界面元法在機(jī)械結(jié)構(gòu)結(jié)合部問(wèn)題中的應(yīng)用

石 坤 宋 俐 師俊平

西安理工大學(xué)，西安，710048

0 引言

為了滿(mǎn)足各種功能、性能和加工要求以及便捷運(yùn)輸，機(jī)械裝置一般都是由各種零部件按一定要求裝配起來(lái)的組合體，常稱(chēng)各零部件之間的接觸表面為“機(jī)械結(jié)合面”，簡(jiǎn)稱(chēng)“結(jié)合面”，或“接觸面”。結(jié)構(gòu)中存在的大量結(jié)合面使得整個(gè)機(jī)械在結(jié)構(gòu)上不再是一個(gè)連續(xù)的整體，因此分析這類(lèi)非連續(xù)結(jié)構(gòu)問(wèn)題會(huì)變得復(fù)雜和特殊［1］。

機(jī)械結(jié)合面具有復(fù)雜的作用機(jī)理——多重因素非線(xiàn)性耦合，以往的大部分研究基本上與試驗(yàn)相關(guān)，如20世紀(jì)80年代以伊東誼［2］為代表的日本學(xué)者、20世紀(jì)90年代以黃玉美等［3］為代表的中國(guó)學(xué)者均做了大量的典型結(jié)合部特性的試驗(yàn)研究，積累了較為豐富的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。但是要利用獲得的結(jié)合面特性參數(shù)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)機(jī)械進(jìn)行整體分析，以指導(dǎo)其結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和改型還需要通過(guò)數(shù)值算法才能實(shí)現(xiàn)。目前常用于結(jié)構(gòu)分析的數(shù)值方法是有限元法［4－6］，但基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的有限元法在處理不連續(xù)問(wèn)題時(shí)表現(xiàn)出明顯的局限性。在外載荷作用下，不連續(xù)的結(jié)構(gòu)面往往會(huì)產(chǎn)生不同程度的錯(cuò)動(dòng)、張開(kāi)和滑移等不連續(xù)變形，而用有限元法的協(xié)調(diào)位移模式是不能模擬這類(lèi)不連續(xù)變形的，盡管在有限元分析中可以設(shè)置各種接觸單元，但這樣做仍然會(huì)涉及接觸參數(shù)的確定問(wèn)題，并且在分析中使用過(guò)多的接觸單元數(shù)也會(huì)導(dǎo)致線(xiàn)性方程組出現(xiàn)病態(tài)，使方程組的數(shù)值求解不穩(wěn)定甚至不收斂。

本文應(yīng)用不連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的界面元法［7－8］，以螺栓連接的機(jī)械結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，建立包括結(jié)合部特性的機(jī)械結(jié)構(gòu)界面元計(jì)算模型，通過(guò)數(shù)值分析得到在各種預(yù)應(yīng)力作用下該結(jié)構(gòu)的變形值，并將其與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較。此研究旨在探討用界面元法分析機(jī)械結(jié)構(gòu)結(jié)合部問(wèn)題的可行性和有效性。

1 界面元法的基本方程

界面元法是在Kawai等［9］提出的剛體－彈簧元模型的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一種求解非均勻不連續(xù)介質(zhì)的靜動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的數(shù)值解法，它仍以虛功原理為基礎(chǔ)，用反映彈、黏、塑等各類(lèi)變形特性的界面元取代彈簧元，將單元的變形等效在界面上，最終形成以各單元形心的6個(gè)位移分量為基本未知量的支配方程。

圖1 界面元模型

在圖1所示的界面元模型中，G1、G2分別為剛性單元e1、e2的形心，h1、h2分別為G1、G2至交界面的距離。界面元法將結(jié)構(gòu)離散成有限多個(gè)塊體元和界面單元，并假設(shè)塊體單元的變形累積于界面。因此，塊體單元本身只有剛體位移，故用塊體單元形心的廣義位移（平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)）作為基本未知量構(gòu)造分片剛體位移模式來(lái)描述結(jié)構(gòu)的位移場(chǎng)。由于界面上的任意一點(diǎn)均分屬相鄰的兩個(gè)塊體單元，因此可以求出界面上任意一點(diǎn)的相對(duì)位移，并由幾何關(guān)系得到界面上任一點(diǎn)的應(yīng)變。界面元法的基本位移模式、應(yīng)力公式及支配方程可參照文獻(xiàn)［7］表示如下：

