熱聲熱機結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析

劉益才，顏鵬，馬衛(wèi)武，陳思明，陳麗新，李照龍

(中南大學(xué) 能源科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 長沙，410083)

近年來國內(nèi)外學(xué)者從多個角度討論熱聲振蕩的產(chǎn)生機理[1-6]。研究表明熱聲熱機的聲學(xué)特性和頻率存在一定關(guān)系，在某一頻率下聲學(xué)特性表現(xiàn)最佳[7-8]。當某個力作用于結(jié)構(gòu)時，會引起結(jié)構(gòu)自身的振動，這是結(jié)構(gòu)聲產(chǎn)生的一個重要原因即振動激勵[9-11]。根據(jù)結(jié)構(gòu)聲理論，結(jié)構(gòu)聲是熱聲熱機所固有的聲學(xué)特性，在發(fā)生結(jié)構(gòu)振動時機體是以多個模態(tài)振動。因此，當機體振動頻率與熱聲系統(tǒng)中氣體介質(zhì)的振動發(fā)生耦合時，勢必會對系統(tǒng)效率造成影響。黃謙等[12-13]利用Solidworks和ANSYS軟件對平板和回?zé)崞鞯臒崧暀C理從結(jié)構(gòu)動力學(xué)的角度進行了模擬。結(jié)果顯示，回?zé)崞鞯恼駝又写嬖诙喾N模態(tài)，其中在低頻段各點應(yīng)力應(yīng)變基本吻合，而在高頻段各點差異逐漸增大；在一階固有頻率3 300 Hz附近，回?zé)崞鲀?nèi)各點的應(yīng)力和應(yīng)變達到了最大。然而將平板或回?zé)崞鲝臒崧曄到y(tǒng)中獨立出來孤立分析，會產(chǎn)生諸多誤差。如回?zé)崞鞯奶淄苍趬毫d荷下發(fā)生了較大應(yīng)變，而實際上，當回?zé)崞髟谥C振管的約束下發(fā)生應(yīng)變的幅度很??；且就一般熱聲系統(tǒng)而言，系統(tǒng)工作時的諧振頻率無法達到如此之高。本文作者對熱聲整機進行了三維建模，利用商業(yè)軟件ANSYS對其進行了結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析。

1 模型概述

結(jié)構(gòu)中的聲波指的是某一物理量(力、位移、速度或能量)以結(jié)構(gòu)為媒體向某一方向傳播，結(jié)構(gòu)本身作為一個整體并不運動[9]。在一維情況下，假設(shè)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量元僅在x方向分布，且波動沿x方向以速度c傳播，則結(jié)構(gòu)聲可用下式表示：

式中：t為時間；ω為角頻率；A為常數(shù)，k=ω/c為波數(shù)，表示聲波相位沿空間的變化規(guī)律。結(jié)構(gòu)中聲波的表達式與流體中聲波的表達式一致，各物理量意義也相似。結(jié)構(gòu)中的聲波存在縱波、橫波和彎曲波，縱波是指結(jié)構(gòu)中微小質(zhì)量單元的運動方向和聲波的傳播方向一致，表達式為：

式中：B為材料剛度的相關(guān)參數(shù)，與材料彈性模量E及泊松比σ有關(guān)，

固體中，質(zhì)量微元振動的方向可以和聲波傳播方向垂直，即橫波。橫波導(dǎo)致質(zhì)量微元發(fā)生形變導(dǎo)致切應(yīng)力，故被稱為橫向切變波：

動力學(xué)基本控制方程如下：

其中：M為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣；a為節(jié)點加速度矢量；C為結(jié)構(gòu)阻尼矩陣；c為節(jié)點速度矢量；K為結(jié)構(gòu)剛度矩陣；u為節(jié)點位移矢量。當進行模態(tài)分析時，F(xiàn)(t)為零，包含流-固耦合自由振動，有無阻尼自由振動根據(jù)具體情況而定；當進行諧響應(yīng)分析時，F(xiàn)(t)和u(t)都為諧函數(shù)。

