環(huán)＋＋…＋上的一類常循環(huán)碼

李 巖， 朱士信

（合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

環(huán)＋＋…＋上的一類常循環(huán)碼

李 巖， 朱士信

（合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

文章研究了環(huán)R＝＋＋…＋上任意長的（1＋uβ）－常循環(huán)碼的結(jié)構(gòu)，確定了環(huán)R上長為N＝的不同的（1＋uβ）－常循環(huán)碼的個(gè)數(shù)和這樣的碼所含碼字的個(gè)數(shù)，并得到環(huán)R上的（1＋uβ）－常循環(huán)對(duì)偶碼的結(jié)構(gòu)。

常循環(huán)碼；Galois環(huán)；對(duì)偶碼；離散傅里葉變換；零化子

0 引 言

有限域上的編碼理論已經(jīng)比較成熟，在文獻(xiàn)［1］中得到某些二元非線性碼可以看作是Z4環(huán)上的Gray像，使得近年來環(huán)上碼的研究成為編碼理論學(xué)家研究的一個(gè)熱點(diǎn)。特別地，有限環(huán)上常循環(huán)碼的研究也成為研究熱點(diǎn)之一。文獻(xiàn)［2］研究了Z4上奇長負(fù)循環(huán)碼；文獻(xiàn)［3］運(yùn)用變換的方法將Z4上所有偶長的負(fù)循環(huán)碼分類；文獻(xiàn)［4］研究了環(huán)Z4上的循環(huán)碼的生成元；文獻(xiàn)［5］研究了有限鏈環(huán)上循環(huán)碼和負(fù)循環(huán)碼的結(jié)構(gòu)；文獻(xiàn)［6］研究了GR（2a，m）上長為2s的負(fù)循環(huán)碼的結(jié)構(gòu)，并確定了這些負(fù)循環(huán)碼的漢明距離；文獻(xiàn)［7］研究了F2＋uF2＋u2F2上線性碼及其Gray像；近年來重根循環(huán)碼得到廣泛的研究，文獻(xiàn)［8－9］研究了Fp［u］／〈um〉及上一類任意長的常循環(huán)碼，文獻(xiàn)［10］研究了Z2a上偶長的對(duì)偶和自對(duì)偶負(fù)循環(huán)碼。

本文研究了環(huán)R＝Fpm＋uFpm＋…＋uk－1

上任意長的（1＋uβ）－常循環(huán)碼，得到R的Galois擴(kuò)環(huán)上的長為ps的（1＋uβ）－常循環(huán)碼的結(jié)構(gòu)，并用這些碼來構(gòu)造R上長為N＝psn的（1＋uβ）－常循環(huán)碼，其中（n，p）＝1；確定了R上給定長的不同的（1＋uβ）－常循環(huán)碼的個(gè)數(shù)和這樣的碼所含碼字的個(gè)數(shù)；得到了環(huán)R上的（1＋uβ）－常循環(huán)對(duì)偶碼的結(jié)構(gòu)。

1 基本概念

設(shè)R＝Fpm＋uFpm＋…＋uk－1，其中uk＝0。R是局部環(huán)，其極大理想為〈u〉，剩余域?yàn)?。設(shè)q＝pm，N＝psn，其中（n，p）＝1。環(huán)R上長為N的碼C是RN的一個(gè)R－子模，定義循環(huán)置換σ：RN→RN為：（c0，c1，…，cN－1）→ （cN－1，c0，…，cN－2）。對(duì)環(huán)R中任一可逆元λ，定義λ－常循環(huán)置 換σλ：RN→RN為：（c0，c1，…，cN－1）→（λcN－1，c0，…，cN－2）。如果C為R上的碼，滿足σ（C）＝C，則稱碼C為循環(huán)碼。如果σλ（C）＝C，則稱碼C為λ－常循環(huán)碼。對(duì)于任意c＝（c0，c1，…，cN－1）∈C，設(shè)c（x）＝c0＋c1x＋…＋cN－1x（N－1）為其在環(huán)R［x］／〈xN－λ〉中的多項(xiàng)式表示，則C是環(huán)R上的λ－常循環(huán)碼等價(jià)于C（x）是環(huán)R［x］／〈xN－λ〉的理想。

