H-ARQ信道上高性能全分集LDPC碼的構造與性能分析

郭銳，胡方寧，劉濟林

（1. 杭州電子科技大學 通信工程學院，浙江 杭州 310018；2. 浙江大學 信息與電子工程系，浙江 杭州 310027）

1 引言

ARQ技術是一種簡單有效應對無線信道時變特性，降低系統(tǒng)錯誤概率的技術。當接收端不能正確譯碼時，ARQ技術要求發(fā)送端重傳。H-ARQ技術結合了ARQ和FEC，在接收端組合第1次傳輸（Tx1）與重傳信息（ReTx），從而獲得更高的可靠性[1]?？梢灾貍饕淮危部梢灾貍鞫啻?。如果信道相干時間很短，重傳與原始傳輸經(jīng)歷相互獨立的信道衰落，從而獲得分集增益。

近年來，針對全分集LDPC碼的研究越來越多[2～5]。文獻[6,7]提出了采用root LDPC碼的方法，解決在塊衰落數(shù)目為2的信道上，應用BP迭代譯碼時的全分集問題，但其僅僅分析了塊衰落信道數(shù)目為 2的簡單情況；文獻[8]研究了基于 CPC的LDPC碼在 H-ARQ信道上的性能，但不能獲得全分集；文獻[9]研究了 H-ARQ信道上一次重傳的LDPC碼全分集問題，但對多次重傳沒有涉及，而且，構造的碼字編碼增益較低；文獻[10]研究了ARQ塊衰落信道上基于校驗分裂的全分集 LDPC碼性能，但其在重傳過程中，只是采用了重復編碼的方式，并未提高編碼增益。

本文提出了一種在任意次重傳的H-ARQ塊衰落信道上能取得全分集的高性能LDPC碼。首先，研究了H-ARQ信道中斷概率以及固有分集；然后，構造了全分集LDPC碼，分析了所構造碼字取得全分集的原理；最后，研究了全分集LDPC碼字的結構，提出了通過校驗比特分割，提高全分集校驗比特比例，改善全分集LDPC碼在H-ARQ信道上編碼增益的方法。

2 H-ARQ信道的固有分集

H-ARQ主要分為2類：第1類H-ARQ和第2類H-ARQ。第2類H-ARQ對出錯的數(shù)據(jù)幀只是簡單的丟棄，沒有充分利用其中的有用信息；第2類H-ARQ對接收的數(shù)據(jù)幀進行合并，從而提高了糾錯性能。其中廣泛使用的增加冗余 H-ARQ（IR-HARQ）即第 2類H-ARQ，它在重傳時增加冗余，提高了糾錯性能，但其重傳信息與第1次傳輸?shù)男畔⑼耆粯?。為了提高H-ARQ通信速率，H-ARQ在重傳時可以增加額外的信息比特。本文主要研究第2類H-ARQ信道。

假設長度為K的信息比特ui，編碼成二進制LDPC碼，編碼后碼字為c1,i，長度為N1，碼率為Rc1=K/N1。如接收端不能正確譯碼接收到的信息比特ui，需要發(fā)送端重傳。假設重傳的信息為ui′，長度為K′，ui′可以與ui完全一樣（K′=K），即簡單 IR-H-ARQ ，也可以在重傳時包含新的信息（K′＞K）。編碼后碼字為c2,i，其長度N2。上述2種情況如圖1所示。

把2次傳輸看出一個完整的傳輸過程，碼字長度N=N1+N2，碼率Rc=K′ /N。

圖1 H-ARQ編碼示意（當1,ic不能被正確譯碼時，發(fā)送端重傳2,ic）

如果信道的相干時間很短，將H-ARQ信道近似為獨立的塊衰落信道，假設第1次傳輸時其衰落系數(shù)為α1，當接收端不能正確譯碼時，發(fā)送端重傳。重傳時，信道的衰落系數(shù)為α2。α1,α2服從相互獨立的瑞利分布。則傳輸過程的瞬時信噪比表示為γ1= |α1|2γ和γ2= |α2|2γ，其中，γ=Es/N0是每符號平均信噪比。