取初始頻率f0=100 Hz時，氮氣的半波長1.7 m作為諧振管的長度。固體介質(zhì)為鍛造不銹鋼，其密度ρs=7 800 kg/m3，彈性模量E=200 GN/m2，泊松比μ=0.28。板疊回?zé)崞鏖L度為60 mm，外徑為44 mm，平板厚度和板間距均為0.6 mm，諧振管厚度為2 mm。諧振管各封閉端和連接處利用Glue命令進行焊接。由于平板是直接焊接在諧振管的內(nèi)表面，因此在平板和諧振管的相交面設(shè)置了DOF面約束，并在諧振管內(nèi)表面施加了內(nèi)壓力。

根據(jù)熱聲熱機結(jié)構(gòu)特性和諧振管內(nèi)部的受力情況，單元類型采用PLANE82和SOLID95。模型總共包含31 607個單元及70 889個節(jié)點。該模型基于以下幾種假設(shè)：(1)諧振管內(nèi)均勻分布氣體介質(zhì)，不考慮周圍流體介質(zhì)的黏性，較之在實際流體中板疊的振動幅度衰減較慢；(2)固體材料的物性參數(shù)如彈性模量、密度等不隨外界因素的變化而變化；(3)設(shè)熱聲熱機處于恒壓環(huán)境中。

2 數(shù)值研究

2.1 結(jié)構(gòu)靜力分析

分別選取了0.3，0.5和0.7 MPa 3種充氣壓力分析熱聲熱機內(nèi)部的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。靜力分析可以模擬充氣開始時到熱聲熱機起振前系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，此時假定載荷和響應(yīng)是固定不變的，即載荷和結(jié)構(gòu)的響應(yīng)隨時間的變化非常緩慢。圖1所示為系統(tǒng)中最大應(yīng)力和最大應(yīng)變隨充氣壓力的變化關(guān)系。隨著壓力的提升，應(yīng)力應(yīng)變基本呈現(xiàn)線性增大的趨勢，且峰值點一一對應(yīng)。

圖2和3所示為0.5 MPa壓力下熱聲熱機不同角度的應(yīng)力云圖。分析結(jié)果表明系統(tǒng)內(nèi)部的應(yīng)力、應(yīng)變分布是基本吻合的，總體看來系統(tǒng)中外表面受力微小，應(yīng)力和應(yīng)變主要分布在內(nèi)表面。從圖2可以看到：由于填充同性多孔類固體介質(zhì)，在板疊回?zé)崞魉幬恢玫闹C振管外部應(yīng)力和應(yīng)變極其微弱，而之前單獨對回?zé)崞鞯慕Y(jié)構(gòu)動力分析中，該位置諧振管的應(yīng)變不容忽視[13]；諧振管其他位置所受應(yīng)力較大，且同樣分布均勻；管左邊封閉端的不銹鋼圓板上應(yīng)力和應(yīng)變呈同心圓狀由外及內(nèi)逐漸增大，并在圓板中心位置達到峰值。諧振管中段呈現(xiàn)了上凸下凹的彎曲狀態(tài)，且整個諧振管徑向應(yīng)力由里至外逐漸加強。由圖3可知：從宏觀上看板疊整體各個面的中部位置幾乎沒有受到應(yīng)力作用，應(yīng)力載荷集中分布在四周邊緣處，各個面應(yīng)力等值圖呈現(xiàn)出由里及外逐漸增大的特點；而對單獨一塊平板而言，應(yīng)力載荷在軸向和徑向均呈現(xiàn)出“中間小，兩側(cè)大”的特點，且隨著平板表面積的增大，應(yīng)力載荷的極大值與極小值之比也逐漸增大，這與之前的研究相符[12]。

圖1 3種不同壓力下熱聲熱機最大應(yīng)力和最大應(yīng)變的分布Fig.1 Distributions of maximum stress point and strain point in thermoacoustic engine under three different pressures

圖2 0.5 MPa時熱聲熱機的應(yīng)力云圖Fig.2 Stress contour of thermoacoustic engine under 0.5 MPa