設(shè)為f（x）∈R［x］模u化簡后的多項(xiàng)式。若在［x］中不可約，則稱f（x）在R［x］中基本不可約。設(shè)R的 Galois擴(kuò)環(huán)為GR（R，r）＝R［x］／〈h（x）〉，其中h（x）是R［x］中次數(shù)為r的首一基本不可約多項(xiàng)式。則GR（R，r）是局部環(huán)，其極大理想為〈u〉，剩余域?yàn)椤ＴO(shè)I是模n的q－分圓陪集的代表組成的集合，r是q模n的階，ξ是中的n次本原單位根。由Hensel引理知GR（R，r）也包含一個(gè)n次本原單位根ξ。設(shè)u＝（u0，u1，…，uN－1），v＝（v0，v1，…，vN－1）∈RN。定義u和v的內(nèi)積為：

如果u·v＝0，則稱u和v正交。設(shè)C是R上長為N的線性碼，定義C⊥＝｛u｜u·v＝0，?v∈C｝。如果C?C⊥，則稱C是自正交的。如果C＝C⊥，則稱C是自對(duì)偶碼。

定義1 設(shè)I是R［x］／〈xN－λ〉的理想，定義A（I）＝｛g（x）｜g（x）f（x）＝0，?f（x）∈I｝為I的零化子，則A（I）也是R［x］／〈xN－λ〉的理想。

定義2 設(shè)f（x）＝a0＋a1x＋…＋arxr∈R［x］／〈xN－λ〉，則f＊（x）＝xrf（x－1）＝ar＋ar－1x＋…＋a0xr稱為f（x）的互反多項(xiàng)式。

2 主要結(jié)果

2.1 （1＋uβ）－常循環(huán)碼

下面研究R上長為N＝psn的（1＋uβ）－常循環(huán)碼，其中（n，p）＝1，β為R中單位（即β＝β0＋uβ1＋…＋uk－1βk－1，其中β0為Fpm中非零元，βi∈Fpm，1≤i≤k－1）。記RN＝R［x］／〈xN－（1＋uβ）〉。定義μ：RN→Fpm［x］／〈xN－1〉為：?f（x）∈RN，μ（f（x））＝f（x）（modu），則μ是 環(huán) 同 態(tài)。 記R（v，r）＝GR（R，r）［v］／〈－（1＋uβ）〉。類似于文獻(xiàn)［8］中引理3.1的證明可得下面引理。

引理1 在R（v，r）中，v－1是冪零的，且冪零指數(shù)為psk。

定理1 環(huán)R（v，r）是有限鏈環(huán)，其極大理想為〈v－1〉，剩余域?yàn)椤（v，r）的理想為〈（v－1）i〉，其中0≤i≤psk。

由引理1知u＝（v－1）ps β－1，因 此 存 在g（v）∈R（v，r），使得f（v）＝a00＋（v－1）g（v）。

如果a00＝0，則由（v－1）冪零可得f（v）＝（v－1）g（v）是冪零的。

如果a00≠0，a00是Fqr的單位，則f（v）＝a00＋（v－1）g（v）。設(shè)h（v）＝（v－1）g（v），t＝psk，則1＝1＋ht（v）＝（1＋h（v））（1－h(huán)（v）＋h2（v）－…＋ht－1（v）），因此f（v）可逆。故f（v）不是可逆的當(dāng)且僅當(dāng)a00＝0。此時(shí)有f（v）∈〈v－1〉，因此R（v，r）是局部環(huán)，其極大理想為〈v－1〉。則R（v，r）是有限鏈環(huán)，其極大理想為〈v－1〉，剩余域?yàn)?，且R（v，r）的 理 想 為 〈（v－1）i〉，其中0≤i≤psk。

