摩擦力做功問題的多角度分析與拓展

徐華兵

（金華第一中學，浙江 金華 321015）

摩擦力做功問題一直是高中物理的一個難點，也是教學的重點.學生在做這類題目時常分不清摩擦力做功情況，以致無法解題.筆者在關(guān)于摩擦力做功的教學中采取了分類歸納教學，取得了很好的教學效果.本文通過對靜、動摩擦力做功問題進行分類歸納多角度解析，希望對學生解決摩擦力做功類問題有所幫助.

1 靜摩擦力做功

（1）單個靜摩擦力做功.

很多學生對靜摩擦力做功意識模糊，認為靜摩擦力是產(chǎn)生于“靜止”的物體之間，所以靜摩擦力一定對物體不做功.其實并非如此，請欣賞生活中常見靜摩擦力做功情境.用手握住一個啤酒瓶子，使啤酒瓶呈豎直狀態(tài).對啤酒瓶進行受力分析可知，啤酒瓶受到手對它向上的靜摩擦力.當手和啤酒瓶向上做勻速運動時，位移向上，手對啤酒瓶的靜摩擦力是動力，對啤酒瓶做正功；當手和啤酒瓶向下做勻速運動時，位移向下，手對啤酒瓶的靜摩擦力是阻力，對啤酒瓶做負功；當手和啤酒瓶在水平面上做勻速運動時，位移在水平面上，手對啤酒瓶的靜摩擦力方向和位移的方向垂直，對啤酒瓶不做功.

從上面情境中，很容易看出靜摩擦力可以對物體做正功，也可以做負功，還可以不做功，關(guān)鍵是要看物體受到的靜摩擦力方向和它運動方向間的關(guān)系.下面再通過其他實例談談靜摩擦力做功情況：

① 靜摩擦力可以對物體做正功和負功.

例1.如圖1所示，質(zhì)量分別為m和M的A、B兩個木塊疊放在光滑的水平面上，A與B之間的動摩擦因數(shù)為μ，現(xiàn)用一水平拉力F作用于A，使A和B保持相對靜止一起向右做勻加速直線運動，位移為s，則在這一過程中靜摩擦力對A物體做多少功，對B做多少功.

解析：要求出靜摩擦力對A、B做的功，首先要知道A、B兩物體所受靜摩擦力的大小和方向.對A、B進行受力分析，如圖2中（a）、（b）所示.由于A、B保持相對靜止狀態(tài)，對整體運用牛頓第二定律知加速度利用隔離法求出靜摩擦力再由功的計算式W＝Fscosθ得靜摩擦力對A物體做的功對B物體做的功由此可見A、B之間的靜摩擦力對A物體做負功，對B物體做正功.

圖1

圖2

② 靜摩擦力可以對物體不做功.

圖3

例2.放在水平圓盤上的一物體m，隨圓盤一起繞過圓盤中心的垂直軸做勻速圓周運動（如圖3所示），物體m始終和圓盤處于相對靜止狀態(tài)，求圓盤對物體的靜摩擦力對物體做的功.

解析：由于物體隨圓盤一起做勻速圓周運動，圓盤對物體的靜摩擦力提供物體所需向心力，即物體所受的靜摩擦力方向指向圓盤中心.由于此靜摩擦力的方向每時每刻都和物體做圓周運動線速度的方向垂直，所以此靜摩擦力對物體不做功.

由以上分析可以得出：靜摩擦力對物體可以做正功也可以做負功，還可以不做功.判斷靜摩擦力做功的關(guān)鍵是要分析清楚靜摩擦力的方向與物體對地位移的關(guān)系.當靜摩擦力方向與物體對地位移方向相同即靜摩擦力作為物體運動的動力時，靜摩擦力對物體做正功；當靜摩擦力的方向與物體位移方向相反即靜摩擦力作為物體運動的阻力時，靜摩擦力對物體做負功；當靜摩擦力的方向與物體位移方向垂直即靜摩擦力既不是動力也不是阻力時，靜摩擦力對物體不做功.

（2）一對靜摩擦力的合功（即作用力與反作用力做的總功）.

靜摩擦力存在于無相對運動而具有相對運動趨勢的物體之間，因此產(chǎn)生靜摩擦力的兩個物體對地位移一定相等，而物體間這一對靜摩擦力互為作用力和反作用力，大小相等、方向相反.所以如果其中的一個靜摩擦力做正功，那么另一個靜摩擦力一定做負功，且負功的數(shù)值一定等于正功的數(shù)值；或者如果其中一個靜摩擦力做功為0，那么另一個靜摩擦力做功也一定為0.即有一對靜摩擦力做功的代數(shù)和一定為0.前面是通過邏輯推理的角度得到一對靜摩擦力做的合功一定為0，下面再通過具體的例子作進一步分析.

