基于一種三譜線插值的間諧波分析方法

梁志瑞，季 冰，牛勝鎖

(新能源電力系統(tǒng)國家重點實驗室 華北電力大學，河北 保定 071003)

0 引言

隨著現(xiàn)代科學技術的發(fā)展，各種電力電子裝置正在被大量使用，非線性負荷在電力系統(tǒng)中的應用越來越廣泛，電力系統(tǒng)諧波和間諧波 (包括次諧波)污染日益嚴重。隨著電機驅動與變換器容量的增大，間諧波的存在越來越引起人們的重視[1]。間諧波在IEC61000-2-1的定義為:在電壓和電流信號的諧波之間存在著頻率與基波頻率不成整數(shù)倍關系的信號[2]。產(chǎn)生間諧波的裝置有直流聯(lián)接類型的大型調速設備、變頻器、Krajner驅動設備、牽引驅動設備，尤其是那些使用三相交流電動機的牽引驅動設備以及高壓直流輸電系統(tǒng)等。頻率高于基波頻率的間諧波會干擾音頻設備正常工作，引起感應電機噪聲和振動等，頻率低于基波頻率的間諧波會引起電壓閃變，低頻繼電器的異常運行等。間諧波的另一嚴重影響是會導致現(xiàn)有的諧波補償裝置失效，甚至損壞[3，4]。因此，有效監(jiān)測間諧波成為了專家和學者越來越關注的問題。

快速傅里葉變換 (Fast Fourier Transformation，F(xiàn)FT)法是最常用的諧波分析工具，但是應用FFT進行諧波分析時，容易造成頻譜泄漏和柵欄效應，造成測量誤差，難以滿足精度要求。尤其是間諧波，容易被泄漏的頻譜淹沒[5]。所以需要對FFT方法進行改進。對于頻譜泄漏，通常通過加窗函數(shù)進行解決。解決柵欄效應的方法是插值。在諧波與間諧波檢測中，常用的插值方法有單譜線插值、三次樣條插值和最普遍應用的雙譜線插值[6～10]。雙譜線插值在修正過程中用了幅值最大的兩根譜線，但在FFT的結果中，擁有較大幅值的譜線往往不只兩根。將這些擁有較大幅值的譜線加權應用于結果修正中，會保證更高的精度。因此本文提出了一種基于三譜線插值的間諧波分析方法，通過仿真驗證了其可行性。

1 三譜線插值算法原理

以單一頻率信號為例進行分析，對單一頻率信號x(t)以采樣頻率fs均勻采樣后，得到離散時間信號，對此信號加窗后，忽略負頻點處譜峰旁瓣影響，加窗序列xw(n)=x(n)w(n)的離散傅里葉變換表達式為:式中:N為采樣點數(shù);f0為信號頻率;A0為信號幅值;φ0為初相位;fs為采樣頻率。

信號如果是被非同步采樣，則峰值頻率f0=k0Δf不會在離散譜線頻點上。常用的單、雙譜線插值，只考慮了幅值最大的1，2根譜線信息，但通過對信號的FFT分析結果可知，在峰值譜線附近的3，4根譜線的幅值都比較大，這些譜線的信息都應該用于插值修正，只是在修正過程中的加權權重有所不同。如果選取參考的譜線過多，當Δf較大時，兩個檢測頻率之間的譜線根數(shù)會較小，這時參考譜線會受諧波和間諧波譜線泄漏的互相干擾，特別是間諧波的譜線完全被淹沒，沒有應用價值。但減小Δf會增加信號的采樣周期。一般采樣周期超過10個，系統(tǒng)的諧波情況可能就會發(fā)生變化，這時就會失去即時性意義。所以IEC 61000-4-7∶2002 標準[9]規(guī)定采樣10 個整周期。文獻[10]選取的采樣周期為27個，遠超過這一數(shù)字，因此實時效果有待商榷。在保證采樣周期數(shù)的前提下，參考譜線過多反而會受頻譜之間的影響而增大誤差。因此選取最大的三根參考譜線進行插值。

設峰值譜線k0附近幅值最大的譜線為k1，k1左邊的譜線為k2，右邊的譜線為k3，其幅值分別對應為的范圍為

可以求得:

其反函數(shù)為 α=h－1(β)，由 β可得 α，頻率修正公式為:

