B樣條曲線曲面的一種光順?biāo)惴?/h1>

2012-07-18 06:14:54秦賢杰黃有度

合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）訂閱 2012年3期 收藏

關(guān)鍵詞：光順樣條變動(dòng)

秦賢杰， 黃有度

（合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

B樣條曲線曲面的一種光順?biāo)惴?/p>

秦賢杰， 黃有度

（合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

文章給出了一種新的B樣條曲線曲面光順?biāo)惴ǎ撍惴ㄒ孕椭迭c(diǎn)的變動(dòng)量為未知量，以型值點(diǎn)變動(dòng)量的變動(dòng)范圍為約束條件，給出能量函數(shù)；通過(guò)遺傳算法對(duì)能量函數(shù)最小化求解，直接得到光順后的新的型值點(diǎn)；最后給出實(shí)例，表明該B樣條曲線曲面光順?biāo)惴ㄊ且环N有效的光順?biāo)惴ā?/p>

B樣條；曲面；遺傳算法；光順；能量函數(shù)

在工業(yè)設(shè)計(jì)和反求工程中，B樣條曲線曲面是一種進(jìn)行形狀設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)擬合的重要工具［1］。B樣條曲線曲面的光順性對(duì)最終產(chǎn)品外觀有著直接影響。光順處理包括曲線、曲面的光順性檢查和光順準(zhǔn)則制定以及曲線、曲面的修正，現(xiàn)將分別討論這3個(gè)問(wèn)題。國(guó)內(nèi)外已有大量文獻(xiàn)研究曲線曲面的光順問(wèn)題，但以型值點(diǎn)作為優(yōu)化變量的文獻(xiàn)較少。文獻(xiàn)［2－3］用應(yīng)變能最小作為光順準(zhǔn)則，加上約束條件對(duì)曲線曲面進(jìn)行局部光順，其最優(yōu)化變量為曲線曲面的控制頂點(diǎn)。文獻(xiàn)［4－6］將控制頂點(diǎn)作為優(yōu)化變量，盡管其光順準(zhǔn)則有所不同。以控制頂點(diǎn)為優(yōu)化變量的光順?lè)椒?，曲線曲面光順后仍需曲線曲面與直線求交，然后求得光順后型值點(diǎn)。與現(xiàn)有方法相比，本文方法直接以型值點(diǎn)變動(dòng)量作為優(yōu)化變量，光順后直接得到型值點(diǎn)的變動(dòng)量及新的型值點(diǎn)，這在船舶型線放樣中有較強(qiáng)的實(shí)用性。

1 B樣條曲線的光順

1.1 曲線的光順性檢查

在實(shí)際工作中，經(jīng)常會(huì)要求根據(jù)給定的型值點(diǎn)用樣條攀成一條經(jīng)過(guò)這些型值點(diǎn)的曲線，即數(shù)學(xué)中所說(shuō)的按順序插值型值點(diǎn)生成相應(yīng)曲線。設(shè)給定型值點(diǎn)Q0，Q1，…，Qn，本文用3次B樣條曲線按順序插值這些型值點(diǎn)［7］。型值點(diǎn)的參數(shù)化為累加弦長(zhǎng)參數(shù)化，即令：

其中，li＝｜Qi－1Qi｜。設(shè)U＝｛u0，u1，…，un＋6｝＝｝為3次B樣條的節(jié)點(diǎn)空間。B樣條基函數(shù)的遞推公式為：

現(xiàn)在檢查各型值點(diǎn)Qi（即P））附近的曲率變化情況，P（）附近曲率變化記作ΔK）。令，其中，i＝1，2，…，n－1。K（u）為3次B樣條曲線P（u）的曲率，令

P）附近曲率變化）作為曲線光順性的檢查。大者說(shuō)明型值點(diǎn)）點(diǎn)附近曲率變動(dòng)大，相反，小者說(shuō)明型值點(diǎn)點(diǎn)附近曲率變動(dòng)小。此處認(rèn)為小者附近曲線比大者附近曲線更為光順。找出 max｛，i＝1，2，…，n－1｝，假設(shè)為，則將Qj、Qj－1、Qj＋1作 為 待 光 順 的型值點(diǎn)。

1.2 曲線的光順準(zhǔn)則

1.3 曲線的光順?biāo)惴?/h3>

算法的基本步驟如下：

（1）找出“瑕點(diǎn)”，即型值點(diǎn)中型值點(diǎn)附近曲率變化最大的型值點(diǎn)。設(shè)max｛ΔK（），i＝1，2，…，n－1｝為 ΔK（），則Qj即為所對(duì)應(yīng)的“瑕點(diǎn)”。

