考慮剪切變形及轉(zhuǎn)動慣量的H型鋼梁自由振動*

李靜斌，陳 淮，葛素娟

(鄭州大學(xué)土木工程學(xué)院，河南 鄭州 450001)

H型鋼是一種典型的熱軋型鋼，在各種鋼結(jié)構(gòu)體系中均有廣泛的應(yīng)用。其中，最常見的結(jié)構(gòu)應(yīng)用是作為土木工程中的簡支單梁。在進(jìn)行結(jié)構(gòu)動力分析或動力設(shè)計(jì)時，需要準(zhǔn)確把握其動力特性，特別要求對自由振動頻率進(jìn)行精確求解。工程實(shí)踐中，對H型鋼梁進(jìn)行自由振動分析，往往采用不考慮剪切變形及轉(zhuǎn)動慣量影響的初等梁理論模型。對于長細(xì)比較大的梁，頻率的計(jì)算誤差可能還不明顯;但隨著梁長細(xì)比的減小，初等梁理論模型的計(jì)算誤差將會越來越顯著，從而不能滿足工程設(shè)計(jì)必要的精度的需要［1－7］。本文通過對3種典型熱軋H型鋼截面簡支梁自由振動頻率的計(jì)算，對比初等梁理論和考慮剪切變形及轉(zhuǎn)動慣量影響的高等梁理論的差異，以便為工程結(jié)構(gòu)分析及動力設(shè)計(jì)提供一種簡單易用的理論選用標(biāo)準(zhǔn)。

1 梁自由振動控制微分方程

考慮無阻尼直梁，設(shè)梁的彎曲剛度為EI(x)，單位長度的質(zhì)量為m(x)，梁垂直于軸線方向的橫向位移用v(x，t)表示，隨時間和位置變化的外力用p(x，t)表示。根據(jù)D’Alembert原理，引入橫向剪力V(x，t)及橫向彎矩M(x，t)，由力平衡條件可以得出［8－9］:

對于自由振動的情況，方程(2)的右端為0?？紤]等截面直梁，即EI(x)=EI，m(x)=m，則等截面直梁自由振動微分方程可簡化為:

對方程(3)的求解可采用分離變量法，引入?yún)?shù)β4=ω2m/EI后，可將梁自由振動的振型函數(shù)設(shè)為 φ(x)= C1sinβx+C2cosβx+C3sinhβx+C4coshβx，代入梁端邊界條件，可求出4個待定常數(shù) C1，C2，C3和 C4。

以簡支梁為例，代入x=0及x=L處的邊界條件 v(0，t)=0和 M(0，t)=0，可得C2=C3=C4=0，并可導(dǎo)出頻率方程C1sinβL=0，因C1≠0，故可解得初等梁理論等截面簡支直梁的自由振動頻率:

2 考慮剪切變形及轉(zhuǎn)動慣量的梁自由振動

在方程(2)或(3)的推導(dǎo)過程中，忽略了與梁截面轉(zhuǎn)動有關(guān)的慣性矩，并忽略了梁中因剪切變形引起的撓曲。若考慮剪切變形及轉(zhuǎn)動慣量的影響，則等截面直梁自由振動微分方程為:

仍考慮1個兩端簡支的等截面直梁，假定其解的形式為v(x，t)=Csin(nπx/L)sinω'nt，該式滿足梁兩端的邊界條件。其中ω'n為考慮剪切變形及轉(zhuǎn)動慣量影響的梁自由振動頻率，相應(yīng)地，(4)式中的ωn為不考慮剪切變形及轉(zhuǎn)動慣量影響的梁自由振動頻率。定義Ωn=ω'n/ωn，則梁的頻率方程為:

如果假定nr/L≤1，則方程(6)中含(nπr/L)4的項(xiàng)可忽略不計(jì)。故考慮剪切變形及轉(zhuǎn)動慣量影響的等截面簡支直梁的自由振動頻率為:

由(7)式可見:ω'n＜ωn。分母中的項(xiàng)(nπr/L)代表由轉(zhuǎn)動慣量產(chǎn)生的修正項(xiàng)，(nπr/L)2(E/(κG))則代表由剪切變形產(chǎn)生的修正項(xiàng)。顯然，長細(xì)比L/r越小，剪切變形及轉(zhuǎn)動慣量對頻率的影響越顯著。

3 H型鋼簡支梁自由振動頻率計(jì)算

H型鋼是世界各國廣泛使用的熱軋型鋼，與普通工字鋼相比，其翼緣內(nèi)外兩側(cè)平行，便于同其他構(gòu)件連接，目前在鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中正逐步替代普通工字鋼。熱軋 H型鋼有3種類別，即 HW，HM和HN。從每一種類別中分別選出1種典型型號，具體型號及截面參數(shù)見表1。表1中剪應(yīng)力不均勻系數(shù)κ根據(jù)公式κ=Aweb/A近似計(jì)算得出，其中Aweb為H型鋼截面的腹板面積，A為H型鋼截面的全截面面積。

鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，H形鋼梁的設(shè)計(jì)長細(xì)比L/r在20 ～50 之間，故計(jì)算中共考慮 20，25，30，35，40，45和50共7種長細(xì)比。此外，鋼材的彈性模量E=2.06×1011N/m2，剪切模量 G=0.79 ×1011N/m2。將上述參數(shù)分別代入式(4)及式(7)，可計(jì)算出初等梁理論和考慮剪切變形及轉(zhuǎn)動慣量影響的高等梁理論的簡支梁自由振動頻率。計(jì)算所得前3階頻率下的自由振動頻率分別見表2～4。

由表2～4可見:隨著H型鋼梁長細(xì)比的增大，根據(jù)初等梁理論計(jì)算得到的簡支梁自由振動頻率相對高等梁理論計(jì)算得到的簡支梁自由振動頻率的誤差逐漸減小。為了能夠更加直觀地比較2種梁理論在自由頻率計(jì)算結(jié)果上的差異，下面將表2～4中所列各階頻率描繪成圖，見圖1～3。

如圖1～3所示，圖例中的A型梁代表HW200×200×8×12，B型梁代表HM300×200×8×12，C型梁代表HN400×200×8×13。

表1 典型熱軋H型鋼型號及截面參數(shù)［10］Table 1 Typical hot－rolled H－shape steel models and parameters

表2 H型鋼簡支梁自由振動頻率(HW200×200×8×12)Table 2 Free vibration frequency of H－shape steel beam(HW200×200×8×12)

表3 H型鋼簡支梁自由振動頻率(HM300×200×8×12)Table 3 Free vibration frequency of H－shape steel beam(HM300×200×8×12)

表4 H型鋼簡支梁自由振動頻率(HN400×200×8×13)Table 4 Free vibration frequency of H－shape steel beam(HN400×200×8×13)

4 計(jì)算結(jié)果分析

由表2～4及圖1～3可知:隨著長細(xì)比的增大，采用初等梁理論計(jì)算的自由振動頻率的誤差逐漸減小;低階頻率的誤差小于高階頻率的誤差。另一方面，由表1可見:HW型鋼的剪應(yīng)力不均勻系數(shù)κ小于HN型鋼的剪應(yīng)力不均勻系數(shù)，而κ越小，在式(7)中由剪切變形產(chǎn)生的修正項(xiàng)對頻率計(jì)算精度的影響越顯著。因此，在同樣的長細(xì)比下，HW型鋼簡支梁頻率的計(jì)算誤差最大，HN型鋼簡支梁頻率的計(jì)算誤差最小。

圖2 H型鋼梁第2階頻率Fig.2 2nd frequencies of H －shape steel beam

圖3 H型鋼梁第3階頻率Fig.3 3rd frequencies of H －shape steel beam

對于HW200×200×8×12簡支梁的1階頻率，當(dāng)長細(xì)比大于等于35時，初等梁理論計(jì)算結(jié)果的誤差小于5%，精度可以滿足工程要求;但對于其第2階、第3階頻率，初等梁理論的計(jì)算誤差均大于5%。

對于HM300×200×8×12簡支梁的1階頻率，當(dāng)長細(xì)比大于等于30時，初等梁理論計(jì)算結(jié)果誤差小于5%，精度可以滿足工程要求;但對于其第2階、第3階頻率，初等梁理論的計(jì)算誤差均大于5%。

對于HN400×200×8×13簡支梁的1階頻率，當(dāng)長細(xì)比大于等于30時，初等梁理論計(jì)算結(jié)果的誤差小于5%，精度可以滿足工程要求;但對于其第2階、第3階頻率，初等梁理論的計(jì)算誤差均大于5%。這說明采用初等梁理論求解簡支梁的高階頻率，其計(jì)算精度通常難以滿足工程設(shè)計(jì)要求。

5 結(jié)論

(1)對于各種H型鋼截面簡支梁的第1階頻率，當(dāng)長細(xì)比大于30時(HM截面為35)，采用初等梁理論得到的計(jì)算結(jié)果的誤差在5%以內(nèi)，可滿足工程需要。

(2)對于各種H型鋼截面簡支梁的第2階及更高階頻率，在常用長細(xì)比范圍內(nèi)，采用初等梁理論得到的計(jì)算結(jié)果的誤差均超過5%以內(nèi)，不能滿足工程要求。

(3)在計(jì)算長細(xì)比較小的“短梁”的第1階頻率或各種長細(xì)比H型鋼截面簡支梁的高階頻率時，必需采用求解精度更高的考慮剪切變形與轉(zhuǎn)動慣量影響的高等梁理論模型，計(jì)算結(jié)果方可用于工程分析或動力設(shè)計(jì)。

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