基于徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的地下水?dāng)?shù)值模擬模型的替代模型研究

伊燕平，盧文喜，張 耘，蘆貴君，王大中，洪德法

（1.吉林省宏利水土保持咨詢有限公司，長春130033；2.吉林大學(xué) 環(huán)境與資源學(xué)院，長春130026；3.吉林省水土保持科學(xué)研究院，長春130033；4.長春市城鄉(xiāng)規(guī)劃設(shè)計研究院，長春130021）

理論研究和工程實踐證明，模擬優(yōu)化才能解決地下水修復(fù)過程中決策方案的優(yōu)選問題，因此基于數(shù)值模擬的優(yōu)化模型日益受到人們的重視[1－2]。但實現(xiàn)模擬模型與優(yōu)化模型耦合，以往運用的嵌入法、響應(yīng)矩陣法、狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程法都有自身的局限性[3]，如嵌入法，它將狀態(tài)變量（水位）和可控輸入變量（抽水量）同時作為優(yōu)化模型中的決策變量，因此對于多時段的非穩(wěn)定流問題，就會產(chǎn)生“維數(shù)災(zāi)難”；響應(yīng)矩陣法只適用于線性系統(tǒng)的模型耦合；狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程法只適用于動態(tài)規(guī)劃。為了克服以往耦合技術(shù)方法的局限性，近年來，提出了替代模型法[4]，它在功能上逼近模擬模型，在優(yōu)化模型迭代求解過程中可直接調(diào)用替代模型，大幅度地減少計算負(fù)荷，節(jié)省運算時間，是一種連接模擬模型與優(yōu)化模型的有效途徑。

替代模型質(zhì)量的好壞取決于采樣方法和替代模型種類的選定。替代模型種類的選取已有初步研究，Qin等運用回歸分析方法建立了雙響應(yīng)面模型作為替代模型[5－6]；Johnso等應(yīng)用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法建立誤差逆?zhèn)鞑ィ˙P）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型作為替代模型[7－9]。本文以金泉工業(yè)園區(qū)地下水水源地為研究區(qū)，在已有研究區(qū)地下水?dāng)?shù)值模擬模型的基礎(chǔ)上，采用拉丁超立方抽樣方法，應(yīng)用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，建立了徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，作為地下水?dāng)?shù)值模擬模型的替代模型，并對替代模型的有效性進行了驗證，旨在為日后替代模型的深入研究提供科學(xué)的理論依據(jù)。

1 拉丁超立方抽樣

輸入（抽水量）—輸出（水位降深）數(shù)據(jù)集是建立替代模型的基本前提。本文應(yīng)用拉丁超立方抽樣的方法，在抽水井的抽水量可行范圍內(nèi)進行采樣，選取有代表性的抽水量作為地下水?dāng)?shù)值模擬模型輸入數(shù)據(jù)集（表1）。

表1 實際抽水量數(shù)據(jù)資料 m3／d

1.1 基本原理

拉丁超立方抽樣（Latin Hypercube Sampling，簡稱LHS）屬于分層抽樣，是一種用采樣值反映隨機變量整體分布的方法[10]。拉丁超立方抽樣可以避免直接抽樣法數(shù)據(jù)點集中而導(dǎo)致的仿真循環(huán)重復(fù)問題，有效地避免了大量反復(fù)的抽樣工作[11－12]。同時，它強制抽樣過程中采樣點必須離散分布于整個抽樣空間，使得抽樣的覆蓋度得到了很好的保證，抽取的樣品具有一定代表性，如圖1所示。

圖1 二維變量LHS抽樣示意圖

1.2 抽樣過程

1.3 抽樣結(jié)果

基于拉丁超立方抽樣的思想，確定每口抽水井的抽樣數(shù)目，H＝30。通過調(diào)用VB程序中的Randomize（）函數(shù)實現(xiàn)抽樣，結(jié)果見表2。

2 徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

徑向基函數(shù)（Radial Basis Function，簡稱RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種局部逼近的前饋式神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。它由輸入層、隱含層和輸出層組成，網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖2所示。與誤差逆?zhèn)鞑ィ‥rror Back—Propagation，簡稱BP）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)收斂速度快，能夠快速找到全局極小值。

設(shè)輸入向量為n維向量X，輸出向量為l維向量Y，則RBF網(wǎng)絡(luò)隱含層第i個節(jié)點的輸出為：qi＝R（PX－ciP），式中：ci是隱含層第i個節(jié)點的中心，i＝1，2，…，m，m是隱含層節(jié)點數(shù)；PX－ciP是向量X－ci的范數(shù)，代表輸入向量離開該徑向基函數(shù)中心ci的程度；R（·）為徑向基函數(shù)，它在ci處有唯一的一個最大值，隨著PX－ciP的增大，R（·）迅速衰減到零，對于給定的輸入變量，只有一小部分靠近中心的被激活。