（2）將Qj、Qj－1、Qj＋1作為待修改的型值點(diǎn)。

（3）給定修改約束，設(shè)為新型值點(diǎn)，Δj＝｜－Qj｜≤ε，ε為給定的約束范圍。

（4）利用基本遺傳算法求解新型值點(diǎn)、

遺傳算法求解步驟如下［9］：

（1）設(shè)型值點(diǎn)Qj、Qj－1、Qj＋1的變動(dòng)量Δj、Δj－1、Δj＋1為 基 因，種 群 數(shù) 為 30，進(jìn) 化 代 數(shù)為1 000。

（2）令＝Qj＋Δj；＝Qj－1＋Δj－1；，重新插值生成經(jīng)過(guò)新型值點(diǎn)的3次B樣條曲線，將作為適應(yīng)度函數(shù)。

（3）經(jīng)過(guò)選擇、交叉、變異等操作后，終止進(jìn)化，最終得到型值點(diǎn)的變動(dòng)量Δj、Δj－1、Δj＋1及新的型值點(diǎn)，即：＝Qj＋Δj，＝Qj－1＋Δj－1，

（4）插值新型值點(diǎn)生成光順后的3次B樣條曲線。

（5）判斷是否繼續(xù)修改曲線，此時(shí)既可以設(shè)定為人工判斷，也可以設(shè)定為計(jì)算機(jī)自動(dòng)根據(jù)條件完成判斷。

1.4 曲線光順效果

圖1所示為某工程船型線圖中1條站線的部分曲線圖，圖2所示為帶有噪聲的曲線圖，圖3所示為用本文算法對(duì)圖2進(jìn)行3次光順后的曲線圖。可以看出本文曲線光順?biāo)惴ㄊ钟行?。圖1～圖3中上方為曲線上離散點(diǎn)的曲率圖。

2 B樣條曲面的光順

2.1 曲面的光順性檢查

對(duì)曲面的光順一般可以轉(zhuǎn)化為對(duì)曲面的網(wǎng)格曲線或曲面的u、v方向參數(shù)曲線的光順。本文將曲面的光順轉(zhuǎn)化為對(duì)曲面的網(wǎng)格曲線的光順。給定型值點(diǎn)列｛Qi，j｝，i＝0，1，…n，j＝0，1，…，m。根據(jù)上述插值曲線的方法，可以生成2組曲線，一組以｛Qi，j｝每一橫列的m＋1個(gè)型值點(diǎn)生成n＋1條3次B樣條曲線組，此處稱為水線組；另一組以｛Qi，j｝每一豎列的n＋1個(gè)型值點(diǎn)生成m＋1條3次B樣條曲線組，此處稱為站線組。

其中，i＝1，2，…，n－1；j＝1，2，…，m－1；K（u）為3次B樣條曲線P（u）的曲率，令

Qi，j附近網(wǎng)格曲線的曲率變化ΔK（i，j）作為網(wǎng)格曲線光順性的檢查。ΔK（i，j）大者說(shuō)明型值點(diǎn)Qi，j點(diǎn)附近網(wǎng)格曲率變動(dòng)大；ΔK（i，j）小者說(shuō)明型值點(diǎn)Qi，j點(diǎn)附近網(wǎng)格曲率變動(dòng)小。ΔK（i，j）小者附近網(wǎng)格曲線比ΔK（i，j）大者附近網(wǎng)格曲線更為光順。找出 max｛ΔK（i，j），i＝1，2，…，n－1；j＝1，2，…，m－1｝，假設(shè)為 ΔK（i，j），則 將Qi，j、Qi－1，j、Qi＋1，j、Qi，j－1、Qi，j＋1作為待光順的型值點(diǎn)。

2.2 曲面的光順準(zhǔn)則

曲面光順過(guò)程中，可以將?Ω＋）dΩ作為曲面光順程度的判定［5］，其中，k1、k2為曲面的主曲率。本文按照上述曲線光順中的方法，將2組B樣條曲線組的應(yīng)變能總和最小作為光順準(zhǔn)則，，其中，Wi為第i＋1條站線的應(yīng)變能；Vj為第j＋1條水線的應(yīng)變能，其求法與上文相同。

