基于非線性GRA的群體模糊多屬性決策模型

李香花,邊 寧,,,王孟鈞

（1.中南大學土木工程學院,長沙410075;2.株洲市城市規(guī)劃局,湖南 株洲421007）

0 引言

由于客觀事物復(fù)雜性和不確定性以及決策者主觀意見的模糊性，群體模糊多屬性決策（GFMADM）問題越來越受理論界與實務(wù)界關(guān)注。群體模糊多屬性決策方法作為一種能夠?qū)溥x方案的數(shù)量屬性和質(zhì)量屬性進行高度綜合的評價方法，在系統(tǒng)優(yōu)化、經(jīng)濟評價與方案決策中得到廣泛應(yīng)用。目前，有關(guān)GFMADM的理論研究已取得了豐碩的成果[1-9]，綜合起有來主要理想點法（TOPSIS）[1-6]和線性規(guī)劃法（LINMAP）[7-9]兩類方法。文獻[1]先通過集結(jié)專家群體意見得到綜合評判矩陣，然后設(shè)定屬性權(quán)重和正負理想點并依據(jù)距離關(guān)聯(lián)做出綜合評判；文獻[2～4]根據(jù)屬性值差異與屬性權(quán)重的關(guān)系分別采用極值偏差法、模糊向量投影技術(shù)、灰色關(guān)聯(lián)法和優(yōu)勢度關(guān)聯(lián)法構(gòu)建函數(shù)，求解屬性權(quán)重值，然后從規(guī)范化綜合決策矩陣中選取正負理想方案，并根據(jù)備選方案與理想方案的距離、投影或關(guān)聯(lián)度等進行加權(quán)集結(jié)與決策評價；文獻[5]依據(jù)屬性優(yōu)勢度關(guān)系確定屬性的權(quán)重以及優(yōu)勢度矩陣，并依據(jù)優(yōu)勢度概率測度值進行決策；文獻[6]側(cè)重對決策者群體意見的一致性進行研究與集結(jié)，然后通過到正負理想點的距離進行決策；文獻[7～8]則利用線性規(guī)劃模型求解屬性權(quán)重值和理想方案屬性值，然后依據(jù)備選方案與理想方案的差異度進行決策。由于決策屬性的權(quán)重與屬性值的大小沒有必然的聯(lián)系，理想的方案值并不一定存在于決策矩陣中，因此理想點法中理想方案的直接選取難以排除主觀因素的干擾。文獻[7～9]的線性規(guī)劃（LINMAP方法）涉及參數(shù)過多，計算量大，因此現(xiàn)實應(yīng)用推廣存在一定困難。本文在已有成果基礎(chǔ)上，針對決策問題的模糊性和不確定性，建立三角模糊決策矩陣，并綜合LINMAP和TOPSIS的優(yōu)點，運用模糊環(huán)境下備選方案到理想方案的距離，分析群體決策偏好的一致度和不一致度，構(gòu)建群體多屬性決策的非線性目標函數(shù)，并借助MATLAB、EXCEL等輔助計算工具，求解函數(shù)得到理想方案屬性值及屬性權(quán)重值。然后結(jié)合決策屬性值群體意見的相關(guān)性，運用灰色關(guān)聯(lián)法計算各備選方案與理想方案綜合加權(quán)關(guān)聯(lián)度，據(jù)以進行方案的決策排序。最后通過算例檢驗。為群體多屬性決策問題提供新思路。

1 三角模糊數(shù)預(yù)備知識

定理1若a=(al,am,,au) ,0＜al＜am＜aua?=(al,am,,au),0＜al＜am＜au,則a?為一個三角模糊數(shù)，其隸屬函數(shù)可以表示為：

由此，三角模糊數(shù)隸屬函數(shù)必在區(qū)[0,1]上。

定理2 有任意兩個三角模糊數(shù)a?=(al,am,au)=(bl,bm,bu)，根據(jù)拓展原理有如下運算規(guī)則：

其中⊕ , ?為三角模糊數(shù)的加法、乘法運算符號；λ為一常數(shù)。

效益型屬性為:

成本型屬性為:

定理6若α,β為兩個三角模糊數(shù)向量，，其中（i=1,2,…,m），則α與β的關(guān)聯(lián)系數(shù)可以表示為ξi：

式中ρ為分辨系數(shù)，依據(jù)決策的精準度來確定。

2 模糊多維屬性非線性GRA模型

若決策中有n個備選方案組成備選方案集合X=(x1,x2,…,xn)，m項決策屬性組成屬性集合U=(u1,u2, …,um)，則決策問題為多維屬性決策，常用的方法有理想點法（TOPSIS）和線性規(guī)劃法（LINMAP）。這兩種方法都存在一定的局限性。本文結(jié)合兩種方法的基本原理的基礎(chǔ)上，采用非線性函數(shù)變換，構(gòu)建多屬性非線性決策模型，求解理想方案值和權(quán)值，并運用灰色關(guān)聯(lián)法來進行決策，具體過程如下：

Step 1設(shè)定語言變量，并根據(jù)決策專家對各備選方案的各屬性模糊評價，構(gòu)成多數(shù)性模糊決策矩陣其中根據(jù)公式(4)與（5）對矩陣的模糊數(shù)值進行歸一化，得到標準決策矩陣決策屬性權(quán)重向量為ω=(ω1,ω2, … ,ωj)，其中Step 2設(shè)定理想方案為A*的屬性值為:

=則各備選方案到理想方案的歐幾里德距離為di,i=1,2,…,n。

Step 3已知專家決策偏好集F，F(xiàn)={(xp,xq)|

xp?xq,xp,xq∈X}，符號?表示前者優(yōu)于后者。根據(jù)決策原理，到各屬性理想值歐幾里德距離越小表示該方案越優(yōu)，推廣到群體決策中，如果xp?xq并且有dp≤dq，則表示專家偏好符合一致性，表示為否則，表示專家偏好不符合一致性，用來表示：

并由此可推知群體群體決策一致度為G和群體不一致度為B：

根據(jù)上式可以推知:

Step 4分析專家意見相互關(guān)系，確定分布函數(shù)，構(gòu)造非線性目標函數(shù)。首先dp和dq關(guān)系分布函數(shù)如式（11）和式（12），分布如圖1。

圖1 專家偏好一致度函數(shù)分布

由于群體不一致度為B，則應(yīng)滿足ξ?(B)盡可能小，同時又要使G-B盡可能大，令G-B最小差異為h，構(gòu)造函數(shù)[11]：

式中h、k由決策者給定，為便于比較將函數(shù)η(G-B)分布置于[0,1]區(qū)間，可見函數(shù)滿足單調(diào)性，要使η(G-B)盡可能大又使得ξ?(B)盡可能小，即ξ?(B)和1-η(G-B)均盡可能小，引入式中間變量λ,λ=max{ξ(B), 1-η(G-B)}.并根據(jù)分析構(gòu)造目標函數(shù)如下：

Step 5解非線性方程組，得到屬性權(quán)向量和理想方案屬性值，并計算各備選方案到理想方案的關(guān)聯(lián)系數(shù)，構(gòu)建關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣D=[ξij]n×m。將公式(6)關(guān)聯(lián)關(guān)系拓展到多屬性決策領(lǐng)域，計算各方案屬性值與理想方案各屬性的關(guān)聯(lián)系數(shù)為ξij：

分辨系數(shù)ρ取值為0.05，使決策關(guān)聯(lián)系數(shù)長度區(qū)間達到95%，已符合本文決策需求精度。針對決策屬性uj來說，ξij越大說明備選方案與理想方案在該屬性上越接近。Step 6計算各方案的綜合關(guān)聯(lián)度ζi，并進行決策。

ζi表示備選方案到理想方案的綜合相似程度，ζi越大表明備選方案與理想方案越相似，方案越優(yōu)，反之，方案越差。

3 應(yīng)用案例

表1 不同開發(fā)模式相關(guān)屬性評價表

表2 語言變量三角模糊表示數(shù)

長株潭城市群發(fā)展中某大型基礎(chǔ)設(shè)施項目運作模式?jīng)Q策中，初步研究分析可以采取A、B、C、D四種備選方案，為保證決策的科學合理性，必須對各備選方案對社會、經(jīng)濟、環(huán)境及資源利用等方面進行系統(tǒng)分析，組織專家對備選模式的社會經(jīng)濟、生態(tài)環(huán)境、資源利用和國民經(jīng)濟四方面進行評價，如表1所示，并得到專家偏好集合φ={(A,B),(A,D),(B,C),(B,D),(C,A),(D,C)}，運用多屬性非線性決策模型進行決策。

確定語言變量三角模糊表示，如表2所示：

依據(jù)表1、表2構(gòu)建決策矩陣A，并將矩陣A進行規(guī)范化，得到規(guī)范化矩陣R。

將R作為初始變量輸入，令h=0.5,k=0.1,求解模型得到屬性權(quán)重值和理想方案的屬性值分別為：

W=（0.3560,0.1304,0.3206,0.1930），

A*=((0.5160,0.7180,0.9330）,(0.2046,0.2846,0.7673),(0.240,0.4242,0.6231),(0.1527,0.7681,0.7742))依據(jù)公式(16)計算各備選方案與理想方案屬性的關(guān)聯(lián)系數(shù)，構(gòu)成關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣如下：

根據(jù)公式(17)計算各備選方案的綜合關(guān)聯(lián)度，并進行決策。項目綜合關(guān)聯(lián)度分別為ζA=0.697，ζB=0.764，ζC=0.324，ζD=0.507，對綜合關(guān)聯(lián)度進行排序，即ζB＞ζA＞ζD＞ζC，方案的優(yōu)劣秩序依次為B?A?D?C。

4 結(jié)論

本文針對群體多屬性決策中評價值具有模糊性和屬性權(quán)重不確定的問題，提出了一種非線性規(guī)劃求解屬性權(quán)重和理想方案的方法，該方法是運用三角模糊向量距離比較與專家偏好可信度為基礎(chǔ)，通過構(gòu)建非線性規(guī)劃模型，求解模型得到理想方案屬性值和屬性權(quán)重，然后依據(jù)備選方案與理想方案的綜合灰色關(guān)聯(lián)度進行方案的決策排序。該方法與傳統(tǒng)的線性規(guī)劃多屬性規(guī)劃方法比較具有決策參數(shù)少，簡單易行的特點，并且該方法可以克服多維向量距離決策不唯一性，還可以防止GRA法主觀偏好的影響，通過算例驗證，決策結(jié)果比較理想。

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