式中，u為單元中任意一點(diǎn)的位移；ug為單元形心位移；N為形函數(shù)；（x，y，z）為界面上任意點(diǎn)的坐標(biāo)；（xg，yg，zg）為單元形心點(diǎn)的坐標(biāo)。

局部坐標(biāo)系下單元界面上的應(yīng)力σ1為

式中，D為界面彈性矩陣；L為界面局部坐標(biāo)矢量的方向余弦矩陣，界面兩側(cè)的局部坐標(biāo)方向相反，即L（1）＝ －L（2）；u（1）、u（2）為整體坐標(biāo)系下界面兩側(cè)點(diǎn)的位移，上標(biāo)（1）、（2）表示與界面相連的兩個(gè)單元。

界面元支配方程為

式中，K為整體剛度列陣；k為界面列陣；U為整體位移列陣，是由各塊體形心點(diǎn)廣義位移組成的待求未知量；為單元位移列陣ug和整體位移列陣U的轉(zhuǎn)換矩陣；R為整體載荷列陣；R（e）為作用在各個(gè)塊體元形心上的外力；Sj為界面。

2 結(jié)合部基本特性參數(shù)及表達(dá)式

機(jī)械結(jié)構(gòu)中，結(jié)合面與結(jié)合部是兩個(gè)不同的概念。結(jié)合面是指兩個(gè)構(gòu)件相接觸的表層部分，而結(jié)合部是指結(jié)合面和構(gòu)成該結(jié)合面的構(gòu)件在該結(jié)合面處的部分結(jié)構(gòu)，因此結(jié)合部的特性除了與結(jié)合面特性相關(guān)之外，還與結(jié)合面附近的構(gòu)件特性相關(guān)［4-5，10］。結(jié)合部的特性非常復(fù)雜，影響因素多，并多為非線(xiàn)性因素。為了便于分析，將影響結(jié)合部特性的因素分為三大類(lèi)［5］：①與結(jié)構(gòu)有關(guān)的因素，如結(jié)合部的類(lèi)型、尺寸、形狀等；②與工況有關(guān)的因素，如接觸壓力、結(jié)合狀態(tài)、接觸面間介質(zhì)狀態(tài)等；③與結(jié)合面固有特性有關(guān)的因素，如結(jié)合面的材質(zhì)、熱處理狀態(tài)、加工方法和表面粗糙度等。

結(jié)合部諸多的影響因素使得要找到一種適用于所有結(jié)合部的、統(tǒng)一的、具有明確物理意義的特征參數(shù)的識(shí)別方法是不現(xiàn)實(shí)的。而根據(jù)模型的工況、建模和分析的具體要求，以及結(jié)合部的具體特性，綜合運(yùn)用理論、數(shù)值和試驗(yàn)方法建立實(shí)用的參數(shù)識(shí)別方法和數(shù)據(jù)庫(kù)是一種可行的選擇。將與結(jié)構(gòu)有關(guān)的因素放在結(jié)合部特性分析中處理，將與工況及結(jié)合面固有特性有關(guān)的因素放在基礎(chǔ)特性參數(shù)中考慮，這樣就可以較方便地獲取具有通用特性的結(jié)合面基礎(chǔ)特性參數(shù)，供機(jī)械結(jié)構(gòu)的結(jié)合部分析使用。

基于上述思想，通過(guò)試驗(yàn)方法可得到結(jié)合面單位面積上的法向參數(shù)關(guān)系式［10］：

式中，c、m為與結(jié)合面的材質(zhì)、加工方法、粗糙度、結(jié)合面固定、介質(zhì)等相關(guān)的系數(shù)，這些條件一定時(shí)，c、m也一定；pn為結(jié)合面的單位面積法向壓力；λn為單位面積上的法向變形。

對(duì)式（4）求導(dǎo)得

根據(jù)剛度的定義，可求得單位面積上的法向剛度kn為

式中，an、bn為結(jié)合面法向特性參數(shù)，不同條件下的an、bn由試驗(yàn)測(cè)定；kn為面剛度，即面壓/變形。

同理，可得到單位面積的切向剛度kτ的表達(dá)式：

式中，pτ為結(jié)合面的單位面積的切向壓力；λτ為單位面積上的切向變形；aτ、bτ為結(jié)合面切向特性參數(shù)，它們與接觸面壓力、結(jié)合面材料、潤(rùn)滑性質(zhì)、加工方法、表面粗糙度等因素有關(guān)。

