基于問題驅(qū)動的數(shù)學建模教學理念的探索與實踐

鄭 蘭 肖文平

（1.武漢船舶職業(yè)技術(shù)學院，湖北 武漢 430050；2.華為成都研究所，四川成都 430072）

1 引 言

21世紀是科技創(chuàng)新的時代，在“十二五”時期，我國要繼續(xù)保持經(jīng)濟的高速發(fā)展，離不開科技創(chuàng)新人才的培養(yǎng)，然而如何在數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的科技創(chuàng)新思維和能力，一直是高校數(shù)學改革的重要課題。每年舉行一次的全國大學生數(shù)學建模競賽，是高校數(shù)學教學改革中的新思路。數(shù)學建模競賽是培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力和創(chuàng)新思維的一個良好平臺，它是引導學生從“學得會”數(shù)學到“用得著”數(shù)學的一座橋梁。

全國大學生數(shù)學建模競賽到今年也有20年的時間。傳統(tǒng)的數(shù)學建模教學方法和傳統(tǒng)的數(shù)學教學模式，即老師在臺上講，學生在臺下聽。這種方法的教學效果往往不理想，老師在臺上講的往往都是很深奧的數(shù)學基礎理論或是數(shù)學理論方法的應用，學生聽得很吃力，感覺很枯燥，沒有調(diào)動學生的學習興趣，遇到實際的數(shù)學建模問題時還是不知如何下手，教學效果往往不理想。

針對以上問題，我們在數(shù)學建模的教學實踐中探討和實踐基于問題驅(qū)動的教學理念，學生感覺學習數(shù)學建模不是那么枯燥和深奧，并渴望能主動去思考問題，解決問題，課堂教學氣氛越來越活躍，學生學習的熱情也不斷提高，取得了不錯的教學效果。

2 問題驅(qū)動教學法的概念與內(nèi)涵

恩格斯曾經(jīng)說過 ：“和其他所有學科一樣，數(shù)學是從人們的實際需要中產(chǎn)生的”，“純數(shù)學是以現(xiàn)實的空間的形式和數(shù)量的關系為對象的。這些資料表現(xiàn)于非常抽象的形式之中，這一事實只能表面地掩蓋它的來自現(xiàn)實世界的根源”［1］。這句話的意思是數(shù)學也是從實際的生活中產(chǎn)生的，是要滿足人們的生活生產(chǎn)的實際需要，例如，我國古代的數(shù)學著作《九章算術(shù)》，它的九章中的每一章都是以實際問題為出發(fā)點，引出相關的數(shù)學理論。數(shù)學的研究和發(fā)展離不開實際問題的驅(qū)動，數(shù)學建模教學更是如此。

現(xiàn)代認知心理學關于思維的研究成果表明，思維通常是由問題情境產(chǎn)生的，而且以解決問題情境為目的。學生的創(chuàng)新意識正是在問題情境中得到激發(fā)的。

而問題驅(qū)動教學法的核心就是：教師在進行教學時，要精心設計問題情境，引導學生自覺、主動地去探索與分析問題直到最后解決問題。

基于問題驅(qū)動下的數(shù)學建模教學應該是在教師的引導下，先給出一個學生感興趣和熟悉的實際問題，讓學生主動思考，建立起數(shù)學模型，然后通過計算機相關軟件計算出數(shù)學模型的結(jié)果，從而解決教師之前提出的實際問題，從而讓學生獲取數(shù)學知識、思想方法和技能。基于問題驅(qū)動下的數(shù)學建模教學法，充分體現(xiàn)了“學生主體，教師主導”的教學理論，通過學生的主動思考，主動解決實際問題，提高學生的數(shù)學建模能力。