初相位修正公式為:

幅值修正中，三譜線插值會把y1，y2，y3用于幅值修正，由于三根譜線幅值大小不等，所以需要對三根譜線幅值進行加權平均計算得到實際峰值點幅值。由于譜線k1為峰值點附近幅值最大的譜線，因此加權時對k1的幅值y1予以較大權重。經(jīng)過對比試驗，三根譜線的權值比為1∶2∶1。

由式 (1)得

進而有:

由式 (5)得:

N值若較大，則上式可以簡化為:

2 基于三種四項余弦組合窗的三譜線插值分析

加窗插值FFT算法的性能受窗函數(shù)的影響較大，不同窗函數(shù)抑制頻譜泄漏的程度和插值公式的計算復雜度都有所不同。所以，選擇合適的窗函數(shù)能夠減小算法的計算復雜度和提高算法的諧波分析精度。理想的窗函數(shù)應具有主瓣寬度窄、最大旁瓣低和旁瓣衰減速度快的特點[11]。

組合余弦窗的頻譜簡單，因而應用最為普遍。其一般表達式為:

式中:N為窗長度;M為余弦組合窗函數(shù)的項數(shù);am為系數(shù)。M和am的取值不同，決定了不同的余弦組合窗函數(shù)。

性能優(yōu)良的已知余弦組合窗函數(shù)有Hanning窗、Hamming 窗、Blackman 窗、Nuttall窗、Blackman-Harris(B-H)窗和Rife-Vincent窗 (RH窗)等[12～15]。這些窗函數(shù)在電網(wǎng)諧波分析中得到了廣泛應用。在組合窗項數(shù)選取上，P值越大，最大旁瓣的電平值越低，旁瓣衰減速度也越大，但是相應的主瓣寬度也會增大，從而影響頻率分辨率。由于間諧波的頻帶是分布在整次諧波之間，有些頻率更是較接近成分較高的整數(shù)次諧波。頻率分辨率低，F(xiàn)FT結果中間諧波對應的譜線會被整次諧波泄漏譜線淹沒，無法得到間諧波的準切信息，無論如何進行修正，得到的間諧波信息都是錯誤的。這樣測量諧波精度很高的9項余弦組合窗等項數(shù)大的窗函數(shù)就無法用于間諧波分析。本文中選取的余弦窗項數(shù)為4。選取了4項余弦窗中典型的3種窗函數(shù):旁瓣衰減最快4項窗、主瓣寬度最小的B-H窗、最小旁瓣4項窗進行分析。

3種典型4項窗的系數(shù)如表1所示。

表1 三類窗函數(shù)系數(shù)Tab.1 Coefficients of the three types window

3種窗函數(shù)幅頻特性圖如圖1～3所示。

圖1 四項旁瓣衰減最快窗幅頻特性Fig.1 Amplitude-frequency characteristic of four terms maximum side-lobe decay speed window

3種窗函數(shù)的旁瓣特性如表2所示。

表2 旁瓣特性Tab.2 Side-lobe characteristics

3種所選窗函數(shù)都具備了典型的特點，B-H窗主瓣相對最小，旁瓣衰減最快窗衰減速率最大，最小旁瓣窗能量最集中在主瓣。后文將仿真驗證3種典型窗檢測間諧波的能力。

在式 (1)中，窗函數(shù)的離散傅里葉變換W(k)的表達式為:

將式 (9)分別代入式 (2)和式 (6)，令α在[－0.5，0.5]內取值 (注:由于MATLAB軟件的運算特性，－0.5，0，0.5三個點處會造成分母為零不能運算，故取值時應將這三個點去掉)利用MATLAB中的擬合函數(shù)polyfit，可以得到式(2)反函數(shù)以及式 (7)的擬合多項式為:

3 間諧波分析仿真

當系統(tǒng)間諧波檢測出現(xiàn)如下兩種情況時，間諧波結果會出現(xiàn)較大的偏差:

(1)間諧波頻率分布接近整次諧波，尤其是接近基波時，間諧波譜線會被完全淹沒，減小Δf改變分辨率的做法雖然會使測量精確，但是會增加采樣周期數(shù)導致失去即時分析的意義。