圖3 0.5 MPa時回?zé)崞鞯膽?yīng)力云圖Fig.3 Stress contour of regenerator under 0.5 MPa

固體介質(zhì)應(yīng)力和應(yīng)變最終影響回?zé)崞骱椭C振管的聲學(xué)特性，進一步影響了回?zé)崞髦袣怏w微團的運動。由結(jié)構(gòu)聲輻射理論，在熱聲熱機的固體介質(zhì)(如平板)中彎曲波所引起的振動幅度最大，而彎曲波的相速度與頻率有關(guān)，因此都存在色散現(xiàn)象。任意形狀的彎曲波經(jīng)過一段時間的傳播后，該聲波的各個頻率分量的相對相位的變化有可能導(dǎo)致其形狀的變化，從而進一步影響到結(jié)構(gòu)和流體之間的聲耦合。因而分析系統(tǒng)的模態(tài)和諧響應(yīng)尤為重要。

2.2 模態(tài)以及諧響應(yīng)分析

模態(tài)分析可以確定熱聲熱機固體介質(zhì)的固有頻率和振型，同時也是諧響應(yīng)分析的出發(fā)點。根據(jù)熱聲系統(tǒng)情況，選取充氣壓力為0.5 MPa，相位角為0°。表1列出了系統(tǒng)1～8階模態(tài)的頻率值。在不同振動模態(tài)時，熱聲系統(tǒng)各位置的應(yīng)變不同，說明靜力下熱聲熱機的應(yīng)變起主要作用，而動力下回?zé)崞鞯膽?yīng)變是靜力和波動兩者的疊加?？梢钥吹剑簾崧曄到y(tǒng)的3階和4階模態(tài)下固有頻率接近氣體介質(zhì)的振蕩頻率，因而可以重點觀察3階和4階模態(tài)時熱聲系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)動力參數(shù)。

表1 熱聲熱機各階模態(tài)頻率Table1 Frequencies of each modal in thermoacoustic engine

諧響應(yīng)分析是用于確定線性結(jié)構(gòu)在承受隨時間按正弦(簡諧)規(guī)律變化的載荷時穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的一種算法。分析的目的是計算一定材料和結(jié)構(gòu)在一定頻率范圍內(nèi)的周期性載荷作用下的響應(yīng)情況。該技術(shù)計算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)受迫振動時，不考慮結(jié)構(gòu)發(fā)在激勵開始時的瞬態(tài)振動。諧響應(yīng)分析是一種線性分析，非線性特性被忽略。在熱聲熱機內(nèi)部重點研究位置選取了監(jiān)測點來研究結(jié)構(gòu)振動的響應(yīng)情況，其中：點a設(shè)定在板疊內(nèi)中間平板的上端面幾何中心；點b位于該板的幾何中心；點c位于該板下端面的幾何中心；點d位于諧振管封閉端端面中心，也就是系統(tǒng)最大應(yīng)力位置處；點e位于諧振管上部內(nèi)表面。圖4～8所示為上述點處應(yīng)變隨頻率的變化曲線，其中對點d和點e處曲線進行了擬合。

圖4 a點處應(yīng)變隨頻率的變化Fig.4 Curves of strain versus frequency at point a

圖5 b點處應(yīng)變隨頻率的變化Fig.5 Curves of strain versus frequency at point b

圖6 c點處應(yīng)變隨頻率的變化Fig.6 Curves of strain versus frequency at point c

圖4～6分別代表了板疊中間板x，y和z方向上應(yīng)變隨頻率的變化關(guān)系。由圖4～6可以看到：位于平板上、中和下部的3個監(jiān)測點的應(yīng)變變化高度一致：x和z方向的應(yīng)變均非常微小，且隨著頻率的增大亦無十分明顯的變化，只是當頻率超過500 Hz以后，上端面和下端面分別出現(xiàn)了應(yīng)變減小和應(yīng)變增大的趨勢，不過變化幅度不大；反觀監(jiān)測點y方向的應(yīng)變在300 Hz以后明顯上升，直至500 Hz附近達到峰值，隨后隨著頻率的增大應(yīng)變不斷減小直至變?yōu)樨撝怠?/p>

可以看到：隨著結(jié)構(gòu)頻率的上升，平板的應(yīng)變變化幅度總體是不斷增大的，且各處受振動的影響相似，在垂直于平板的y方向應(yīng)變最大而其他2個方向在低頻段幾乎沒有發(fā)生應(yīng)變，這也與實際情況相吻合。在頻率為500 Hz時平板的應(yīng)力應(yīng)變達到極大值，且隨著頻率的進一步提高而增大，說明回?zé)崞髯饔檬羌ぐl(fā)和維持高階熱聲振蕩。