2.1 以培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力作為目的和核心

美國數(shù)學教授Davis在一篇題為《我們所做的數(shù)學是我們所教的數(shù)學嗎？》［2］中尖銳地指出，現(xiàn)在多數(shù)數(shù)學教學中通常采取的授課路線是“演講－記憶－測試”。他們很尖銳的指出我們教的數(shù)學已經(jīng)嚴重偏離數(shù)學的本質(zhì)。那么什么才是數(shù)學教學的本質(zhì)呢？我們認為數(shù)學教學的本質(zhì)是不斷地提出問題并解決問題的方式來獲取新的知識，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力的過程。而基于問題驅(qū)動的數(shù)學建模教學就是要學生在老師的指導下，以培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力作為目的和核心，讓學生通過主動思考、探索問題，獲取數(shù)學建模的思想方法和知識技能。

2.2 突出學生的主體地位

實現(xiàn)以問題驅(qū)動教學法的數(shù)學建模教學，必須給學生一個自由思考，充分展現(xiàn)自己思維的空間。教師應該把學生放在整個教學過程中的主體地位，激發(fā)其能動性、自主性和創(chuàng)造性，自覺地以學生意識的增強、主體地位的確立、主體能力的提升和主體力量的解放為己任，只有這樣學生才能積極主動地思考問題，解決問題，才能激發(fā)學生的學習興趣，才能將學生培養(yǎng)成具有進取意識和創(chuàng)新精神的個體，并取得良好效果。

3 基于問題驅(qū)動教學法的數(shù)學建模教學的實施步驟

問題驅(qū)動體現(xiàn)了數(shù)學的創(chuàng)造本性。數(shù)學是一門具有創(chuàng)造性的學科，數(shù)學建模教學是培養(yǎng)學生創(chuàng)造性的陣地。問題意識和問題發(fā)現(xiàn)能力是創(chuàng)新精神的基石，發(fā)現(xiàn)問題是解決問題的邏輯前提，若數(shù)學建模教學要成為以問題發(fā)現(xiàn)和問題解決兩者并重且相互促進的教學模式，數(shù)學建模教學一定會收到事半功倍的效果。

3.1 提出實際問題

問題驅(qū)動的數(shù)學建模的教學理念，第一步就是要提出實際的合理的問題，這是數(shù)學建模教學活動中的第一步，也是最關鍵的一步。提出的問題好，學生思考的主動性就高，就能充分激發(fā)學生的求知欲與學習的興趣。那么怎樣的問題才是好的問題呢？我們認為好的問題應具備以下幾點：⑴應該從生產(chǎn)實際出發(fā)，是同學們熟悉的問題背景，使學生會覺得學數(shù)學建模有意思，有利于學生提高學習數(shù)學建模的興趣，克服同學們對數(shù)學的畏難情緒。⑵問題應該不太難以理解和思考，做到學生容易上手，但是問題也不能太過簡單，這樣就失去了授課的價值。⑶應該能從問題中提煉出數(shù)學模型，并可以引出所需要學習的數(shù)學建模相關學科的知識。

例1：A1，A2是兩個糧庫，每月分別可以調(diào)出糧食30噸與40噸，三個糧店B1，B2，B3，每月的需求分別為20噸，25噸與18噸。糧庫與糧店之間每噸糧食的運費如表1所示（單位：元／噸）。

表1 糧庫與糧店之間每噸運費

問題1：要求安排糧食調(diào)運方案，在滿足需求的前提下，使總費用最低。

首先，該問題通俗易懂，容易引起學生的興趣和思考。另一方面，這個問題是運籌學上的運輸問題，建立的數(shù)學模型是一個典型的線性規(guī)劃，能夠從該問題中引申出線性規(guī)劃的理論和概念。

3.2 讓學生主動思考，建立數(shù)學模型

學生能力的提高是數(shù)學建模教學的核心與最終目的，要達到這一點，我們必須以學生為整個教學環(huán)節(jié)的主體，教師在整個教學過程中起主導作用，也就是說，在教師的引導下，從實際的問題出發(fā)，讓學生主動思考，主動研究，分析問題，建立起數(shù)學模型。盡管在整個教學過程中，學生是教學的主體，但教師在問題情境下的逐步引導也十分關鍵，教師可以通過設問的方法讓學生逐步建立起正確的數(shù)學模型。如在例1中的，糧食運輸計劃問題。我們可以做如下的問題驅(qū)動。

