基于靜力平衡原理的三維均質實體測量方法

甘 勇

桂林電子科技大學，桂林，541004

0 引言

隨著現(xiàn)代制造技術、快速原形制造技術和反求工程技術的快速發(fā)展，研究開發(fā)高精度、低成本的三維實體無損測量技術有著越來越重要的現(xiàn)實意義。目前的三維實體測量方法主要有有損測量和無損測量兩種，有損測量方法測量精度較高，但其測量速度慢、測量時間長，測量時要破壞被測零件，故測量成本較高，應用受到限制。目前應用較多的無損測量方法是光學測量方法，但該方法無法測量物體的內部輪廓，存在光學測量的盲點，且測量所得的數(shù)據(jù)點云龐大，雜亂無序，有的甚至殘缺不全；另外，現(xiàn)有核磁共振成像和CT掃描方法能夠測量物體的內部輪廓，但這兩種方法的成本很高，對可測零件的尺寸有限制，測量精度低，特別是對被測實體的材料有限制［1－2］。目前基于浮力的三維測量方法可無損測量不溶于液體的均質實體，測量精度較高，能測量含有復雜內部輪廓的實體，但對于內部輪廓與外部不相通的均質實體也無法測量，且測量精度和可靠性受到液體的動態(tài)特性和不穩(wěn)定性的影響［3－4］。國內外學者雖然在三維實體的測量技術方面做了大量的研究工作，也取得了不少的理論研究成果，并基于其研究成果開發(fā)了不少的工業(yè)產品，但到目前為止，還沒有找到一種理想的三維實體的無損檢測方法。針對這一技術難題，本文提出了一種基于靜力平衡原理的三維實體無損檢測方法，本方法應用分層原理，通過測量平衡系統(tǒng)中各力的變化值，根據(jù)空間力系平衡原理，推算出被測實體每層的質量及層中各微小單元體的質量和空間坐標，能對具有復雜內部輪廓的實體進行三維測量。

1 測量方法總體方案設計

在物體三維空間單元表示法中，空間單元體將空間分割成均勻的立方形網格，可以根據(jù)實體所占據(jù)的網格位置來定義物體的形狀和大小。若此位置為物體所占據(jù)，即單元被填充，其質量視為單元質量1，稱為實單元體；反之，空單元體以0表示?；诳臻g單元表示法研究均質實體，構建計算模型，可視其由單元正方體構成，采用基于二進制像素的三維重構方法，可取實單元體的質量為1，空單元體的質量為0，即所有像素值只能在（0，1）2個可能的離散值中選取，以此來表達空間圖像單元體的有無［5－6］。本文測量方法根據(jù)杠桿平衡系統(tǒng)中力的變化實現(xiàn)無損分層測量，以杠桿平衡系統(tǒng)中力與力矩平衡和其與實體重量的關系為基礎，通過按一定方向越過支點微小位移，測量杠桿平衡系統(tǒng)中實體每個不同位置的受力變化大小，求解被測實體各片層的質量和相應片層的重心坐標值。建立各片層質量和所含微小單元體的方程組及重心坐標方程組，通過智能計算求解方程組，獲得各單元體的質量和其空間坐標值，進而對獲得的點云數(shù)據(jù)進行圖像重構。根據(jù)測量需求設計的總體方案原理圖如圖1所示，其測量系統(tǒng)主要由杠桿平衡系統(tǒng)、精密測力系統(tǒng)、裝夾系統(tǒng)、精密運動系統(tǒng)及計算機組成。

圖1 三維均質實體無損測量方法原理圖

杠桿平衡系統(tǒng)包括均質杠桿U1和U2、支撐平臺e1和4個自動配重系統(tǒng) P1、P2、P3、P4；杠桿U1的支點O1和杠桿U2的支點O2對稱平衡地設置在相應的杠桿上；支撐平臺e1與上述杠桿U1和杠桿U2之間通過4個固定力接觸點P、Q、H和E相連接；其中，固定力接觸點P和固定力接觸點H位于杠桿U1上，且固定力接觸點P與杠桿U1的支點O1重疊；固定力接觸點Q和固定力接觸點E位于杠桿U2上，且固定力接觸點Q與杠桿U2的支點O2重疊；固定力接觸點P和固定力接觸點Q的連線與兩杠桿U1和U2均垂直；固定力接觸點H和固定力接觸點E的連線也與兩杠桿U1和U2均垂直；支撐平臺e1在系統(tǒng)中本身的重力及力矩已知不變，并可以通過杠桿系統(tǒng)平衡掉；杠桿U1和杠桿U2的4個端點A、B、C和D上分別固定懸掛有一自動配重系統(tǒng)P1、P2、P3和P4。杠桿平衡系統(tǒng)快速調節(jié)杠桿U1和U2的平衡穩(wěn)定，保護支點結構，維持系統(tǒng)平衡。為了提高測量精度，實現(xiàn)杠桿系統(tǒng)的快速穩(wěn)定，以及保護精密測力儀器，杠桿U1和U2的4個端點A、B、C、D處各設有一限位器R1、R2、R3和R4。杠桿平衡系統(tǒng)的4個測力系統(tǒng)處各設有一個精密測力儀器V1、V2、V3和V4，該精密測力儀器的采集信號輸出端均連接至計算機中。4個精密測力儀器用于被測實體e2發(fā)生位移時，實時測量各點的變化力。由于4個精密測力儀器的測量精度高、量程小，因此，設計了4個自動配重系統(tǒng)P1、P2、P3和P4進行配重，以解決其測量量程問題。裝夾系統(tǒng)包括包容立方體機構，采用最小包容原則讓被測實體e2裝夾其中。精密運動系統(tǒng)的控制端與計算機相連，精密運動系統(tǒng)的動力輸出端則與裝夾系統(tǒng)相連，通過計算機指令控制包容有被測實體的裝夾系統(tǒng)實現(xiàn)精密位移。

