基于拉丁超立方抽樣的薄板裝配誤差分析

鄧乾旺 文 文

湖南大學汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室，長沙，410082

0 引言

轎車白車身裝配的尺寸偏差對整車的性能有著極大的影響，誤差分析是裝配尺寸偏差控制的有效手段。

基于剛性體假設(shè)的薄板裝配偏差分析技術(shù)已經(jīng)得到深入研究，許多學者在裝配偏差建模方法上開展了卓有成效的工作。文獻［1－2］采用尺寸鏈模型直接線性化方法對薄板類零件進行2D、3D系統(tǒng)的裝配公差分析。文獻［3］對零件進行確定性定位分析，利用裝配約束函數(shù)的雅可比矩陣，求解零件偏差對零件定位偏差的敏感度矩陣。

由于薄板零件的特殊性，基于剛體假設(shè)的誤差分析理論不適用于薄板零件。近年來，利用有限元分析工具對薄板裝配誤差進行仿真已成為國際上研究的前沿課題。文獻［4］提出的影響系數(shù)法將有限元方法與統(tǒng)計方法結(jié)合，研究零件偏差與裝配偏差的關(guān)系，并建立了兩者之間的影響系數(shù)矩陣，大大減小了有限元仿真次數(shù)，但由于影響系數(shù)法的理論局限性，該方法未考慮焊接時的零件間接觸等非線性問題。文獻［5］對影響系數(shù)法進行改進，在使用影響系數(shù)法的同時考慮零件間的接觸問題，提高了仿真精度，但因此也降低了計算效率。

目前，各種統(tǒng)計工具的運用研究以及模型的簡化處理使得有限元法在薄板零件裝配誤差仿真中的應(yīng)用有了很大的進步［6－7］，但車體零件眾多，各組件的層次關(guān)系及裝配過程復雜，從而使得精確的誤差分析存在較大困難。本文將拉丁超立方抽樣（Latin hypercube sampling）代替以往仿真時的蒙特卡羅直接抽樣（direct Monte Carlo sampling），并在裝配模型中考慮裝配時可能發(fā)生的零件與零件、零件與焊槍間的接觸作用，構(gòu)造出焊接完成后零件的變形對初始偏差的響應(yīng)面模型，并比較兩種抽樣方法的收斂速度與精度。

1 薄板零件裝配誤差分析過程

典型車體薄板零件焊接一般包括以下4個過程：

（1）定位。將零件放置在夾具的定位元件上，由于零件存在誤差，故零件無法與夾具完全貼合。薄板零件常采用N－2－1（N＞3）定位原則進行定位；進行有限元仿真時，采用在定位點對應(yīng)位置的節(jié)點施加位移約束的方法進行模擬。

（2）夾緊。夾緊力和焊槍力將零件固定在夾具上，此時零件受力發(fā)生變形，零件與零件、零件與焊槍發(fā)生接觸。

（3）焊接。焊槍通電，兩薄板零件連接在一起，整體剛度發(fā)生變化。

（4）釋放。撤去夾具，零件在自由狀態(tài)下，僅進行簡單支撐。板件在重力與內(nèi)應(yīng)力的作用下產(chǎn)生回彈，從而引起裝配變形，這是裝配件產(chǎn)生偏差的直接原因。

薄板零件裝配誤差分析的常用方法是直接蒙特卡羅法。通過對零件進行簡單隨機抽樣、裝配、測量得到裝配后零件的變形，然后求出該變形零件某些統(tǒng)計量的無偏估計值，根據(jù)公差要求進行零件的公差分析。薄板零件裝配誤差分析的整個過程如圖1所示。在公差分析的過程中，用有限元模擬代替實際的零件裝配過程能夠很好地縮短開發(fā)周期、降低開發(fā)成本。此時，抽樣樣本點的個數(shù)直接決定了有限元分析的次數(shù)。傳統(tǒng)的簡單隨機抽樣需要大量的抽樣樣本，會導致仿真消耗大量的計算時間，而拉丁超立方抽樣能夠以極少的抽樣使計算收斂，而較少的計算使提高單次模擬的精度變得可能。

2 拉丁超立方抽樣

拉丁超立方抽樣是一種特殊的多維分層抽樣方法，廣泛應(yīng)用于工程實際中。該方法中，抽樣點的分布具有均勻性，能夠很快速地達到收斂。其基本理論如下：

假設(shè)K維隨機變量X的各個元素的概率分布函數(shù)為Fi（i＝1，2，…，K）。向量X的各元素相互獨立，每個元素進行N次抽樣，xjk為第k（k＝1，2，…，K）個元素的第j（j＝1，2，…，N）次抽樣的值，定義N×K維矩陣P。P的每一列由數(shù)列｛1，2，…，N｝中各元素的隨機排列組成。令隨機變量ξjk服從區(qū)間［0，1］上的均勻分布，則抽樣后得到的結(jié)果為［8］

