兩種群競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其數(shù)值仿真

李曉康

（陜西理工學(xué)院 數(shù)學(xué)系，陜西 漢中 723000）

兩種群生態(tài)系統(tǒng)包括食餌－捕食者系統(tǒng)、共生系統(tǒng)、競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)［1].競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)是指兩個(gè)種群生活在同一環(huán)境下，具有相同的食物來(lái)源，為了生成而競(jìng)爭(zhēng)，競(jìng)爭(zhēng)的常見(jiàn)結(jié)局是競(jìng)爭(zhēng)力較弱的種群數(shù)量逐步減少直至滅絕，競(jìng)爭(zhēng)力較強(qiáng)的種群數(shù)量逐步增加趨于環(huán)境容許的最大數(shù)量［2].對(duì)兩種群競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的研究，取得了大量的成果，文獻(xiàn)［3]對(duì)具有捕獲兩種群競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的捕獲系數(shù)進(jìn)行了研究，王庚對(duì)兩種群競(jìng)爭(zhēng)非線性反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)奇攝動(dòng)Robin問(wèn)題及其漸進(jìn)性進(jìn)行了研究［4－5].文獻(xiàn)［6]研究了具有階段結(jié)構(gòu)的兩種群競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的周期解，文獻(xiàn)［7－9]研究了具有年齡結(jié)構(gòu)三競(jìng)爭(zhēng)種群系統(tǒng)的適定性.

本文將對(duì)兩種群競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)Volterra prey－predator模型進(jìn)行穩(wěn)定性分析，并對(duì)模型進(jìn)行數(shù)值仿真.

1 Volterra prey－predator模型

兩競(jìng)爭(zhēng)種群的數(shù)量x，y所滿足的微分方程組為

模型（1）的含義為：種群數(shù)量變化率與自身數(shù)量成正比，同時(shí)由于自身數(shù)量和競(jìng)爭(zhēng)者數(shù)量的阻滯作用，故在模型中減去它們的交叉項(xiàng).

由于模型（1）為非線性模型，得不到其解析解，下面通過(guò)穩(wěn)定性及相軌線進(jìn)行分析.

2 穩(wěn)定性及相軌線

為分析兩種群相互競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)果，下面分析模型（1）的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.由平衡點(diǎn)的定義，由模型（1），令其右端為0，得方程組：

求解方程組（2），可得兩個(gè)平衡點(diǎn)：P1（0，0），P2平衡點(diǎn)P1（0，0）表明兩種群最終消失，平衡點(diǎn)表明兩種群最終趨于某穩(wěn)定數(shù)量，這是希望看到的結(jié)果.下面分析平衡點(diǎn)穩(wěn)定的條件.

由平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性理論：

將2個(gè)平衡點(diǎn)的p，q計(jì)算結(jié)果及穩(wěn)定條件列入表1.

表1 平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

下面利用相軌線對(duì)模型（1）進(jìn)行分析.

首先，求解相軌線，即求

分離變量，得：

兩邊分別對(duì)y，x積分，有

即

這里，C是任意常數(shù)，化簡(jiǎn)，得到

這里，C0為任意常數(shù)，且

滿足初值條件x（0）＝x0，y（0）＝y(tǒng)0的解為

顯然，y＝0是一個(gè)特解.為分析相軌線的特征，下面對(duì)（3）進(jìn)行討論，有以下4種情況：

1）－c＋dx＞0，a－by＞0，即此時(shí)，說(shuō)明種群數(shù)量增加；

2）－c＋dx＞0，a－by＜0，即此時(shí)說(shuō)明種群數(shù)量x增加，y減少；

3）－c＋dx＜0，a－by＞0，即此時(shí)，說(shuō)明種群數(shù)量x減少，y增加；

4）－c＋dx＜0，a－by＜0，即，此時(shí)說(shuō)明種群數(shù)量減少.

3 數(shù)值仿真

下面利用Matlab軟件編程對(duì)模型（1）進(jìn)行數(shù)值仿真，Matlab程序如下：

首先編輯M文件如下：

function y＝volterra（t，x）

a＝0.005；b＝0.0006；c＝0.006；d＝0.0015；

y＝［a＊x（1）－b＊x（1）＊x（2），－c＊x（2）＋d＊x（1）＊x（2）]＇；

然后在命令窗口鍵入如下程序并運(yùn)行：ts＝0：300；x0＝［4，8.33]；

［t，x]＝ode45（＇volterra＇，ts，x0）；

［t，x]

subplot（1，2，1）；plot（t，x（：，1），t，x（：，2））；grid

subplot（1，2，2）；plot（x（：，1），x（：，2））；grid

運(yùn)行結(jié)果如圖1～7所示.圖6表明了Volterra prey－predator模型在參數(shù)給定時(shí)奇點(diǎn)周圍相軌線的走向.從圖6可以發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)在奇點(diǎn)8.33）周圍有一條閉軌線.

4 結(jié) 論

從以上分析及數(shù)值仿真的結(jié)果可以看出，兩種群競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)中兩種群的數(shù)量在平衡點(diǎn)附近震蕩、波動(dòng)，對(duì)給定的參數(shù)值a＝0.005，b＝0.000 6，c＝0.006，d＝0.001 5和初值（x0，y0）＝（4，8.33），種群甲的數(shù)量在4附近波動(dòng)，種群乙的數(shù)量在8.33附近波動(dòng)，周期大約為1 200，如圖7所示，存在一條閉軌線，方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?，如圖6所示.且數(shù)值仿真結(jié)果表明：初值x0在［4，8]，y0在［3，8]范圍內(nèi)變化，兩種群數(shù)量變化的特征和相軌線的特征基本不變.

［1]Lucas W F.生命科學(xué)模型［M].長(zhǎng)沙：國(guó)防科技大學(xué)出版社，1996：12.

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