問1：建立數(shù)學模型的第一步是假設合理的變量，列出目標函數(shù)。那么以上問題的未知量應該怎么設，目標函數(shù)應該是什么呢？

同學們就會想到要使總費用最低，必須先將糧庫Ai到糧店Bj的調(diào)運量表示出來，于是同學們就會自然而然的想到設調(diào)運量為xij，i＝1，2，j＝1，2，3。目標函數(shù)為：

體現(xiàn)數(shù)學規(guī)劃的數(shù)學模型過程的目的性，問題假設的合理性，參數(shù)選擇的正確性。

問2：實際問題中往往由于生產(chǎn)規(guī)模，資源條件的限制，目標函數(shù)不可能無限大與無限小，一定有一些等式與不等式的約束條件，那么這個問題的約束條件應該是什么呢？

于是同學們就會想到每個月調(diào)出的糧食不應多于糧庫的庫存量即：

以及每個月運輸?shù)募Z食應該滿足三個糧店每月的需求即：

最后所設變量的非負約束：

體現(xiàn)了數(shù)學規(guī)劃模型約束條件和目標函數(shù)相容性及數(shù)學規(guī)劃模型的合理性，完整性。

問3：若問題中的資源約束改變或目標計劃改變，最優(yōu)解和數(shù)學模型會有哪些改變？

我們運用lingo軟件求解時，由Solution Report中，可以看出第二行為緊約束，對應的對偶價格為2，表示該緊約束x11＋x12x13≤30，若變?yōu)閤11＋x12x13≤31時，目標函數(shù)值就會從199變化為199加上2為201。

同時還可以從Solution Report中的Reduced Cost中看出決策變量有微小變動時，目標函數(shù)的變化率。另外，在LINGO｜Options中的Range選項中，我們還可以看到目標函數(shù)和系數(shù)變化范圍等。由上述結(jié)果我們就引出了靈敏度分析的相關問題，這是線性規(guī)劃的重要概念，體現(xiàn)數(shù)學建模結(jié)果分析和校正的重要性。

3.3 教師從問題中總結(jié)提煉，并引導學生求解數(shù)學模型

同學們在教師的指導下，通過對實際問題建立起數(shù)學模型后，一定要從中歸納數(shù)學理論與方法，這樣學生才能真正在數(shù)學建模能力上有所提高。

上例中的糧食運輸問題是線性規(guī)劃中的基本問題之一。同學們所設的變量在運籌學中叫決策變量，總費用最低的數(shù)學表達式叫做目標函數(shù)，生產(chǎn)規(guī)模，資源條件的限制所形成的等式與不等式叫做約束條件。以上三個概念就是規(guī)劃問題中的三要素，它體現(xiàn)了模型討論的應用性和創(chuàng)新性。

4 結(jié) 語

思維通常是從問題產(chǎn)生的，并以解決問題為目的。問題驅(qū)動下數(shù)學建模的教學策略是在教師的指導下，從熟悉或感興趣的數(shù)學情景出發(fā)，通過積極思考，主動探索，提出問題，分析問題，建立模型，最后解決問題，通過這一過程使學生獲取數(shù)學知識、思維方法和技能、技巧并形成應用數(shù)學知識解決實際問題的能力。這種教學策略迎合了時代發(fā)展對創(chuàng)新人才的需要，同時實現(xiàn)了“從問題中來，到問題中去”的教學模式，提高了學生學習數(shù)學建模知識的主動性和積極性。

1 李大潛.關于大力提倡和推動以問題驅(qū)動的應用數(shù)學研究的建議［J］.中國科學基金，2006，20（4）.

2 林浩.用數(shù)學本原性問題驅(qū)動數(shù)學概念教學［D］.浙江：浙江師范大學，2007.

3 張奠宙，張蔭南.新概念：用問題驅(qū)動的數(shù)學教學［J］.高等數(shù)學研究，2004（03）.

4 薛長虹，于凱.數(shù)學建模課程教學方式探討［J］.大學數(shù)學，2007，（8）：4

5 鐘守楠，高成修.運籌學理論基礎［M］.武漢：武漢大學出版社，2005.