目標探測的濾波模型，對彈載PD雷達機動目標探測的擴展卡爾曼濾波進行了研究。所提出的方案：

1)能夠處理真實飛行中存在的部分信息缺失問題，對于極端情況下的遮擋問題也能在一定時間內(nèi)保證較高的跟蹤精度；

2)有利于彈載雷達根據(jù)估計信息驅(qū)動伺服系統(tǒng)及生成距離門、速度門等，最終實現(xiàn)精確跟蹤鎖定目標，產(chǎn)生合理的制導指令,并具有較高的可靠性和魯棒性。

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Tracking of Maneuvering Target Based on Extended Kalman Filter

ZHANG Rui SHI Linan

School of Astronautics, Beijing University of Aeronautics and Astronautics, Beijing 100191, China

Anon-linearsystemmodelisdevelopedforhighmaneuveringtargetdetection.TheextendedKalmanfilteralgorithmisintroducedforPulse Doppler (PD)radartoestimatetheoffsetanglesofpitchandazimuth,therelativevelocityofmissileandtarget,anddistanceinformationwhiledetectingmaneuveringtarget.Theaccelerationoftargetandangleofsightareobtainedbysystemmathematicmodel.Thetrackingsimulationsofnominaltrajectoryandextremetrajectoryshowthattheproposedsystemmodelandfilterdesignapproachcandealwithpartialinformationmissingproblemsintherealflightconditionandmaintaingoodtrackingprecisionforcertaintimeeveninextremeblockingsituation.

ExtendedKalmanfilter;Currentstatisticalmodel;Maneuveringtargettracking; Pulse Dopplerradar

*國家自然科學基金(61174221)

2011-11-23

張 蕊(1981-)，女，河南南陽人，助理實驗師，主要研究方向為飛行器導航、制導與控制；史麗楠(1985-)，女，西安人，博士研究生，主要研究方向為飛行器導航與控制。

TN953

A

1006-3242(2012)03-0012-07