一個信道的固有分集d定義為

其中，eP為中斷概率。中斷事件0E表示瞬時互信息小于傳輸速率，通常由一個特殊的區(qū)域決定，其橫縱坐標分別對應于瞬時信噪比。

I1(γ1) 是第 1次傳輸時的瞬時互信息。當I1(γ1)＜Rc1時，需要重傳。由于在塊衰落信道上取得全分集的充分必要條件是在塊刪除信道上能取得全集[2]。在高信噪比情況下，塊刪除信道可以看成是塊衰落信道的一種特殊情況。

當采用BPSK調(diào)制時，ARQ塊衰落信道可以看成是N個并行信道的，每個信道攜帶1bit信息。因此，歸一化的聯(lián)合互信息表示為[12,13]

中斷概率通過對概率分布函數(shù)在中斷事件包含的區(qū)域里積分得到：其中，α10為中斷邊界線與橫軸α1的交點，α20為中斷邊界與縱軸α2的交點。于是，中斷概率分布為

由于α1，α2服從相互獨立的瑞利衰落分布，因此：p(α1,α2) = 4α1α2e-α12-α22，則有

采用泰勒展開得到：

當傳輸次數(shù)cn大于2時（重傳次數(shù)大于1次），其中斷事件表示如下：

Iγ為第 1次傳輸時的瞬時互信息，為cn次傳輸?shù)幕バ畔?。同理?/p>

采用與一次重傳相同的方法，定義10α為中斷邊界線與橫軸1α的交點，20α為中斷邊界與縱軸2α的交點，…，c0nα為中斷邊界與cnα的交點。則有

3 H-ARQ信道上全分集LDPC碼的構造

由上節(jié)分析可知，若每次傳輸經(jīng)歷的衰落系數(shù)相互獨立，則信道的固有分集數(shù)等于傳輸次數(shù)。本節(jié)構造在H-ARQ信道上能取得全分集的碼字（即碼字的分集階數(shù)等于信道的固有分集）。H-ARQ信道可用如下公式來描述：

其中，ix，iy，iz分別為第i次傳輸時的發(fā)送信號，接收信號以及噪聲。假設H-ARQ信道傳輸次數(shù)為2（c2n=），每次傳輸經(jīng)歷的衰落系數(shù)分別記為1α和2α。信息比特1i第1次傳輸，其經(jīng)歷衰落為1α，信息比特2i第2次傳輸，其經(jīng)歷衰落系數(shù)為2α，奇偶校驗比特也分成2部分1p和2p。圖2給出了構造的全分集LDPC碼Tanner圖及校驗矩陣，稱為根校驗全分集LDPC碼。圖中I為單位矩陣，其余子矩陣隨機生成。其中，1C、2C為根校驗節(jié)點，1C通過度數(shù)為1的根連接與第1次傳輸?shù)男畔⒈忍?i相連，而與第2次傳輸?shù)男畔⒈忍?i、奇偶校驗比特2p則以任意度數(shù)連接，其度數(shù)由2iH、2pH的列重決定；2C遵循同樣的規(guī)則。連線上的數(shù)字表示連接的度數(shù)。

圖2 根校驗全分集LDPC碼的Tanner圖及其校驗矩陣（nc=2）

可以看到根校驗節(jié)點把不同傳輸信道聯(lián)系起來，從而獲得額外的分集。

證明如下：考察度數(shù)為δ的根校驗節(jié)點Φ，Λα,i=1,… ,δ-1為與之相連的信息比特節(jié)點傳遞

i給校驗節(jié)點的對數(shù)似然比(LLR)，則迭代譯碼輸出的LLR如下[11]：

th(x)表示雙曲正切函數(shù)，α為先驗消息，e為迭代譯碼時傳遞的外部消息。由于最小和譯碼算法是次優(yōu)的迭代譯碼算法，如果次優(yōu)譯碼算法能取得全分集，則最優(yōu)譯碼算法也能取得全分集。因此，為了簡化分析的復雜度，采用最小和譯碼算法來簡化分析，于是上式簡化為

如果發(fā)送端發(fā)送全0碼字，則jα傳輸?shù)慕徊娓怕市畔⒓从蒵α傳給下一次傳輸?shù)男畔?1,2)j=：

任一信息比特在信道α傳輸?shù)南闰炐畔閇13]