在上面的例1中，A與B物體之間存在的是靜摩擦力，B對A的靜摩擦力對A做的功對B的靜摩擦力對B做的功這一對靜摩擦力做的合功即這一對靜摩擦力做的合功為0.在上面的例2中物體和圓盤之間存在的也是靜摩擦力，但物體和圓盤沿摩擦力的方向?qū)Φ氐奈灰贫紴?，即靜摩擦力對物體做的功為0，靜摩擦力對圓盤做的功也為0，所以這一對靜摩擦力做的合功為0.

由以上分析得出，一對靜摩擦力做功的代數(shù)和一定為0.它包含兩種情況：一是這一對靜摩擦力一個做正功，一個做負功，但數(shù)值相等，其代數(shù)和為0；二是這一對靜摩擦力中的每一個靜摩擦力做功都為0，即每個靜摩擦力都不做功.

（3）一對靜摩擦力做的合功與系統(tǒng)能量間的關(guān)系.

通過前面的分析已知一對靜摩擦力對物體做功的代數(shù)和為0，而功又是能量轉(zhuǎn)化的量度.所以在一對靜摩擦力做功過程中，產(chǎn)生靜摩擦力的兩個物體系所具有的機械能不會發(fā)生轉(zhuǎn)化，即物體系的機械能不會轉(zhuǎn)化為其他形式的能.但這一對靜摩擦力中的某一個力可能對其中一個物體做正功，使這一個物體的機械能增加，如上面例1中的靜摩擦力對B做正功，使B物體的機械能增加；另一個力肯定對另一個物體做負功，使這一物體的機械能減少.進一步分析發(fā)現(xiàn)靜摩擦力做功會使物體系中物體間的機械能發(fā)生轉(zhuǎn)移，但物體系總的機械能不發(fā)生變化.

2 滑動摩擦力做功

（1）單個滑動摩擦力做功.

判斷滑動摩擦力做功情況時，常有學生認為滑動摩擦力是由于物體間發(fā)生相對滑動而產(chǎn)生的，那么滑動摩擦力的方向一定和物體的“位移”方向相反，所以滑動摩擦力一定對物體做負功.其實不然，請欣賞下面生活情境，分析滑動摩擦力做功情境.

用手拿著黑板擦擦黑板，黑板擦和黑板之間發(fā)生了相對滑動，黑板和黑板擦所受的摩擦力都是滑動摩擦力.黑板對黑板擦的滑動摩擦力方向與黑板擦位移方向相反，據(jù)功的計算式知滑動摩擦力對黑板擦做負功；而在這一過程中黑板的位移為0，即黑板擦對黑板的滑動摩擦力對黑板不做功.

從上面這常見情境中知道滑動摩擦力可以對物體做負功，也可以對物體不做功，進一步分析發(fā)現(xiàn)滑動摩擦力還可以對物體做正功.下面通過具體實例來解析滑動摩擦力做功情況.

① 滑動摩擦力可以對物體做正功和負功.

例3.如圖4所示，一長為l，質(zhì)量為M的平板車B，放置在光滑的水平面上，有一質(zhì)量為m的小金屬塊A（可看做質(zhì)點）以水平初速度v0滑進動摩擦因數(shù)為μ的平板車上部，小鐵塊從平板車左端滑到平板車右端時與平板車保持相對靜止，已知在這一過程中平板車發(fā)生的位移為s，求該過程中滑動摩擦力對小金屬塊A和平板車B做的功.

解析：（a）滑動摩擦力對小金屬塊A的做功情況：小金屬塊A對地的位移為l＋s，所受的滑動摩擦力方向與位移方向相反，所以滑動摩擦力對A做負功，其值為

圖4

（b）滑動摩擦力對平板車B做功情況：在這一過程中平板車對地的位移為s，所受滑動摩擦力的方向與位移的方向相同，所以滑動摩擦力對平板車B做正功，其值為

② 滑動摩擦力可以對物體不做功.

如果例3中的平板車固定不動，只是小金屬鐵塊A在平板車上滑動，則小金屬塊A和平板車B所受的滑動摩擦力大小和方向不變，對小金屬塊A滑動摩擦力的方向和位移方向相反，滑動摩擦力對小金屬塊A做負功；平板車B固定不動，對地位移為0，即滑動摩擦力對平板車B不做功.