2 測量方法數(shù)學模型建立及求解分析

均質杠桿U1和U2分別對O1和O2點對稱平衡，為簡化計算，系統(tǒng)受力分析中均不計入。假設被測實體片層微小單元體為正方體且邊長為ΔS，被測實體在支撐平臺e1上，通過精密位移系統(tǒng)帶動實現(xiàn)每次的微小位移ΔS，從而實現(xiàn)每個測量方向上各個片層按序移過支點，達到測量計算的目的。以支點O1和O2的連線中點O為坐標原點，將平行于杠桿的方向設為X軸方向，支點O1和O2的連線設為Y軸方向，垂直于X軸和Y軸的平面方向設為Z軸方向，建立空間三維坐標系。以計算被測實體在X軸測量方向上進行平移時所獲得的片層質量和相應重心坐標為例，進行測量裝置各部件受力分析，如圖2所示。已知質量為M的被測實體所受的重力為G，將裝夾有被測實體的包容立方體放置于杠桿平衡系統(tǒng)的支撐平臺e1上，并讓包容立方體所測片層方向的起始邊緣與支點O1和O2的連線垂直相對，且將其狀態(tài)設為被測實體的初始狀態(tài)；通過調節(jié)自動配重系統(tǒng)，使杠桿平衡系統(tǒng)處于平衡穩(wěn)定狀態(tài)，同時，精密測力儀器測量并記錄下該時刻杠桿平衡系統(tǒng)的4個測力點所受的力FA（0）、FB（0）、FC（0）和FD（0），并將其返回至計算機中。在初始位置，當杠桿U1平衡時（圖2a），分別對支點O1和支點B進行受力分析，有

圖2 測量裝置各部件受力分析圖

式 中，LO1A、LO1B、LO1H、LAB、LHB分別為 其下標兩點 之間的距離。

在初始位置，當杠桿U2平衡時（圖2b），對支點O2和支點D進行受力分析，有

式中，LO2C、LO2D、LO2E、LCD、LED分別為 其下標兩 點 之間的距離。

系統(tǒng)PQEH平衡時（圖2c），對軸PQ進行受力分析，有

式中，X0為被測實體的重心坐標值；F′H（0）、F′E（0）分別為FH（0）、FE（0）的反 作 用 力，且 其 各 值 已 知 并 可 測 出；LO1H為其下標兩點之間的距離。

系統(tǒng)PQEH平衡時，對軸EH進行受力分析，有

式中，F(xiàn)′P（0）、F′Q（0）分別為FP（0）、FQ（0）的反作用力，且其各值已知并可測出。

整個系統(tǒng)平衡時（圖2d），對軸O1O2進行受力分析，有

式中，LO1B、LO1A分別為其下標兩點之間的距離。

計算機依據(jù)式（1）～式（7）聯(lián)立求解出被測實體初始狀態(tài)下的重心坐標值X0、支點O1和支點O2所受的力FO1（0）和FO2（0），以及固定力接觸點P、Q、H和E所受的力FP（0）、FQ（0）、FH（0）和FE（0）。