其中，y=α+z，z～N( 0,σ2) 。在第1次迭代時，式(12)中的Λαi都具有式(14)形式?？疾?i中度數(shù)為

ξ信息比特θ，除了具有先驗消息外，還要接收來自校驗節(jié)點的外部消息：Λej，j= 1 ,2,… ,ξ。對于nc=2的H-ARQ信道而言，ξ≥2。θ分別與1C, 2C連接。因此，θ的后驗信息為

指1C中與θ相連的根校驗節(jié)點傳遞的外部信息。Pe( 1i1)表示 1i1中的錯誤概率，它主要由Λ中的前2項并不能影響e1(1)Pi，這是因為與非根校驗節(jié)點概率密度的卷積僅僅能夠更新最后的密度。因此，對于考察分集階數(shù)而言，只需證明能導致全分集。其中，由式(12)計算得到。輸入到根校驗節(jié)點1C的消息以2ψ的概率取負。于是：

則后驗消息的前2項：

當傳輸次數(shù)nc大于2，采用類似的方法。信息比特記為1i，2i，…，nci，1i在α1上傳輸，2i在α2上傳輸，…，nci在αnc上傳輸。奇偶校驗比特也分成nc部分，采用上述類似的方法可以證明：

即式(18)服從自由度為c2n的2χ分布。根據(jù)分集的定義，可知道其分集階數(shù)為cn，獲得了全分集。

普通塊衰落信道的每個子信道是完全對稱的，每個子信道都要求能獲得校驗。與普通塊衰落信道而言，H-ARQ信道只需要通過重傳恢復出上次傳輸?shù)男畔?。于是對c2n= 的 H-ARQ信道，Tanner圖以及校驗矩陣可以簡化為如圖3所示形式：

圖3 針對H-ARQ信道的根校驗全分集LDPC碼的Tanner圖及其校驗矩陣（nc=2）

當c3n= ，相應的編碼矩陣如下：

4 高編碼增益全分集LDPC碼的構造

為了分析全分集LDPC碼的編碼增益，先定義以下變量：比特節(jié)點平均度數(shù)； 校驗節(jié)點平均度數(shù)；歸一化的行度數(shù)分布；歸一化的列度數(shù)：。則有db表示比特節(jié)點度數(shù)最大值，dc表示校驗節(jié)點度數(shù)最大值；λi是度數(shù)為i的比特節(jié)點數(shù)目占總比特節(jié)點數(shù)目的比例，ρj是度數(shù)為j的校驗節(jié)點數(shù)目占總校驗節(jié)點數(shù)目的比例。

如果?(x)表示從每個節(jié)點刪除一條邊，新的度數(shù)分布。 -1表示新的平均度數(shù)，(x)/x表示新的歸一化度數(shù)系數(shù)，則有

以傳輸次數(shù)c2n= 為例，如圖4所示，假設與根校驗節(jié)點 1C相連的邊的集合為ES（除去根連接），其中， |S1i|為2i與1C相連的邊的數(shù)量， |S1p|為2p與 1C相連的邊的數(shù)量。定義fe為SE中S1i所占的比例，ge為SE中S1p所占的比例，則有

圖4 H-ARQ信道上根校驗全分集LDPC碼Tanner圖以及消息傳遞（nc=2）

可見，全分集LDPC Tanner圖包含4種類型的變量(1i,1p,2i,2p)，2種根校驗節(jié)點（1C，2C）和5條不同的邊。用變量x1，x2，…，x5分別表示在以下邊上迭代的消息：1i→ 1 C，1i→ 2 C，2i→ 1 C，1p→ 2 C，2p→ 1 C，q1，f1，f2，g1，g2分別為對應節(jié)點之間傳遞的對數(shù)似然比（LLR）。