從上面的分析可以看出，滑動摩擦力可以對物體做正功，也可以對物體做負功，還可以對物體不做功.當滑動摩擦力阻礙物體的運動即滑動摩擦力為阻力時，滑動摩擦力對物體做負功；當滑動摩擦力促進物體的運動即滑動摩擦力為動力時，滑動摩擦力對物體做正功；當物體在滑動摩擦力的作用下相對地面靜止（即位移為0）時，即滑動摩擦力既不作動力也不作阻力時，滑動摩擦力對物體做功為0.

（2）一對滑動摩擦力做的功（即滑動摩擦力的作用力和反作用力做的總功）.

通過上面的分析已知滑動摩擦力可以對物體做正功，也可以對物體做負功，還可以對物體不做功.而滑動摩擦力是由于物體間相對滑動而產(chǎn)生的，故兩個物體對地的位移不相等.根據(jù)功的計算式知滑動摩擦力做負功的數(shù)值一定大于滑動摩擦力做正功的數(shù)值，即這一對滑動摩擦力做的總功一定為負.下面以例3為例作進一步的分析：當平板車運動時，平板車對小金屬塊的滑動摩擦力對小金屬塊A 做的功W1＝－fAB（l＋s）＝－μmg（l＋s），小金屬塊對平板車B的滑動摩擦力對平板車B做的功W2＝fBAs＝μmgs，所以這一對滑動摩擦力做的總功W＝W1＋W2＝－μmg（l＋s）＋μmgs＝－μmgl，為負值.當平板車固定時，平板車對小金屬塊的滑動摩擦力對小金屬塊做負功，而小金屬塊對平板車的滑動摩擦力對平板車不做功，故這一對滑動摩擦力做的總功也為負值.

進一步分析可知一對滑動摩擦力做功之和一定為負值.它包含3種可能的情況：一是一對滑動摩擦力一個做正功一個做負功，但負功的數(shù)值大于正功的數(shù)值，即如同例3中一對滑動摩擦力對小金屬塊和平板車做功情形；二是一個滑動摩擦力做負功，而另一個滑動摩擦力對物體不做功，其總功為負值，即如同例3中平板車固定不動時這一對滑動摩擦力做功的情形；三是一對滑動摩擦力都對物體做負功，其總功為負值，如圖5中向相反方向發(fā)生滑動的兩個物體之間產(chǎn)生的滑動摩擦力，其中A對B的滑動摩擦力對B做負功，B對A的滑動摩擦力對A也做負功，這一對滑動摩擦力做的總功為負值.

（2）一對滑動摩擦力做的合功與系統(tǒng)能量間的關(guān)系.

在例3中以小金屬塊A為研究對象，滑動摩擦力對小金屬塊A做的功W1＝－fAB（l＋s）＝－μmg（l＋s）.根據(jù)動能定理，小金屬塊A動能的變化量ΔEk金＝W1＝－μmg·（l＋s）.此式表明小金屬塊從開始滑動到相對平板車靜止的過程中，其動能減小即機械能減小.以平板車為研究對象，滑動摩擦力對平板車所做的功W2＝fs＝μmgs.根據(jù)動能定理可知平板車B的動能變化量ΔEk車＝W2＝μmgs，此式表明金屬塊從開始滑動到相對平板車靜止的過程中，平板車的動能在增加.將兩式相加有ΔEk金＋ΔEk車＝W1＋W2＝－μmgl，由此式可知在這一過程中，小金屬塊和平板車組成的系統(tǒng)機械能在減小，減少的數(shù)值等于滑動摩擦力與小金屬塊和平板車之間相對位移的乘積，這部分機械能轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的內(nèi)能使系統(tǒng)產(chǎn)生熱量.

圖5

由此可以得出，滑動摩擦力對相互作用的兩物體系統(tǒng)做負功，使系統(tǒng)的機械能減小，轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，即摩擦生熱.產(chǎn)生的熱量等于摩擦力和相互摩擦的兩個物體間相對路程的乘積，即Q＝fs相對.

所以對存在滑動摩擦力的系統(tǒng)，在一對滑動摩擦力做功的過程中，能量的改變包括兩種情況：一是系統(tǒng)內(nèi)相互作用的物體間機械能發(fā)生相互轉(zhuǎn)移，機械能從一個物體轉(zhuǎn)移到另一個物體；二是系統(tǒng)內(nèi)物體的機械能發(fā)生轉(zhuǎn)化，將系統(tǒng)內(nèi)的機械能轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)內(nèi)能.

本文對靜摩擦力和滑動摩擦力做功情況以及一對摩擦力做功與系統(tǒng)能量間的關(guān)系作了多角度的歸納總結(jié).學生在遇到摩擦力做功問題時，一定要根據(jù)具體的情境判斷物體所受的摩擦力和物體對地位移間的關(guān)系，從而判斷摩擦力的做功情況.