網(wǎng)絡(luò)輸出層第k個節(jié)點的輸出為隱含層節(jié)點輸出的線性組合：

式中：wik——第i個隱含層節(jié)點到第k個輸出層節(jié)點的連接權(quán)值；qk——第k個輸出層節(jié)點的閾值。

表2 LHS抽樣結(jié)果

圖2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

在學(xué)習(xí)階段通過用大量的樣本進行訓(xùn)練，不斷修正神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的各參數(shù)，使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對樣本具有模式識別能力，這樣把訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)集輸入到RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中就能夠得到相應(yīng)的目標(biāo)輸出數(shù)據(jù)集。基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型具有識別模式特征的能力，建立RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型作為地下水?dāng)?shù)值模擬模型的近似替代模型[13－15]。

3 替代模型的建立

將抽樣得到的數(shù)據(jù)代入到地下水?dāng)?shù)值模擬模型中運行，計算得到觀測井地下水水位降深數(shù)據(jù)集，即輸出數(shù)據(jù)集。

3.1 數(shù)據(jù)處理

為了模擬計算區(qū)內(nèi)5口抽水井同時抽水對地下水水位降深的影響，利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建抽水強度與觀測井水位降深之間的非線性函數(shù)關(guān)系。將拉丁超立方抽樣得到的數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，并任意選取5組數(shù)據(jù)作為驗證替代模型有效性的測試樣本，如表3所示。

3.2 網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建與訓(xùn)練

利用輸入（抽水量）、輸出（降深）數(shù)據(jù)集分別建立抽水井抽水量—觀測井水位降深均值、抽水井抽水量—觀測井水位降深剩余標(biāo)準(zhǔn)差兩個RBF神經(jīng)網(wǎng)路模型。以Matlab 6.5為平臺，調(diào)用newrb（）函數(shù)構(gòu)建RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。首先建立抽水井抽水量—觀測井水位降深均值的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。輸入層代表抽水井的抽水量，神經(jīng)元個數(shù)與抽水井?dāng)?shù)目一致，定為5；輸出層表示觀測井水位降深均值，神經(jīng)元個數(shù)定為1。通過運行計算機程序，得到RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的水位降深均值與模擬模型擬合的誤差。同理，構(gòu)建抽水井抽水量—觀測井水位降深剩余標(biāo)準(zhǔn)差的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，輸出層表示觀測井水位降深剩余標(biāo)準(zhǔn)差，神經(jīng)元個數(shù)定為1。通過調(diào)用Matlab程序，得出RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的水位降深剩余標(biāo)準(zhǔn)差及與模擬模型結(jié)果擬合的誤差。

3.3 替代有效性驗證

RBF神經(jīng)網(wǎng)路模型的輸出結(jié)果與地下水?dāng)?shù)值模擬模型計算得到的數(shù)據(jù)擬合效果較好。為了檢驗RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型是否能夠替代地下水?dāng)?shù)值模擬模型，將RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型輸出的水位降深均值和水位降深剩余標(biāo)準(zhǔn)差，分別與地下水?dāng)?shù)值模擬模型得到的結(jié)果進行誤差擬合計算，如表4所示。

經(jīng)驗證，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型計算得到的水位降深均值與模擬模型計算結(jié)果擬合的平均相對誤差為0.038；水位降深剩余標(biāo)準(zhǔn)差與模擬模型計算結(jié)果擬合的平均相對誤差為0.042。擬合誤差較小，說明RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在功能上逼近模擬模型，能夠有效地替代地下水?dāng)?shù)值模擬模型。

表3 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練樣本與測試樣本數(shù)據(jù)

表4 RBF模型輸出結(jié)果與地下水?dāng)?shù)值模擬模型的平均相對擬合誤差

4 結(jié)論

結(jié)合地下水?dāng)?shù)值模擬模型，采用拉丁超立方抽樣，獲取建立替代模型所需的輸入輸出數(shù)據(jù)集，應(yīng)用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法，構(gòu)建了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型作為地下水?dāng)?shù)值模擬模型的替代模型。經(jīng)驗證，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型輸出的結(jié)果與模擬模型的計算結(jié)果擬合誤差較小，表明RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在功能上逼近模擬模型，能夠有效地替代地下水?dāng)?shù)值模擬模型，可以在優(yōu)化模型迭代求解過程中直接調(diào)用替代模型解決多目標(biāo)優(yōu)化問題。

替代模型法能夠克服以往耦合技術(shù)方法存在的局限性，大幅度地減少優(yōu)化模型求解計算過程中直接調(diào)用模擬模型所造成的計算負(fù)荷，節(jié)省大量時間，是一種具有挖掘潛力和實用價值的解決問題的途徑。但本文只驗證了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型本身的替代有效性，并未對模擬優(yōu)化迭代求解過程中替代模型的實用性進行驗證，因此建議將RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型應(yīng)用到實際中，繼續(xù)檢驗其作為替代模型的適用性，進一步完善替代模型理論，提高替代模型的準(zhǔn)確性。

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