速度最大時(shí)合力為零嗎？＊

葉玉琴

（安慶市第二中學(xué)，安徽 安慶 246000）

筆者發(fā)現(xiàn)某高中物理教輔資料中有這樣一道題.

圖1

題目.如圖1所示，繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，兩連接點(diǎn)距離為d，士兵裝備及滑輪質(zhì)量為m，不計(jì)摩擦力及繩子質(zhì)量，士兵從一端滑到另一端的過(guò)程中，求：

（1）士兵速度最大時(shí)繩上的張力；

（2）速度最大值vmax.

教輔資料給出的參考答案如下.

解析：（1）這是一個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，把士兵（包括裝備及滑輪）作為研究對(duì)象，并將其視作質(zhì)點(diǎn)，在士兵從一端滑到另一端過(guò)程中，當(dāng)士兵速度最大時(shí)則該時(shí)刻的加速度為零.對(duì)士兵受力分析：受重力及繩子拉力.因?yàn)槭勘茄刂K子滑過(guò)去且不計(jì)摩擦，所以?xún)啥死K子的拉力大小相同，設(shè)速度最大時(shí)刻即加速度為零瞬間左、右兩繩子與水平方向的夾角為α、β，繩拉力為T(mén)，則根據(jù)平衡條件有：Tcosα＝Tcosβ，Tsinα＋Tsinβ＝mg，于是解得

圖2

（2）士兵在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒，從解析（1）可知士兵速度最大時(shí)處于繩子的正中間，也是到兩固定端距離相等的位置，如圖2所示.由機(jī)械能守恒定律得

由幾何關(guān)系及已知條件可得

所以速度最大值為

對(duì)于第（1）小題的解析，筆者提出質(zhì)疑.筆者認(rèn)為原解析中的“在士兵從一端滑到另一端過(guò)程中，當(dāng)士兵速度最大時(shí)則該時(shí)刻的加速度為零”，“將士兵速度最大時(shí)作為平衡狀態(tài)”等說(shuō)法值得商榷，因?yàn)楸绢}中，研究對(duì)象即士兵是做曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，具體來(lái)說(shuō)應(yīng)該是沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，由于做曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的物體的加速度一定不為零，故原解析有誤.

如何確定士兵的運(yùn)動(dòng)軌跡是否為橢圓呢？我們還需從橢圓的定義說(shuō)起.

高中數(shù)學(xué)教材［1］對(duì)“橢圓”是這樣定義的：把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于｜F1F2｜）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，這兩個(gè)焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距.

高中物理教材［2］中的“做一做”用圖釘和細(xì)繩畫(huà)橢圓：把白紙鋪在木板上，然后摁上圖釘.把細(xì)繩的兩端系在圖釘上，用一枝鉛筆緊貼著細(xì)繩滑動(dòng)，使繩始終保持緊張狀態(tài).鉛筆在紙上畫(huà)出的軌跡就是橢圓，如圖3所示，圖釘在紙上留下的痕跡叫做橢圓的焦點(diǎn).

圖3

根據(jù)上面的描述橢圓的兩段文字可以看出，士兵確實(shí)是沿橢圓運(yùn)動(dòng)的，繩的兩固定端正是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，故此橢圓的半長(zhǎng)軸，橢圓的焦距，半短軸，由此可以確定士兵運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)合力不為零，也即具有豎直向上的加速度——向心加速度，而非處于平衡狀態(tài)，于是根據(jù)牛頓第二定律有

從上面的分析結(jié)果可以看出，原解析對(duì)士兵的運(yùn)動(dòng)過(guò)程及性質(zhì)缺乏分析，過(guò)于關(guān)注能量轉(zhuǎn)化，從而造成解析錯(cuò)誤.同時(shí)從解題過(guò)程還可看出，若求解速度最大時(shí)的拉力，則應(yīng)先求出最大速度，故筆者認(rèn)為，應(yīng)將第（1）小問(wèn)與第（2）小問(wèn)對(duì)調(diào).考慮在中學(xué)階段，橢圓的曲率半徑屬較高要求，也可將原題中的第（1）小問(wèn)刪去，將原題直接作為機(jī)械能守恒定律的一個(gè)應(yīng)用題.

此為一己之管見(jiàn)，僅供參考.

1 人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室編著.全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)《數(shù)學(xué)》第2冊(cè)（上）.北京：人民教育出版社，2006.92

2 人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開(kāi)發(fā)中心編著.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《物理必修2》.北京：人民教育出版社，2007.62 （收稿日期：2011－10－24）