由式(17)可知，在nc= 2 的H-ARQ信道上，第l次迭代的LLR表示為

即Λl正比于，其中，ξ為從2i→1C的能量系數(shù)，ζ為1i→2C的能量系數(shù)，α1、α2衰落系數(shù)。

假設2i中的信息比特θ在傳輸過程中發(fā)生錯誤，2i與δ個校驗節(jié)點相連，δ中有ξ個來自1C的校驗節(jié)點被用來糾正θ，ξ被稱為能量系數(shù),顯然ξ越大，糾錯能力越強。如1C中與信息比特θ相連的校驗節(jié)點Φ用來糾正θ，則與Φ相連的其他節(jié)點已知。如圖5所示，這些節(jié)點來自2i或2p，即2p中的一些奇偶校驗比特在若干次迭代后未被刪除（全分集奇偶校驗比特）。能量系數(shù)和這些未被刪除的全分集奇偶校驗比特有關，假設第m次迭代時全分集奇偶校驗比特所占比例為pm。

圖5 信息比特2i局部Tanner圖

圖6 奇偶校驗比特2p局部Tanner圖

奇偶校驗比特2p的局部Tanner圖如圖6所示，1C的葉子節(jié)點隨機來自2i和2p，其概率分別為fe和ge。度數(shù)為j的根校驗節(jié)點1C與葉子節(jié)點之間沒有奇偶校驗比特相連的概率為，由迭代譯碼過程可知

式(25)給出了全分集奇偶校驗比特所占比例的迭代過程。

從2i局部Tanner圖5可知，經(jīng)過大量迭代后，信息比特2i全部被糾正，信息比特1i以及奇偶校驗比特1p未被全刪除，奇偶校驗比特2p有p∞的概率被恢復，1-p∞的概率被刪除。如果信息比特2i的度數(shù)為δ+2，其中，0≤δ≤db-2。因此，能量系數(shù)滿足 1 ≤ξ≤db-1?？紤]根校驗節(jié)點1C，假設j為根校驗節(jié)點1C的度，l為從奇偶校驗比特2p輸入的j- 2 個邊中已經(jīng)恢復的節(jié)點。則度數(shù)為j的校驗節(jié)點1C產(chǎn)生α12消息的概率為

用eΓ表示1C發(fā)送給2i的消息未被刪除的平均概率，通過ρ(x)平均后，有

用P∞(ξ,δ)表示度數(shù)為(δ+2)bit的節(jié)點2i，能量系數(shù)為ξ的概率質(zhì)量函數(shù)，則有

經(jīng)過(x)平均后，有

式(29)給出了能量系數(shù)概率取值的下限與p∞的關系?？梢钥吹絧∞越大，能量系數(shù)越大。因此可以通過控制p∞，增加全分集奇偶校驗比特的比例來提高系統(tǒng)性能。這里采用和信息比特相同的方法，將圖1中的奇偶校驗比特1p分成2部分，分別稱為“1pi”和“1pp”。其中，“1pp”又可以進一步分割成“1ppi”和“1ppp”。由前面的分析可知：“1pi”和“1ppi”的部分都獲得了全分集。2p也可以采用同樣的處理方法進行處理。如圖7所示。

圖7 奇偶校驗比特1p分割

重復上述分割過程，使得α部分的奇偶校驗比特具有二階的根校驗，如圖8所示，稱為二階根校驗全分集LDPC碼。顯然，第1次分割時，α=1/2，第 2次分割時，α= 1 /2 + 1 /4，第 3次分割時，α= 1 /2 + 1 /4 + 1 /8，因此，隨著迭代分割的增加，α= 1 /2 + 1 /4 + 1 /8+…，越來越趨近于 1，稱為全分集奇偶校驗比特。

5 性能分析

考察了構造碼字在H-ARQ信道上的WER性能。實驗中，采用 BPSK調(diào)制，噪聲，每次重傳信道的衰落αj服從獨立的瑞利分布，譯碼采用BP迭代譯碼算法，最大迭代次數(shù)50次。每次重傳的碼字長度一樣N= 4 000，信息長度K=2 000，nc為傳輸次數(shù)，即重傳次數(shù)為nc-1。令H1=[H1iH1p]，H2=[H2iH2p]，

