基于零空間表示和最大似然的欠定盲源分離方法

王榮杰，詹宜巨，周海峰

(1.中山大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，廣東 廣州 510006；2.中山大學(xué) 工學(xué)院，廣東 廣州 510006；3.集美大學(xué) 輪機(jī)工程學(xué)院，福建 廈門 361021)

1 引言

近年來，鑒于盲源分離優(yōu)越的假設(shè)前提，其模型被廣泛用于數(shù)字通信、語音、圖像處理、船舶工程、機(jī)器人導(dǎo)航和生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理等領(lǐng)域[1～6]。所謂的盲源分離，就是在源信號(hào)和混合系統(tǒng)(或傳輸通道)等未知的情況下，僅根據(jù)源信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性，由觀測(cè)到的混疊信號(hào)恢復(fù)出源信號(hào)。根據(jù)觀測(cè)信號(hào)和源信號(hào)的個(gè)數(shù)，盲源分離可分為超(正)定盲源分離和欠定盲源分離。超正定盲源分離有很多成熟的方法，如 ICA獨(dú)立分量分析[7,8]、修正的Stone法[9]、階統(tǒng)計(jì)代數(shù)法[10]等。但這些方法不適用于觀測(cè)信號(hào)的個(gè)數(shù)少于源信號(hào)的個(gè)數(shù)的情況，欠定盲源分離(UBSS, underdetermined blind source separation)是本文的研究重點(diǎn)。傳統(tǒng)的欠定盲源分離算法主要可分為2類：一類是利用源信號(hào)的稀疏性來處理，文獻(xiàn)[11]提出利用聚類技術(shù)和最小化 l1范數(shù)相結(jié)合的方法來恢復(fù)時(shí)域稀疏的源信號(hào)，文獻(xiàn)[12,13]提出利用時(shí)頻變換方法將非稀疏信號(hào)變換到時(shí)頻域，以達(dá)稀疏的目的，它們認(rèn)為在每個(gè)時(shí)頻區(qū)域內(nèi)只有一個(gè)源信號(hào)不為零；這些方法都選擇服從超高斯分布的語音為源信號(hào)。另一類是利用廣義分布模型作為源信號(hào)的概率密度的貝葉斯估計(jì)法[14,15]，這類方法的主要缺點(diǎn)是計(jì)算復(fù)雜，在一定程度上降低了源信號(hào)的恢復(fù)質(zhì)量。這些傳統(tǒng)的算法都假設(shè)源數(shù)為已知。本文提出一種源數(shù)未知的欠定情況下任意分布源信號(hào)的盲分離方法，該方法首先利用S變換和聚類技術(shù)相結(jié)合來估算源數(shù)和混疊矩陣，然后將源信號(hào)以零空間形式表示，最后通過最大似然 (ML,maxima likelihood) 法估計(jì)關(guān)于它的后驗(yàn)概率以達(dá)到恢復(fù)源信號(hào)的目的。

2 問題的描述

假設(shè)n個(gè)彼此相互獨(dú)立的未知源信號(hào)s(t)=[s1(t),s2(t), …, sn(t)]T，通過一未知瞬時(shí)線性混合系統(tǒng)后，得到m個(gè)觀測(cè)信號(hào)x(t)=[x1(t), x2(t), …, xm(t)]T。觀測(cè)信號(hào)x(t)與源信號(hào)s(t)的關(guān)系可由式(1)表示。

其中，A∈Rm×n為混合矩陣，它反映了混合系統(tǒng)或信道的傳輸特性，要求它為行滿秩，t=0, … ,N-1為時(shí)域采樣點(diǎn)。為了便于分析，在推導(dǎo)過程中將s(t)和x(t)分別記為s和x。

在m ≥ n的情況下，給定A，源信號(hào)s可由式(2)估計(jì)得到。

其中，A*為A的廣義逆矩陣，A*= AT(AAT)。

當(dāng)m＜ n時(shí)，即為欠定情況，既便A已知，對(duì)于源信號(hào)s的恢復(fù)也不是唯一，只能通過估計(jì)方法估計(jì)出s的最優(yōu)估計(jì)值。

3 源數(shù)和混疊矩陣的估計(jì)

在第4節(jié)中分析的前提條件是假設(shè)混疊矩陣A和n為已知，特別在傳統(tǒng)算法中的n都設(shè)為已知，但在實(shí)際中A和n都是未知的。本文采用了一種基于S變換的單源測(cè)試(SSD, single source detention)方法，首先以此為準(zhǔn)則選擇出時(shí)頻域的單源觀測(cè)信號(hào)，然后采用聚類技術(shù)分別估計(jì)源信號(hào)個(gè)數(shù)n和混疊矩陣A。