式（7）中的pτ和λτ的比例關(guān)系與pn有關(guān)［10］。例如，一組由磨削加工的45鋼組成的機(jī)械結(jié)構(gòu)，當(dāng)結(jié)合面間無(wú)油液介質(zhì)時(shí)，其單位面積剛度可表示為

式（8）、式（9）中，pn的單位為 MPa，kn、kτ的單位為 MPa/μm。

結(jié)合面的接觸剛度不是一個(gè)定值，它隨接觸面面壓的變化而變化。在低面壓時(shí)，剛性比較弱，而高面壓時(shí)剛性則較高。在實(shí)際應(yīng)用中，由于結(jié)構(gòu)表面的加工質(zhì)量及不同的載荷工況，結(jié)合面可能接觸，亦可能不接觸，表現(xiàn)出較強(qiáng)的非線(xiàn)性特征。

3 界面元法在機(jī)械結(jié)構(gòu)結(jié)合部中的應(yīng)用

3.1 機(jī)械結(jié)構(gòu)結(jié)合部界面元模型

由于界面元采用分片剛體位移模式，因此在塊體單元的界面上可以允許位移不連續(xù)，這樣就能較好地反映結(jié)構(gòu)的滑移、開(kāi)裂等變形特征；通過(guò)在界面上設(shè)置塑性元件、黏性元件和接觸元件等，界面元法也能方便地求解各類(lèi)非線(xiàn)性和時(shí)效響應(yīng)問(wèn)題；因?yàn)榻缑鎽?yīng)力依賴(lài)于連接相鄰單元微分條的相對(duì)變形量，界面元法應(yīng)力的計(jì)算精度一般不低于位移的精度，因此提高了應(yīng)力狀態(tài)判據(jù)的可靠性，保證了非線(xiàn)性解不致出現(xiàn)漂移現(xiàn)象；另外，界面元模型中離散塊體單元可為任意形狀［7］，因此在不同介質(zhì)的交界面上無(wú)需布置其他接觸單元，避免了復(fù)雜結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格剖分困難。

在對(duì)機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析、建立結(jié)合部界面元模型時(shí)，確定結(jié)合部的特性參數(shù)十分重要。圖2是由構(gòu)件Ⅰ和構(gòu)件Ⅱ組成的僅有一個(gè)結(jié)合面的結(jié)合部示意圖。建立界面元模型時(shí)，將此結(jié)構(gòu)分為A、B和結(jié)合部三部分，其中A的特性與構(gòu)件Ⅰ相同，B的特性與構(gòu)件Ⅱ相同，結(jié)合部是由構(gòu)件Ⅰ和構(gòu)件Ⅱ的部分共同組成，可將其看成一個(gè)整體，其特性參數(shù)可由如下方法得到。

圖2 單平面結(jié)合部

根據(jù)式（5）、式（6），可得到在接觸面壓力、結(jié)合面材料、潤(rùn)滑性質(zhì)、加工方法、表面粗糙度等眾多影響因素作用下的單位面積上的法向剛度kn和切向剛度kτ。由赫茲理論，可得到微凸體相互接觸的法向接觸剛度kn［11-12］：

式中，a為微凸體間的接觸面積；E為結(jié)合部的彈性模量。

式（10）可改寫(xiě)成

根據(jù)離散單元中的應(yīng)力波傳播條件，可得到法向剛度和切向剛度的比例式［13］：

式中，μ為結(jié)合部泊松比。

式（12）可改寫(xiě)成

由于界面元支配方程與有限元支配方程在形式上十分相似，其實(shí)質(zhì)都是離散點(diǎn)上的平衡條件，即有限元支配方程表示單元節(jié)點(diǎn)的平衡，而界面元方程則表示塊體單元形心點(diǎn)的平衡。因而界面元法和有限元法的解題思路、計(jì)算公式及運(yùn)算步驟也十分相近，均是首先進(jìn)行單元分析，再進(jìn)行整體集合，求出基本未知量，最終求得所有形心點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)）的位移列陣和單元應(yīng)力。