保持被裝夾系統(tǒng)的測量方向不變，讓精密運動系統(tǒng)在計算機指令控制下帶動裝夾系統(tǒng)的包容立方體沿其X軸負方向每次平移ΔS后，通過調節(jié)自動配重系統(tǒng)使杠桿平衡系統(tǒng)處于平衡穩(wěn)定狀態(tài)，此時精密測力儀器測量出被測實體在第i（i＝1，2，…，n）層片層位置時杠桿平衡系統(tǒng)的4個測力點所受的力FA（i）、FB（i）、FC（i）和FD（i）。同上所述，杠桿U1平衡時，分別對支點O1和支點B進行受力分析；杠桿U2平衡時，分別對支點O2和支點D進行受力分析；系統(tǒng)PQEH平衡時，分別對軸PQ和對軸EH進行受力分析；整個系統(tǒng)平衡時，由于只有被測實體移動，其系統(tǒng)力矩變化相當于由片層質量引起，對軸O1O2進行受力分析，可列7個方程進行求解。計算機依據(jù)列出的靜力平衡方程組聯(lián)立求解出被測實體平移i次后第i層的片層重力Wi，以及支點O1和支點O2所受的力FO1（i）和FO2（i），固定力接觸點P、Q、H和E所受的力FP（i）、FQ（i）、FH（i）和FE（i）。除去已測部分即未測部分的重心坐標Xi的方程為

結合重力公式Wi＝miZg，即可獲得被測實體在X軸測量方向上每片層的質量miZ，其中下標Z表示總質量。依次對被測實體的X軸方向、Y軸方向和Z軸方向，以及3個對角方向進行測量，且沿X軸、Y軸和Z軸3個方向測量時，每次平移微小單元體邊長ΔS，從而獲得被測實體在X軸、Y軸和Z軸3個測量方向上的每片層的質量和相應的重心坐標值。測量被測實體時，沿3個對角平面方向進行測量，每次平移ΔS時，就能獲得被測實體在3個對角平面測量方向上的每片層的質量miZ和相應的重心坐標值，上述測量一共獲得6個方向上的每片層的質量和相應的重心坐標值。

將包容立方體即被測實體分為n3個正方體的微小單元體，每個實微小單元體的質量為m，則第i層的總質量為

式中，mij為第i層第j個微小單元體，i＝1，2，…，n。

當被測實體e2移過第i層時，重心坐標方程為

式中，Wi為第i層片層重力；Xi為未測部分的重心坐標。

若已知微小單元體的質量為m，則由微小單元體定義可知：所有微小單元體在實體空間只有兩種情況存在，要么為實單元體，即質量為m；要么為空單元體，即不存在，質量為0。其數(shù)學表達式為

除可沿X、Y、Z3個方向進行測量外，通過改變被測實體的測量方向，還可沿各個對角平面的方向進行測量，即共有6個方向可供測量。故每一片層中的微小正方單元體的質量和可列一個線性方程，以及一個重心坐標計算線性方程。若一個實體共有N個微小正方單元體，當其在X、Y、Z3個方向上的每個單元體按坐標方向對齊時，一個坐標方向共可列出2N1/3個線性方程，則在X、Y、Z3個方向上進行測量時，共可列出6N1/3個線性方程；當沿各個對角平面方向進行測量時，共有6個方向，若每個方向只計片層質量方程，每片層一個方程，則共有6N1/3個方程；因此，在不同方向測量時，最少可列出12N1/3個線性方程。另外，還存在m1（m1—m）＝0，m2（m2—m）＝0，…，mN（mN－m）＝0等N個非線性方程，經過質量歸一化處理以后，用這N＋12N1/3個方程優(yōu)化求解N個未知數(shù)，可高精度地求得每一單元的質量，從而獲得實單元質量的三維坐標值。

3 實驗驗證

根據(jù)測量總體方案進行初步實驗，實驗中的精密運動系統(tǒng)采用美國BAYSIDE LM系列運動平臺，運動平臺的重復定位精度達±5μm，其作用是控制定位平臺，實現(xiàn)被測實體的精確位移。精密運動平臺通過計算機控制指令控制被測實體按指定距離逐層位移。精密測力儀器采用瑞士梅特勒－托利多AB204－S型分析天平，其可讀性和重復性均為0.1mg，具有去皮功能。它通過串口與計算機直接相連，用于測量杠桿平衡系統(tǒng)中力的變化。模擬實驗測量采用圖3所示的標準件模型，初步實驗表明，本文實驗測量片層質量的精度達到0.1mg，經智能運算測量的微小單元體的精度達到0.005%，測量重構精度達到±0.2mm，其重構點云圖如圖4所示。

圖3 被測標準件模型圖

圖4 轉換后的點云圖

4 結束語

本文測量方法所設計的測量平臺不僅研制成本低、經濟性好，而且可實現(xiàn)自動測量，其測量方法能夠測量含有任意復雜內外輪廓的實體，且測量速度快、測量數(shù)據(jù)少、分層有序、重構簡單；測量數(shù)據(jù)所列數(shù)學方程均有可靠成熟的解法，編程計算幾乎不會給測量帶來新的誤差，其測量重構精度可以控制在0.2mm以內，基本滿足生產實際中三維實體測量的工程要求。

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