3.1 基于S變換的單源測(cè)試方法

S變換是Stockwell于1996年提出的一種可逆的局部時(shí)頻分析方法，其思想是對(duì)連續(xù)小波變換和短時(shí)傅里葉變換的發(fā)展。它不同于短時(shí)傅里葉變換之處在于采用的高斯窗口的高度和寬度隨頻率而變化，這樣就克服了短時(shí)傅里葉變換窗口高度和寬度固定的缺陷[16,17]。觀測(cè)信號(hào)的 S變換可由式(3)和式(4)計(jì)算得到。

式(3)和式(4)中，i=1,…,m，代表時(shí)間的 t =0, …,N-1，代表頻率的k=0, …, N-1；式(4)中的(·)為式(3)中信號(hào)的傅里葉變換。

表1 不同單源信號(hào)測(cè)試方法計(jì)算復(fù)雜度的比較

式(5)中，║·║，Re[·]和 Im[·]分別為 Frobenius 范數(shù)，取實(shí)部和取虛部運(yùn)算。如果時(shí)頻點(diǎn)(t, k)為單源點(diǎn)時(shí)，且存在(t, k) ≠ 0(i=1, …, m)，那么 XS(t, k)中所有的元素均由某一個(gè)相同的源信號(hào)與混合矩陣 A中的元素相乘獲得，因此為純實(shí)數(shù)向量，即；如果(t, k)不為單源點(diǎn)時(shí)，那么為復(fù)數(shù)向量，而不為零且為一正數(shù)。式(5)中的ε為一個(gè)正數(shù)。由于具有單源特性的觀測(cè)信號(hào)XS(t,k)的實(shí)部或虛部與對(duì)應(yīng)的A中的列向量之間具有相同的絕對(duì)方向[19]，因此本文利用與傳統(tǒng)的基于稀疏特性的欠定混合矩陣估計(jì)算法中的聚類技術(shù)對(duì)具有單源特性的觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行聚類估計(jì)混合矩陣，同時(shí)源信號(hào)的個(gè)數(shù)也可利用單源信號(hào)的特性和聚類技術(shù)來估計(jì)；式(5)中的Ψs為具有單源特性觀測(cè)信號(hào)XS(t,k)實(shí)部的集合?；赟變換的單源測(cè)試方法不僅克服了其他傳統(tǒng)單源測(cè)試方法中的時(shí)頻變換窗函數(shù)和長(zhǎng)度重疊選擇盲目性的缺陷；同時(shí)，與傳統(tǒng)單源測(cè)試方法相比較，本文方法的計(jì)算簡(jiǎn)單，通過表1比較了3種不同單源測(cè)試方法的計(jì)算復(fù)雜度可以證明。

表1中時(shí)頻變換的點(diǎn)數(shù)均設(shè)為N；利用表中的3種方法將每一個(gè)單源性觀測(cè)信號(hào)變?yōu)橛糜诠浪慊旌暇仃嚨木垲愒仨?xiàng)還需如下計(jì)算量：本文的方法只需 m次取實(shí)部運(yùn)算；而文獻(xiàn)[13]的方法需3m+2次乘法運(yùn)算、3(m-1)次加法運(yùn)算和 2m 次取實(shí)(虛)部運(yùn)算；文獻(xiàn)[19]的方法需m+1次乘法運(yùn)算、(m-1)次加法運(yùn)算和m次取實(shí)(虛)部運(yùn)算。

3.2 源數(shù)和混疊矩陣的估計(jì)

由于源數(shù)是未知的，并且欠定情況下的源數(shù)也不能用PCA或SVD進(jìn)行估算。為了估算源信號(hào)的個(gè)數(shù)，本節(jié)采用一種基于聚類驗(yàn)證技術(shù)確定源數(shù)，該方法根據(jù)不同的聚類數(shù)(聚類數(shù)c=2,…, cmax)對(duì)式(5)中的單源性元素進(jìn)行模糊 c均值聚類(fuzzy c-means clustering)，并以式(6)為準(zhǔn)則對(duì)不同c的聚類結(jié)果進(jìn)行評(píng)估得到最優(yōu)聚類數(shù)，即為源數(shù)。