圖8 二階根校驗全分集LDPC校驗矩陣結構

圖9給出了隨機構造的(3,6)LDPC碼的，規(guī)則的(3,6)根校驗全分集LDPC碼（記root -LDPC），以及非規(guī)則的(3,6)根校驗全分集LDPC在1次重傳情況下的WER性能，即1H，2H滿足上述結構。其中，非規(guī)則LDPC碼的度數(shù)分布采用與文獻[13]相同的度數(shù)分布。從圖可以看出，不論是非規(guī)則root-LDPC還是規(guī)則root-LDPC都能取得全分集，非規(guī)則LDPC碼性能要略優(yōu)于規(guī)則(3,6)碼性能。在WER為 10-4時，大概有 0.32dB的改善。非規(guī)則root-LDPC碼與中斷限之間的間隔為0.63dB。

圖9 H-ARQ信道上不同碼字性能比較（nc=2）

圖10比較了H-AQR信道上不同傳輸次數(shù)碼字的性能，仿真了傳輸次數(shù)分別為2，3，4的情況，實驗中碼率R分別為1/2，1/3，1/4，可以看到，傳輸次數(shù)的增加使得碼字獲得更多的分集增益，這是因為在譯碼過程中，信息節(jié)點和校驗節(jié)點都從其他的塊衰落信道上獲得了更多的校驗，從而獲得更多的分集，并且從圖上可以看出不論傳輸次數(shù)為2，3還是4，都能獲得全分集。

圖10 H-ARQ信道上不同傳輸次數(shù)碼字性能分析

圖11和圖12分別給出了采用本文方法構造的二階全分集LDPC碼字的性能。分別仿真了二階根校驗root-LDPC碼 1/2a= ，以及普通root-LDPC碼字的性能。其中，圖11仿真了c2n= ，圖12仿真了c3n= 的情況下，采用上述方法構造的(3,6)全分集LDPC碼。由圖可見二階全分集碼字獲得了編碼增益，具有更加優(yōu)異的性能。這是因為采用了二階全分集技術，增加全分集奇偶校驗比特的比例，這些奇偶校驗比特在迭代譯碼過程中向信息節(jié)點傳遞信息，增加了能量系數(shù)，從而改善了碼字性能。

圖11 H-ARQ信道上二階根校驗全分集 LDPC性能（nc=2）

圖12 H-ARQ信道上二階根校驗全分集LDPC性能（nc=3）

圖 13給出了本文所提出算法與文獻[9,10]算法的性能比較，實驗中采用 BPSK調(diào)制，碼長N= 2 000，BP譯碼的最大迭代譯碼次數(shù)50次。首先，比較了本文所提的算法在nc= 2 時的性能與文獻[9]中采用CPC的H-ARQ性能，可以看到，無論是本文所提算法還是文獻[9]所提算法都能取得全分集，由于基于CPC的H-ARQ在重傳過程中增加了更多的冗余信息，性能優(yōu)于本文構造的根校驗全分集 LDPC碼，但要稍遜于本文提出的二階根校驗LDPC碼(a= 3 /4)，同時ARQ會導致傳輸延時增加。其次，比較了本文所提的算法在(nc= 4 ,R= 1 /4)情況下的性能與文獻[10]中采用校驗分割的碼字在塊衰落數(shù)目為2，重傳次數(shù)為2(即R1= 1 /2L= 2 ,B= 2 )下的性能，可以看到兩者都能取得全分集，分集階數(shù)均為4。但是由于文獻[10]在重傳過程中，只是簡單的重復編碼，并沒有帶來編碼增益，因此，本文算法的性能優(yōu)于文獻[10]中的碼字性能。

圖13 本文構造碼字與文獻[9,10]碼字在H-ARQ信道上的性能比較

6 結束語

本文研究了 H-ARQ塊衰落信道上全分集低密度奇偶校驗（LDPC）碼的構造與性能，然后構造了在H-ARQ塊衰落信道上能取得全分集的LDPC碼，新構造的碼字采用根校驗節(jié)點把每次傳輸聯(lián)系起來，從而獲得全分集。在此基礎上，提出了通過提高全分集校驗比特的比例，改善全分集LDPC碼在H-ARQ信道上編碼增益的方法。仿真結果表明，所提算法在H-ARQ信道上不僅能取得全分集，而且具有較高的編碼增益。

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