式中，pjk為N×K維矩陣P的j行k列元素。

設(shè)存在函數(shù)h（x），定義函數(shù)h（x）的均值E（h（x））的無偏估計為

則簡單隨機抽樣時的無偏估計的方差為

拉丁超立方的無偏估計的方差為

可以 證 明 （N－1）cov（h（x1n），h（x2n））/N概率逼近負值。因此拉丁超立方抽樣比簡單隨機抽樣更容易收斂。

3 接觸分析

有限元仿真時，兩零件在不考慮接觸時很可能發(fā)生穿透或干涉，但是這些情況在現(xiàn)實的裝配過程中是不可能發(fā)生的。實際焊接過程中，零件與零件、零件與焊槍、零件與夾具間必然會發(fā)生接觸，而且接觸會發(fā)生在從夾緊到回彈的整個裝配過程中，因此在虛擬裝配仿真中要充分考慮接觸。接觸分析在沖壓成形和碰撞分析中非常關(guān)鍵。柔性薄板裝配分析常用的影響系數(shù)法與直接蒙特卡羅法都忽略了零件間的接觸作用。影響系數(shù)法只能構(gòu)造出偏差源與變形的線性關(guān)系，因此不考慮接觸的作用。直接蒙特卡羅法要進行大量的仿真計算，如果在單次仿真時考慮的模型過于復雜會使計算效率極低。

圖2 零件接觸單元

本文采用面面接觸形式對接觸過程進行模擬。零件與零件接觸的接觸類型為柔性體與柔性體接觸，如圖2所示。

考慮到零件的彈性，零件與焊槍（夾具）的接觸屬于柔性體與剛性體的接觸，該接觸類型的接觸算法采用非線性罰函數(shù)法，在可能發(fā)生接觸的地方添加接觸單元。添加接觸的模型在進行計算前先檢查是否有穿透發(fā)生，如果發(fā)生，便在節(jié)點與表面間引入一個界面接觸力（大小與穿透深度、接觸剛度成正比），根據(jù)穿透深度構(gòu)建懲罰函數(shù)。這個算法的意義相當于在兩零件間放置了一系列的法向彈簧來限制穿透。圖3、圖4表示了零件是否考慮接觸后得到的不同結(jié)果，可以看出，是否考慮接觸的兩種分析方法得出的結(jié)果差別比較大，而且考慮接觸會更加接近真實模型。

圖3 未考慮接觸時零件發(fā)生穿透

圖4 考慮接觸時零件未發(fā)生穿透

本文通過采用細化網(wǎng)格的方法來減小單一節(jié)點穿透的可能，以提高接觸算法的收斂速度。當零件在接觸厚度內(nèi)僅發(fā)生極小的干涉時，可以忽略這些極微小的接觸來達到快速收斂的目的。

4 響應(yīng)面模型

由于焊接誤差分析過程中抽樣得到的統(tǒng)計結(jié)果是概率收斂的，因此僅僅比較單次拉丁超立方抽樣與簡單隨機抽樣的結(jié)果是沒有意義的，而需要進行多次比較。由于單次簡單隨機抽樣的蒙特卡羅法就需要2000～5000次才能收斂，那么直接采用逐次仿真方法計算出的結(jié)果進行比較顯然十分困難。為了實現(xiàn)兩種方法的結(jié)果比較，本文構(gòu)造了零件最終變形與偏差源的響應(yīng)面模型，直接將抽樣結(jié)果代入到高精度的響應(yīng)面函數(shù)中計算出零件的變形。

響應(yīng)面法采用實驗設(shè)計理論對指定的設(shè)計點集合進行實驗，得到目標函數(shù)和約束函數(shù)的響應(yīng)面模型，從而預(yù)測非實驗點的響應(yīng)值［9］。

空間設(shè)計變量與響應(yīng)Y的2階多項式響應(yīng)面模型如下［10］：

同理，可以構(gòu)造出3階、4階甚至更高階的多項式響應(yīng)面近似模型，多項式系數(shù)A＝［a0a1…aL］T采用最小二乘法確定，即

式中，X為基函數(shù)矩陣；Y為P（P＞L）個實驗點的響應(yīng)。

響應(yīng)面的精度常用響應(yīng)面精度系數(shù)R2來驗證，R2的表達式為

5 數(shù)值算例

將圖5所示的兩塊薄板零件焊接在一起，零件存在偏差源x1和x2，薄板零件的厚度為1mm，彈性模量E＝20.7GPa，泊松比μ＝0.3。在零件可能發(fā)生接觸的部分添加接觸單元，摩擦因數(shù)為0.2。

圖5 焊接零件及偏差源

通過樣本采樣后仿真出零件的變形來構(gòu)造響應(yīng)面函數(shù)，為減小試驗次數(shù)，樣本采用兩變量五因素正交試驗表構(gòu)造，正交試驗結(jié)果如表1所示。

表1 仿真樣本 mm

構(gòu)造出的焊接變形y的響應(yīng)面函數(shù)如下：

通過試驗設(shè)計點求得的響應(yīng)面的誤差決定系數(shù)R2＝98.25%。因此構(gòu)造得到的響應(yīng)面模型具有較高的精度，基本可以代替實際模型進行裝配結(jié)果的比較，響應(yīng)面模型如圖6所示。對是否考慮接觸這兩種情況進行仿真得到的結(jié)果如圖7所示。