式(6)中的 Scat(c)和 Sep(c)不僅與聚類數(shù) c有關(guān)，還與單源觀測(cè)信號(hào)集合 Ψs中的元素和聚類中心相關(guān)，它的具體計(jì)算可參考文獻(xiàn)[20]。Scat(c)表示聚類數(shù)為c的聚類緊湊性，當(dāng)聚類緊湊性越好時(shí)Scat(c)的值將越小，它的值在0～1之間；Sep(c)用于描述聚類數(shù)為c時(shí)聚類中心分布情況，稱為聚類分離度；當(dāng)聚類中心分布越合理時(shí)，它的值也將越小。因此，最小化式(6)，便可獲得 Ψs的最佳聚類數(shù)，即確定源信號(hào)個(gè)數(shù)。當(dāng)源數(shù)確定后，混疊矩陣將根據(jù)最優(yōu)聚類下的元素來估算。設(shè)ai為A的第i列向量，具體由式(7)估算得到。

4 源信號(hào)的恢復(fù)

在A和n都已知的欠定情況下，盲源分離算法就是要從x得到s的最優(yōu)估計(jì)。本節(jié)在假設(shè)A和n已知情況下，首先介紹了源信號(hào)的零空間表示[21]，在此基礎(chǔ)上采用了一種基于ML估計(jì)的方法來恢復(fù)源信號(hào)。

4.1 源信號(hào)的零空間表示

為了便于分析，先設(shè)式(1)中的A由一個(gè)m階的對(duì)角陣Λ和m×(n-m)維的0矩陣組成，記Λ=diag[λ1, …, λm]且 λi＜ λi-1, λi( i=1, … ,m)＞0，那么式(1)可改寫成式(8)。

由式(8)可知，s的前m個(gè)值可由式(9)得到。

其余的(n-m)個(gè)s用一個(gè)(n-m)維列向量的r表示，r =[r1,…, rn-m]T。由此式(8)中s的解可用式(10)來描述。

當(dāng)混合矩陣A不滿足式(8)中的特殊形式時(shí)，它的s解也就不能直接用式(10)來描述。但由于A為行滿秩，它的SVD奇異值分解中含m個(gè)不為零的特征值，可寫成A=U(Λ, 0)V，將其代入式(1)，并根據(jù)式(10)，可得到s的解如式(11)所示。

由式(12)可知，當(dāng) A已知，那么估計(jì)了(n-m)個(gè)的r就相當(dāng)于估計(jì)n個(gè)的s。

4.2 源信號(hào)的恢復(fù)

為了能同時(shí)分離服從任意分布的源信號(hào)，本文選取具有對(duì)稱單峰分布特性的廣義高斯模型 (GGM,generalized Gaussian model)[18,22]作為源信號(hào)的概率密度，式(13)為它的通用數(shù)學(xué)表達(dá)式。

其中，α為信號(hào)z的方差，()?！镚amma函數(shù)；調(diào)節(jié)β的值可得出不同的分布函數(shù)模型，β=2表示標(biāo)準(zhǔn)高斯分布，β＜2時(shí)為超高斯分布，β＞2時(shí)為亞高斯分布。

設(shè) X=[ x(0), …, x(N-1)]，R=[r(0), … ,r(N-1)]，S=[ s(0), …, s(N-1)]，q=[α1, …, αn, β1, …,βn]T，并記S的概率密度為f(S|q)。那么可得X和R的聯(lián)合分布函數(shù)如式(14)所示。

為了估計(jì)每個(gè)源信號(hào)分布函數(shù)模型中的α和β，構(gòu)造關(guān)于參數(shù)向量q的先驗(yàn)似然函數(shù)如式(15)所示。

由最大似然估計(jì)法可知

即

式(14)～式(17)中，由于A獨(dú)于立于q，且分布p(X|A,q)和 p(A)是非負(fù)的，因此 q的最大似然估計(jì)可簡(jiǎn)化為式(18)。

式(18)中估計(jì)出q后，根據(jù)關(guān)于R的后驗(yàn)概率P(R | X q; A)利用Metropolis-Hastings算法[23]將產(chǎn)生R的抽樣序列(k=K0, …, K; K0＞0為burn in周期)?；谶@抽樣序列，可定義關(guān)于后驗(yàn)概率均值的二次型損失期望函數(shù)如式(19)所示。

