φ混合序列線性形式的強(qiáng)穩(wěn)定性

王悅

（湖北大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430062）

φ混合序列線性形式的強(qiáng)穩(wěn)定性

王悅

（湖北大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430062）

研究了φ混合序列線性形式的強(qiáng)穩(wěn)定性，得到了其具有線性形式強(qiáng)穩(wěn)定性的充分條件。

φ混合序列；強(qiáng)穩(wěn)定性；線性形式

0 引言

φ混合的概念由Dobrushin[1］首先在研究馬氏鏈過程中引入，之后引起了許多學(xué)者的興趣和研究，并取得了一些成果（見文獻(xiàn)[2-4］）。研究隨機(jī)變量序列加權(quán)和的線性形式強(qiáng)穩(wěn)定性一直是經(jīng)典極限理論研究中的熱門課題，取得的結(jié)果已十分深入。然而，關(guān)于φ混合序列的線性形式強(qiáng)穩(wěn)定性的結(jié)果并不多。本文主要研究φ混合序列線性形式的強(qiáng)穩(wěn)定性，得到了其具有線性形式強(qiáng)穩(wěn)定性的充分條件。這種研究不僅僅受到大數(shù)定律研究的推動(dòng)，而且在考慮線性模型最小二乘法估計(jì)的相容性時(shí)就需要討論隨機(jī)變量加權(quán)和的強(qiáng)穩(wěn)定性，因此對線性形式的強(qiáng)穩(wěn)定性的研究無疑是非常重要的。本文約定：文中出現(xiàn)的C總表示正常數(shù)，它在不同的地方可以代表不同的值.

1 主要引理

一方面，根據(jù)引理1，令p=q=2，可得

于是有

證明令EXn=0，對任意正整數(shù)m，n1≤n2。由引理2得

若用P（m，n1，n2）表示（1）式左端的概率，由條件（ii）可知，對每一個(gè)m，有

2 主要結(jié)果及證明

下面我們研究φ混合序列｛Xn｝的強(qiáng)穩(wěn)定線性形式。

證明對每個(gè)n，設(shè)Fn（x）是Xn的分布函數(shù)。定義是示性函數(shù)。于是

由于EXn=0，有

定理2 設(shè)｛an，n≥1｝、｛bn，n≥1｝是兩個(gè)正數(shù)序列，且為一列零均值的φ混合序列，且｛Xn｝＜X，N（x）=Card｛n:cn≤x｝。若下列條件被滿足：

定理3 如果將定理2的條件（i）和（ii）用下面的條件代替：

由條件（iii）和（iv）可知

（II）對x＞0，有xα（log+x）是非降的。

在條件（I）和（II）的基礎(chǔ)上，給出以下定理：

證明由an、bn、cn的定義和條件（ii），可知存在m0∈N，α＞0，β＞0，使得對于n≥m0，有αn≤cnα（logcn）≤βn。因此對于n≥m≥m0，有cn≥αn（α（logcn））-1，從而

由Borel-cantelli引理知，在除去概率為零的集合外，Xn和Yn有相同的斂散性。

則定理4得證。

[1］Dobrushin R L.The central limit theorem for nonstationary Markov chain[J］.Theory Probab，1956，1（1）：72-88.

[2］邵啟滿.關(guān)于φ混合序列的完全收斂性[J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1989，32（3）：377-393.

[3］楊善朝.φ混合序列加權(quán)和的收斂性質(zhì)[J］.應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，1995，11（3）：273-281.

[4］吳群英.混合序列的強(qiáng)收斂性[J］.數(shù)學(xué)研究，1999，32（1）：92-97.

[5］ 林正炎，白志東.概率不等式[M］.北京：高等教育出版社，2006.

[6］Gan S X.Almost sure convergence for ρ-mixing random variable sequence[J］.Statist Prob Lett，2004，67（4）：289-298.

[7］Yang Y Z，Liu Y N.Strong stability of linear forms forψ-mixing random variables[J］.Chinese Journal of Applied Probability and Statistics，2011，27（4）：337-345.

WANG Yue
（Faculty of Mathematics and Computer Science，Hubei University，Wuhan 430062，Hubei，China）

The paper investigates strong stability of linear forms inφ-mixing sequence and obtains sufficient condition of the strong stability of linear forms forφ-mixing sequence.

φ-mixing；strong stability；linear form

O211.4

：A

：1673-0143（2012）03-0015-04

（責(zé)任編輯：強(qiáng)士端）

2012-03-07

王 悅 （1987—），女，碩士生，研究方向：金融數(shù)學(xué)。