圖7和8所示為諧振管內(nèi)表面監(jiān)測點的應(yīng)變隨頻率變化的擬合曲線。在熱聲系統(tǒng)這一有限結(jié)構(gòu)內(nèi)，結(jié)構(gòu)聲的傳播在遇到內(nèi)表面時會發(fā)生折射、反射和衍射等現(xiàn)象，其中邊界的反射現(xiàn)象尤為突出，這些邊界反射導(dǎo)致結(jié)構(gòu)中的聲波在穩(wěn)態(tài)條件下僅在某些頻率處存在較大的響應(yīng)。圖中曲線以一種類似正弦或余弦的形式發(fā)展，因而，應(yīng)變在某些頻率處達到極值，這些頻率就是熱聲系統(tǒng)的本征頻率。點d位于諧振管封閉端，由之前的應(yīng)力云圖可知此處諧振管的應(yīng)變達到系統(tǒng)峰值，尤其是z方向也就是軸向應(yīng)變最為強烈。該點處各個方向的應(yīng)變在5階、6階模態(tài)即300 Hz附近同時達到最大值點。值得注意的是位于諧振管內(nèi)表面的e點，在3階、4階模態(tài)即100 Hz附近應(yīng)變幅度最大，這與氣體振蕩頻率一致。如前述，高密度的氣體介質(zhì)的振動在固體介質(zhì)中傳播，會引起固體介質(zhì)的結(jié)構(gòu)振動，結(jié)構(gòu)振動會反作用于氣體介質(zhì)。當固體介質(zhì)在某一模態(tài)中達到其本征頻率，且該頻率與聲激勵頻率相近時，聲波與固體介質(zhì)會在結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生以此階模態(tài)為基礎(chǔ)的相互作用，從而產(chǎn)生共振和耦合[14-15]。

圖7 d點處應(yīng)變隨頻率變化擬合曲線Fig.7 Fitting curves of strain versus frequency at point d

圖8 e點處應(yīng)變隨頻率變化擬合曲線Fig.8 Fitting curves of strain versus frequency at point e

3 結(jié)論

(1)利用商業(yè)軟件ANSYS建立了熱聲熱機模型，并對其進行了結(jié)構(gòu)靜力、模態(tài)和諧響應(yīng)分析。在分別施加了0.3，0.5和0.7 MPa 3種壓力載荷后得到了熱聲系統(tǒng)內(nèi)部位移、應(yīng)力和應(yīng)變等參數(shù)的隨壓力和頻率的變化關(guān)系。隨著壓力的提升，應(yīng)力應(yīng)變基本呈現(xiàn)線性增大的趨勢，且峰值點一一對應(yīng)。

(2)在板疊回?zé)崞魑恢锰帲C振管外部應(yīng)力和應(yīng)變極其微弱，而其他位置所受應(yīng)力較大；諧振管徑向應(yīng)力由里至外逐漸加強，而封閉端在圓板中心位置達到峰值并呈同心圓狀由內(nèi)及外逐漸減小；板疊處各個平板前后兩端面幾乎沒有受到應(yīng)力作用，上下端面發(fā)生了較大應(yīng)變。

(3)隨著結(jié)構(gòu)頻率的上升，平板的應(yīng)變變化幅度總體是不斷加強的，且各處受振動的影響相似，在垂直于平板的y方向應(yīng)變最大而其他2個方向在低頻段幾乎沒有發(fā)生應(yīng)變，與實際情況相吻合。在頻率為500 Hz時平板的應(yīng)力應(yīng)變達到極大值，且隨著頻率的進一步提高而增大，說明回?zé)崞骷ぐl(fā)和維持高階熱聲振蕩。

(4)熱聲系統(tǒng)的3階和4階模態(tài)下固有頻率接近氣體介質(zhì)的振蕩頻率，根據(jù)檢測點d的結(jié)果驗證了高密度的氣體介質(zhì)的振動會在回?zé)崞髦挟a(chǎn)生振動激勵和聲激勵并作用于諧振管，使聲波和固體介質(zhì)產(chǎn)生共振和耦合。

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