最小化式(19)中的 J(R)可得到后驗(yàn)概率均值的估計(jì)值，它可由式(20)抽樣序列的經(jīng)驗(yàn)均值來逼近。

從上述的分析過程可知，由式(18)和式(20)結(jié)合可估計(jì)出r(t)，然后將其代入式(12)中就可以得到s(t)的估計(jì)值。

5 仿真實(shí)驗(yàn)分析

本文提出的源數(shù)未知的欠定盲源分離算法實(shí)現(xiàn)步驟如下。

step 1 源數(shù)n和混疊矩陣A的估計(jì)

1) 由式(3)和式(4)對(duì) X進(jìn)行 S變換，得到XS(t,k)，t=0,…,N-1, k=0,…,N-1;

2) 由式(5)選擇XS(t,k)中具有單源性的信號(hào)，得到Ψs；

3) 利用文獻(xiàn)[20]中的FCM對(duì)Ψs進(jìn)行c(c=2,…,cmax)聚類，并由式(6)確定n；

4) 由式(7)估算混疊矩陣A；

step 2 源信號(hào)s的恢復(fù)

1) 利用最大似然法估計(jì)式(18)中的參數(shù)向量q;

2) 利用文獻(xiàn)[23]中的 Metropolis-Hastings算法和式(20)相結(jié)合估算r；

3) 將step 1中的A和r代入式(12)，即可得到s的估計(jì)值。

在仿真驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)中選取的源信號(hào)時(shí)域波形如圖1所示，本文的仿真平臺(tái)為MATLAB R2010b。

為了更好地檢驗(yàn)基于S變換和聚類驗(yàn)證技術(shù)相結(jié)合的源數(shù)估計(jì)法，利用例1、例2和例3這3個(gè)例子加以驗(yàn)證。例1的源信號(hào)選{s1, s3}，例2的源信號(hào)選{s1, s2, s3}，例3的源信號(hào)選{s1,s2, s3, s4}，在這3個(gè)例子的仿真實(shí)驗(yàn)中A都是在[-1 1]之間隨機(jī)產(chǎn)生的，且 m=3。它們的仿真結(jié)果如圖2所示。由圖2可知，聚類數(shù)越接近于最優(yōu)值時(shí)它的聚類驗(yàn)證指數(shù)越小，由式(6)可以準(zhǔn)確地確定例 1、例 2和例 3的源數(shù)；由此可表明基于S變換和聚類驗(yàn)證技術(shù)相結(jié)合的估計(jì)法不僅能準(zhǔn)確估計(jì)欠定情況下的源數(shù)，也適用于超定情況。

圖1 源信號(hào)

圖2 聚類驗(yàn)證指數(shù)曲線

為了全面驗(yàn)證本文提出的UBSS方法的有效性，還將該方法與其他文獻(xiàn)的方法進(jìn)行比較加以驗(yàn)證。在這個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)中，式(1)中的 A同樣也是在[-1 1]之間隨機(jī)產(chǎn)生的，它的值見式(21)，本文欠定混合矩陣估計(jì)方法與文獻(xiàn)[13]、文獻(xiàn)[16]、文獻(xiàn)[19]等不同方法估計(jì)的結(jié)果如表 2所示。利用本文、文獻(xiàn)[13]和文獻(xiàn)[24]等 3種不同UBSS方法實(shí)現(xiàn)的分離信號(hào)如圖3所示；源信號(hào)估計(jì)方法的性能由式(22)評(píng)價(jià)，利用它對(duì)源信號(hào)估計(jì)性能的比較如表3所示。

表2 不同混合矩陣估計(jì)方法的估計(jì)結(jié)果的比較

表3 不同UBSS方法分離結(jié)果的比較

由表2和表3的比較結(jié)果，以及圖3的波形可知，本文的欠定盲源分離方法不僅能較好地分離出超高斯和亞高斯2種不同分布的信號(hào)，同時(shí)它在A和源信號(hào)恢復(fù)的性能上也體現(xiàn)了它比其他方法更具有優(yōu)越性。另外，在仿真實(shí)驗(yàn)中，由式(18)得到源信號(hào)(s1,s2,s3,s4)分布函數(shù)中的 α的估計(jì)值分別為1.059 3，1.010 7，0.091 0，0.083 5；β的估計(jì)值分別 70.010 9，172.850 5，0.795 7，1.888 7，由 β 的值可知s1, s2為亞高斯分布信號(hào)，s3, s4為超高斯分布信號(hào)；為驗(yàn)證這一結(jié)論，直接計(jì)算源信號(hào)的峭度，(s1,s2,s3,s4)的峭度分別為1.500 1，1.500 0，6.417 0，5.830 0，當(dāng)峭度大于3的信號(hào)為超高斯分布，小于3的信號(hào)為亞高斯分布，由此說明上述結(jié)論是正確的。