圖6 響應(yīng)面圖

圖7 是否考慮接觸時的兩種仿真結(jié)果比較

假設(shè)兩個偏差源x1、x2分別服從N1～（4，0.16）和N2～ （－1，0.16）的正態(tài)分布。為比較兩種方法收斂的精度及效率，對零件使用拉丁超立方抽樣法進行1000組誤差分析，得到零件的1000個均值，同樣計算出直接蒙特卡羅法的1000個均值，將兩種結(jié)果落在指定區(qū)間的次數(shù)做對比，實現(xiàn)兩種方法收斂精度的比較。通過這兩組均值落在實際平均值附近一個較小區(qū)間的次數(shù)來實現(xiàn)這兩種方法的比較，比較結(jié)果如表2所示。

表2 兩種抽樣方法結(jié)果比較

從表2可以看出，2000個實驗樣本的簡單隨機抽樣計算出的零件變形收斂在區(qū)間［3.910，3.925］的頻數(shù)是748，而80樣本數(shù)的拉丁超立方收斂頻數(shù)是954。 當收斂區(qū)間減小到［3.912，3.922］時，80樣本數(shù)的拉丁超立方的收斂效率依然能保持較高的水平，達到872次，但是簡單隨機抽樣的結(jié)果有很大的變化，變?yōu)?93次，而且相比于1000樣本數(shù)的簡單隨機抽樣增加的幅度不大。這表明，當計算結(jié)果精度要求比較高時，簡單隨機抽樣通過增加抽樣次數(shù)提高精度的效果有限，但是拉丁超立方抽樣效果較好。圖8和圖9分別是拉丁超立方抽樣與簡單隨機抽樣得到的均值的直方圖，可以看出拉丁超立方抽樣直方圖均值分布比較集中，收斂效果明顯好于簡單隨機抽樣。

6 結(jié)語

圖8 拉丁超立方抽樣直方圖

圖9 簡單隨機抽樣直方圖

本文在薄板裝配誤差分析中，對直接蒙特卡羅法進行改進，采用拉丁超立方抽樣代替以往的簡單隨機抽樣。這種抽樣方法能夠大大減小抽樣次數(shù)，提高收斂效率，進而能夠?qū)Ω泳_復雜的模型進行計算。本文在誤差分析模型中考慮了零件與零件的接觸以及零件與焊槍的接觸，仿真結(jié)果表明，考慮接觸的模型能夠有效提高仿真的精度。為比較兩種不同方法概率收斂的結(jié)果，構(gòu)造了變形的響應(yīng)平面，從表2可以看出，相同精度下拉丁超立方抽樣的收斂次數(shù)遠小于簡單隨機抽樣，對于精度要求越高的分析，其收斂效果更好。

［1］Chase K W，Gao J，Magleby S P.General 2－D Tolerance Analysis of Mechanical Assemblies with Small Kinematic Adjustments［J］.Journal of Design and Manufacturing，1995，5（4）：263－274.

［2］Gao J，Chase K W，Magleby S P.General 3－D Tolerance Analysis of Mechanical Assemblies with Small Kinematic Adjustments［J］.IIE Transactions，1998，30（4）：367－377.

［3］Cai W，Hu S J，Yuan J X.A Variational Method of Robust Fixture Configuration Design for 3－D Work Pieces［J］.ASME Journal of Manufacturing Science and Engineering，1997，119（5）：593－601.

［4］Liu S C，Hu S J.Variation Simulation for Deformable Sheet Metal Assemblies Using Finite Element Methods［J］.ASME Journal of Manufacturing Science and Engineering，1997，119：369－374.

［5］Dahlstr?m S.Variation Simulation of Sheet Metal Assemblies Using the Method of Influence Coeffcients with Contact Modeling［J］.Journal of Manu－facturing Science and Engineering，2007，129（3）：615－622.

［6］Dahlstr?m S，Camelio J A.Fixture Design Methodology for Sheet Metal Assembly Using Computer Simulations［C］//Proceedings 2003ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition.Washington D C，2003：15－21.

［7］Camelio J A，Hu J S，Ceglarek D.Modeling Variation Propagation of Multi－Station Assembly Systems with Compliant Parts［C］//Proceedings of ASME 2001Design Engineering Technical Conference and Computers ＆Information in Engineering Conference.Pittsburgh，PA，2001：9－12.

［8］Stein M.Large Sample Properties of Simulations Using Latin Hypercube Sampling［J］.Technometrics，1987，29（2）：143－151.

［9］熊俊濤，喬志德，韓忠華.基于響應(yīng)面法的跨聲速機翼氣動優(yōu)化設(shè)計［J］.航空學報，2006，27（3）：399－402.

［10］孫光永，李光耀，張勇，等.基于魯棒性的概率優(yōu)化設(shè)計在薄壁構(gòu)件耐撞性中的應(yīng)用［J］.中國機械工程，2007，18（4）：479－483.