2.3 曲面的光順?biāo)惴?/h3>

算法的基本步驟如下：

（1）找出“瑕點(diǎn)”，即型值點(diǎn)列中型值點(diǎn)附近網(wǎng)格曲率變化最大的型值點(diǎn)。max｛ΔK（i，j），i＝1，2，…，n－1，j＝1，2，…，m－1｝，設(shè)為 ΔK（i，j），則Qi，j即為所對(duì)應(yīng)的“瑕點(diǎn)”。

（2）將Qi，j、Qi－1，j、Qi＋1，j、Qi，j－1、Qi，j＋1作為待修改的型值點(diǎn)。

（3）給定修改約束，設(shè)為新型值點(diǎn)，Δi，j＝≤ε，ε為給定的約束范圍。

（4）利用基本遺傳算法求解新型值點(diǎn)、

遺傳算法求解步驟如下：

（1）設(shè)型值點(diǎn)Qi，j、Qi－1，j、Qi＋1，j、Qi，j－1、Qi，j＋1的變動(dòng)量Δi，j、Δi－1，j、Δi＋1，j、Δi，j－1、Δi，j＋1為基因，種群數(shù)為30，進(jìn)化代數(shù)為1 000。

（2）令＝Qi，j＋Δi，j，＝Qi－1，j＋Δi，j－1，＝Qi，j＋1＋Δi，j＋1，重新插值生成經(jīng)過(guò)新型值點(diǎn)的3次B樣條曲線網(wǎng)格，將作為適應(yīng)度函數(shù)。

（3）經(jīng)過(guò)選擇、交叉、變異等操作后，終止進(jìn)化，最終 得 到 新 的 型 值 點(diǎn) 的 變 動(dòng) 量Δi，j、Δi－1，j、Δi＋1，j、Δi，j－1、Δi，j＋1及新型值點(diǎn)，即

（5）插值新型值點(diǎn)生成光順后的3次B樣條曲線網(wǎng)格。

（6）判斷是否繼續(xù)修改曲線網(wǎng)格，此時(shí)既可以設(shè)定為人工判斷，也可以設(shè)定為計(jì)算機(jī)自動(dòng)根據(jù)條件完成判斷。

（7）根據(jù)光順后的型值點(diǎn)及B樣條曲線網(wǎng)格，用蒙皮法生成B樣條曲面。

2.4 曲面光順的效果

圖4所示為某工程船部分水線、站線網(wǎng)格圖。

圖4 水線、站線網(wǎng)格

圖5所示為帶有噪聲的網(wǎng)格圖，圖6所示為用本文算法對(duì)圖5進(jìn)行10次光順后的網(wǎng)格圖。從中可以看出本文算法是十分有效的。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種新的B樣條曲線曲面的光順?biāo)惴?，以型值點(diǎn)的變動(dòng)量為未知量，以型值點(diǎn)變動(dòng)量的變動(dòng)范圍為約束條件，給出能量函數(shù)，通過(guò)遺傳算法對(duì)能量函數(shù)最小化求解，直接得到光順后的新的型值點(diǎn)。該算法的優(yōu)點(diǎn)在于以型值點(diǎn)變化量作為變量，光順處理后直接得到光順后的型值點(diǎn)，這在船舶放樣等工業(yè)工程中有較強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用。本文的不足之處在于，給定的修改約束ε過(guò)大或過(guò)小將影響光順效果。ε過(guò)大則光順后的曲線趨于平緩，ε過(guò)小則光順的次數(shù)需增加。通過(guò)實(shí)例，可以看出本文算法是十分有效的。

［1］席 平，劉 勇.反向工程中的曲面光順?biāo)惴ǎ跩］.北京航天航空大學(xué)學(xué)報(bào)，2002，28（2）：125－128.

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A kind of fairing method for B－spline curves and surfaces

QIN Xian－jie， HUANG You－du
（School of Mathematics，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China）

In this paper，a new fairing method for B－spline curves and surfaces is presented.Taking the variation of points as the unknown and the range of the variation as the constraint，this method obtains new faired points after defining the energy function and minimizing the energy function with genetic algorithm.The examples given in the paper show the effectiveness of the method.

B－spline；surface；genetic algorithm；fairing；energy function

TP391.411

A

1003－5060（2012）03－0429－04

10.3969／j.issn.1003－5060.2012.03.032

2011－05－31；

2011－07－06

秦賢杰（1986－），男，安徽安慶人，合肥工業(yè)大學(xué)碩士生；

黃有度（1949－），男，廣西賀縣人，合肥工業(yè)大學(xué)教授，碩士生導(dǎo)師.

（責(zé)任編輯 張 镅）

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