圖4 不同源信號(hào)估計(jì)算法的恢復(fù)信號(hào)

為了進(jìn)一步評(píng)價(jià)第3節(jié)提出的源信號(hào)估計(jì)算法的性能，分別利用該算法與文獻(xiàn)[14,15]的算法分離出欠定情況下的EEG(腦電圖)信號(hào)進(jìn)行比較分析，3種源信號(hào)恢復(fù)算法的復(fù)雜度運(yùn)算量為：本文的算法需估計(jì)2n個(gè)參數(shù)，2n次最大化運(yùn)算，1次Metropolis-Hastings抽樣運(yùn)算；文獻(xiàn)[14]的算法需要估計(jì)2n個(gè)參數(shù)，6n次最大化運(yùn)算，6n次Metropolis-Hastings抽樣運(yùn)算；文獻(xiàn)[15]的算法需要估計(jì)2nL個(gè)參數(shù)，2nL次最大化運(yùn)算，L次Metropolis-Hastings抽樣運(yùn)算，L為該算法的收斂迭代步長(zhǎng)。圖 4(a)中的源信號(hào)s1和s2為服從超高斯分布的EEG信號(hào)，而s3為服從亞高斯分布的噪聲信號(hào)，它們都取自文獻(xiàn)[25]；而混疊矩陣A的值見式(25)，它也是在[-1 1]之間隨機(jī)產(chǎn)生，m=2。在這個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)中，假設(shè)混合矩陣A和源數(shù)n均為已知，圖4(b)為觀測(cè)信號(hào)，圖4(c)～圖 4(e)分別為 3種不同源信號(hào)估計(jì)算法的分離信號(hào)，它們對(duì)源信號(hào)估計(jì)的性能比較如表4所示。

表4 不同源信號(hào)估計(jì)算法實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較

由圖4和表4的比較結(jié)果可知，雖然文獻(xiàn)[15]中概率分布函數(shù)對(duì)信號(hào)建模具有較高的自由度，但大量參數(shù)的估計(jì)不僅使得該算法的計(jì)算復(fù)雜，且源信號(hào)恢復(fù)性能差；利用本文的算法恢復(fù)的源信號(hào)s1和s2的β估計(jì)值分別為1.116 8和1.559 1；與文獻(xiàn)[14,15]的算法比較，該算法具有計(jì)算簡(jiǎn)單和估計(jì)性能優(yōu)越等特點(diǎn)。

6 結(jié)束語

針對(duì)欠定情況下的源數(shù)估計(jì)、混疊矩陣和源信號(hào)恢復(fù)等關(guān)鍵技術(shù)，本文提出了一種源數(shù)未知的欠定盲源分離算法。該方法首先利用S變換和聚類技術(shù)相結(jié)合的方法來估算源數(shù)和混疊矩陣；然后將源信號(hào)以零空間形式表示，這種表示形式將求解n個(gè)未知數(shù)的問題變換成求解(n-m)個(gè)的未知，再通過最大似然法估計(jì)關(guān)于它的后驗(yàn)概率以達(dá)到恢復(fù)源信號(hào)的目的。仿真結(jié)果表明了該方法不僅能較好地分離出服從不同分布的源信號(hào)，同時(shí)它比其他方法具有更好的估計(jì)性能。本文提出的源信號(hào)個(gè)數(shù)和混合矩陣的估計(jì)是利用聚類技術(shù)對(duì) SSD的元素進(jìn)行聚類獲得的，而SSD元素的選取依據(jù)是實(shí)數(shù)的觀測(cè)信號(hào)在S變換時(shí)頻域上滿足提出的SSD條件；在源信號(hào)恢復(fù)方面，通過最大似然法估計(jì)關(guān)于它的后驗(yàn)概率只適用于恢復(fù)混合矩陣為實(shí)數(shù)矩陣情況下的源信號(hào)，但源信號(hào)的零空間表示法也適用于混合矩陣為復(fù)數(shù)矩陣情況，這為復(fù)數(shù)混合矩陣的欠定盲源分離方法的研究提供了重要的思路，同時(shí)復(fù)數(shù)混合矩陣的欠定盲源分離方法的研究將成為我們下一個(gè)研究目標(biāo)。

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