3.2 螺栓連接的機(jī)械結(jié)構(gòu)算例

螺栓連接的機(jī)械結(jié)構(gòu)試驗(yàn)?zāi)Ｐ腿鐖D3所示［14］，模型由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四構(gòu)件組成。構(gòu)件Ⅰ、Ⅱ的材料均為45鋼，彈性模量E＝206GPa，泊松比μ＝0.26；Ⅰ、Ⅱ兩構(gòu)件之間接觸表面磨削加工，粗糙度Ra為0.8μm，干接觸、無(wú)油；構(gòu)件Ⅰ固定不動(dòng)；構(gòu)件Ⅲ為彈簧墊圈，型號(hào)為GB/T93 12；構(gòu)件Ⅳ為六角頭全螺紋螺栓，型號(hào)為GB/T5781 M12×50；螺栓Ⅳ與構(gòu)件Ⅱ間隙配合，試驗(yàn)中通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)螺栓Ⅳ施加載荷。

圖3 螺栓連接的機(jī)械結(jié)構(gòu)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

圖4所示為螺栓連接的機(jī)械結(jié)構(gòu)試驗(yàn)簡(jiǎn)化模型，將與構(gòu)件Ⅰ連接的螺栓Ⅳ部分和構(gòu)件Ⅰ簡(jiǎn)化成為一個(gè)整體，構(gòu)件Ⅱ的上表面A面承受環(huán)形均布載荷q，試驗(yàn)中q的取值分別為14.7MPa、31.3MPa、46.6MPa。模型采用圓弧三角體單元和扇形體單元剖分，共有456個(gè)塊體元和1008個(gè)界面元。圖5為機(jī)械結(jié)構(gòu)試驗(yàn)?zāi)Ｐ透鳒y(cè)試點(diǎn)分布圖，位于構(gòu)件Ⅱ上表面A面，測(cè)試點(diǎn)有a、b、c、d、e、f共6個(gè)。

圖4 機(jī)械結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化模型

圖5 構(gòu)件Ⅱ的A面測(cè)試點(diǎn)分布圖

圖6為不同載荷作用下構(gòu)件Ⅱ的A面各測(cè)試點(diǎn)Z向變形計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的對(duì)比圖。圖6a、圖6b、圖6c中構(gòu)件Ⅱ的A面所受的均布載荷分別為14.7MPa、31.3MPa、46.6MPa。

從圖6的結(jié)果可以看到，在三種不同載荷作用下，面A各測(cè)試點(diǎn)Z向變形計(jì)算值與實(shí)測(cè)值均非常接近，并且隨著載荷的變化各測(cè)試點(diǎn)在Z向的變形趨勢(shì)與實(shí)際情況也是一致的。比較結(jié)果表明，建立機(jī)械結(jié)構(gòu)結(jié)合部界面元模型時(shí)，基于赫茲理論和離散單元中的應(yīng)力波傳播條件，由單位面積法向剛度kn和切向剛度kτ推導(dǎo)得到的結(jié)合部的等效特性參數(shù)E和μ是準(zhǔn)確的；用界面元法解決機(jī)械結(jié)構(gòu)的結(jié)合部問(wèn)題是可行的。

4 結(jié)論

（1）由于界面單元采用了分片剛體位移模式，因此用界面元法對(duì)機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行力學(xué)分析時(shí)，在零部件的結(jié)合部無(wú)需增加任何形式的接觸單元就可以有效地模擬結(jié)構(gòu)的不連續(xù)性。

（2）建立機(jī)械結(jié)構(gòu)結(jié)合部界面元模型時(shí)，結(jié)合部的等效特性參數(shù)E和μ可根據(jù)赫茲理論和離散單元的應(yīng)力波傳播條件，由單位面積的法向剛度kn和切向剛度kτ推導(dǎo)得到。

圖6 構(gòu)件Ⅱ的A面各測(cè)試點(diǎn)Z向變形計(jì)算值與實(shí)測(cè)值對(duì)比曲線(xiàn)

（3）螺栓連接裝置的計(jì)算和試驗(yàn)結(jié)果表明，用界面元法可以有效地解決結(jié)構(gòu)的結(jié)合部問(wèn)題，該方法為整體研究和分析機(jī)械結(jié)構(gòu)開(kāi)辟了一條新思路，提供了一種新方法。

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