(2)當系統(tǒng)存在一定程度的噪聲時，噪聲對間諧波檢測的干擾。

因此對這兩種情況下的模型進行分析。

3.1 間諧波頻率接近基波時的仿真對比

設一個含有30 Hz間諧波和基波的簡單信號為:x(n)=3sin(2π ×30n+0.5)+100sin(2π ×50.2n+1)，n=0，1，…，128，基波頻率取為50.2 Hz。這時使用三種四項窗做三譜線插值的頻率、幅值、相位修正結果相對誤差 (%)如表3所示。

表3 30Hz間諧波信號測量結果Tab.3 Measurement results of sign with inter-harmonics at 30Hz 相對誤差%

從表3結果中可見，當間諧波頻率較接近基波時，雖然衰減最快窗對基波的修正頻率較另兩種窗函數(shù)更準確，但由于旁瓣較大，能量相對不集中在主瓣，導致間諧波譜線淹沒情況較嚴重，尤其是相位誤差很大。因此在本文中不再選用4項旁瓣衰減最快窗進行分析。而B-H窗與四項最小旁瓣窗由于旁瓣低，能量集中在主瓣，所以淹沒情況并不嚴重。

3.2 含噪聲綜合信號仿真

這里構造一個含有三、五、七、九、十一次整數(shù)諧波和五種頻率的間諧波假設信號為:

由于電網(wǎng)頻率的允許波動范圍為50±0.2 Hz，因此基波頻率 f1選取50.2 Hz，采樣頻率 fs=2 560 Hz，采樣點數(shù)為512點，噪聲項e(n)為高斯白噪聲，信噪比為30 dB。諧波相位采取的是弧度制，諧波與間諧波成分如表4所示。

表4 各次諧波及間諧波成分Tab.4 Composition of harmonics and inter-harmonics

本文對加四項余弦最小旁瓣窗、Blackman-Harris窗的三譜線插值法以及加這兩種窗函數(shù)的雙譜線插值法的四種情況的修正結果進行了分析，頻率、幅值、相位的相對誤差結果 (%)分別如表5、表6、表7所示。

表5 三譜線插值與雙譜線插值頻率修正相對誤差對比Tab.5 Comparison of relative error about frequencies between dual interpolation and triple interpolation%

表6 三譜線插值與雙譜線插值幅值修正相對誤差對比Tab.6 Comparison of relative error about amplitudes between dual interpolation and triple interpolation%

表7 三譜線插值與雙譜線插值相位修正相對誤差對比Tab.7 Comparison of relative error about phases between dual interpolation and triple interpolation%

3.3 結果分析

間諧波測量的窗函數(shù)選取上，最大旁瓣低，能量集中分布在主瓣的窗函數(shù)在間諧波分量的測量上的精度高于其他窗函數(shù)。

系統(tǒng)含有白噪聲，間諧波分量有較接近整數(shù)次諧波并且采樣周期保持在10個的情況下，加BH窗以及四項最小旁瓣余弦組合窗的三譜線插值仍能保證一定的精度，傳統(tǒng)的雙譜線插值誤差超過國標要求的0.2%[16]，已經(jīng)不能滿足精度要求。以幅值誤差為例，B-H窗和最小旁瓣四項窗雙譜線插值和三譜線插值的誤差絕對值曲線對比如圖4所示?？梢钥吹?，三譜線插值的準確性要遠優(yōu)于雙譜線插值。

圖4 兩種插值幅值相對誤差對比Fig.4 Comparison of relative error about amplitudes between two interpolated theory

4 結論

本文提出了一種基于三譜線插值的間諧波分析方法，選取了四項余弦組合窗中的三種典型窗函數(shù)，分別對間諧波接近基波頻率、系統(tǒng)中有噪聲分量的綜合信號兩種情況進行了仿真。窗函數(shù)的選取上，最大旁瓣較低能量集中的窗函數(shù)可以較好地避免間諧波譜線被淹沒。針對電力系統(tǒng)諧波分析即時性的要求，按IEC 61000-4-7∶2002標準設計的采樣周期為10個，遠小于一般文獻中的采樣周期。在計及被測信號含有噪聲干擾情況下，配合所選的兩種窗函數(shù)，三譜線插值仍能保證測量精度，既滿足了測量的精度要求，又滿足了系統(tǒng)的即時分析要求。