《數(shù)學(xué)分析》中的一題多解*

韓 飛

(咸寧職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程系，湖北 咸寧 437100)

《數(shù)學(xué)分析》是數(shù)學(xué)類專業(yè)的重要基礎(chǔ)課，高等數(shù)學(xué)中的許多新思想都源于這門課．但在實際教學(xué)中，很多學(xué)生的解題能力往往得不到提高，分析其原因主要就是學(xué)生解題思維得不到鍛煉，為了做題而做題，不能舉一反三．所以，在實際教學(xué)中，要加大學(xué)生發(fā)散思維能力的培養(yǎng)．

發(fā)散思維的本質(zhì)就是尋求變異．在實際教學(xué)中，有意識地抓住這個特點對學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練與培養(yǎng)，有利于培養(yǎng)學(xué)生解決問題的靈活性和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．由教育學(xué)專家們的研究表明，發(fā)散思維是可以培養(yǎng)的，一題多解則是培養(yǎng)發(fā)散思維最有效的途徑之一．為此，以下通過數(shù)學(xué)分析中三個“一題多解”的例子，給出發(fā)散思維在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用．

首先看看極限問題．

思路1 利用兩個重要極限，則

思路2 利用等價無窮小量代換，則

當(dāng)x→0時，sinax～ax，sinbx～bx，則

不定積分的計算是《數(shù)學(xué)分析》中的難點，學(xué)生往往困惑于它的解法，通過一題多解，能很好地鍛煉學(xué)生的解題思維．

又到年末，上市公司公告變賣資產(chǎn)的事情接連不斷，有賣房的，有賣子公司的，還有賣股票套現(xiàn)，甚至還有賣字畫的，可謂花樣百出。同時還有一些上市公司發(fā)布公告，收到各種補貼款項。而在這些公司的背后，有的是為了做靚公司的業(yè)績，有的則是為了避免股票被“ST”處理，有的則是一種保殼游戲，避免三年虧損被暫停上市。

首先，考慮利用第一類換元積分法(湊微分法)，于是有

將被積函數(shù)進(jìn)行恒等變形，得到以下兩種思路：

其次，考慮利用第二類換元積分法，有

將被積函數(shù)中的運用三角代換，于是有

思路 5 令x=tant，則dx=sec2dt，

最后，利用待定系數(shù)法，有

除了教材上的證明方法外，再提供兩個思路．

思路1 對函數(shù)1nx在［k，k+1］上利用拉格朗如中值定理，得

由此得，1n2－1n1＜1

以上各式相加，得

這里a為有理數(shù)，于是

在數(shù)學(xué)分析中，能利用一題多解的例子還有很多，在平時教學(xué)中，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行這方面的訓(xùn)練．下面的兩個題，至少能用三種方法求解，大家不妨試一下．

［1］方秋金．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)論選講［M］．北京：北京師范大學(xué)出版社1992．

［2］何廣榮．提倡發(fā)散思維．搞好數(shù)學(xué)教學(xué)［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報，1986，(3)．

［3］郭思樂．努力提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維素質(zhì)［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報，1993，(1)．

［4］薛洪．由一道級數(shù)證明題談起［J］．保定師專學(xué)報，2006，(9)．

［6］吳筱寧．歐拉變換的研究［J］．石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2000，(9)．