推論1 設(shè)C是GR（R，r）上長為ps的（1＋uβ）－常循環(huán)碼，則C＝〈（v－1）i〉?R（v，r），其中0≤i≤psk，且C中碼字個(gè)數(shù)為：

證明 因?yàn)镚R（R，r）上長為ps的（1＋uβ）－常循環(huán)碼恰好是R（v，r）的理想，故第1部分成立。又因?yàn)镽（v，r）是有限鏈環(huán)，其剩余域?yàn)镕qr，故第2部分成立。

由于R（v，1）＝R［v］／〈－（1＋uβ）〉，則對(duì)?a∈R（v，1），有a＝a0＋a1x＋…＋，其中ai∈R。設(shè)?c∈Rn（v，1），則c＝＋），其中∈R，0≤i≤ps－1，0≤j≤n－1。定義映射φ：R（v，1）n→RN為：φ（c）＝（，…易知φ是環(huán)同構(gòu)映射。

下面一些定理的證明過程類似于文獻(xiàn)［8］中相應(yīng)定理的證明，在這里省略不證。

定理2 碼C是R（v，1）上長為n的x－常循環(huán)碼充要條件為φ（C）是R長為N的（1＋uβ）－常循環(huán)碼。即I是R（v，1）［z］／〈zn－x〉的理想?φ（I）是R［x］／〈xN－（1＋uβ）〉的理想。

對(duì)?b∈GR（R，r），則b＝ξ0＋uξ1＋…＋uk－1ξk－1，其中ξi∈Fqr。

定義GR（R，r）上的Frobenius環(huán)自同構(gòu)σf為σf（b）＝＋＋…＋uk－1，且可擴(kuò)展為R（v，ri）上的Frobenius環(huán)自同構(gòu)。對(duì)任意c∈RN，則有＾ci∈R（v，ri）和＾cqi＝σf（＾ci），其中下標(biāo)為模n后的值。

設(shè)~c＝ ｛（＾c0，＾c1，…，＾cn－1）∈R（v，r）n｜＾ci∈R（v，ri），＾cqi＝σf（＾ci）｝，則在向量分量加法與分量積運(yùn)算下~c是環(huán)。并且（v，ri）。

定理3 設(shè)N＝psn，其中（n，p）＝1，則γ：RN→R（v，ri）：γ（c（x））＝（＾ci）i∈I，是環(huán)同構(gòu)。特別地，如果C是R上長為N的（1＋uβ）－常循環(huán)碼，則CCi，其中Ci是R（v，ri）中的理想｛c（vn′ξi）｜c(diǎn)（x）∈C｝。

推論2 環(huán)R上長為N的不同的（1＋uβ）－常循環(huán)碼的個(gè)數(shù)為（psk＋1）t，其中t為模n的q－分圓陪集的個(gè)數(shù)。

引理3 設(shè)n′是滿足nn′≡1（modps＋e）的正整數(shù)，其中e是使pe≥m成立的最小正整數(shù)；設(shè)fh是ξh在R［x］中的極小多項(xiàng)式，cq（h，n）是包含h的模n的q－分圓陪集；則有：

（1）如果i?cq（h，n），則fh（vn′ξi）是R（v，ri）的單位。

（2）fh（vn′ξh）∈〈v－1〉，且fh（vn′ξh）?〈（v－1）2〉。

證明 由定理3知CCi，其中Ci是R（v，ri）中的理 想 ｛c（vn′ξi）｜c(diǎn)（x）∈C｝。當(dāng) 0≤ki≤psk時(shí)，對(duì)于滿足Ci＝〈（v－1）ki〉的i，定義fi（x）為ξi的極小多項(xiàng)式。則其中fi（x）是［x］中兩兩互素的首一不可約多項(xiàng)式。由fi（x）的選取知，因此對(duì)于c（x）∈C，存在g（x）∈RN，使

2.2 （1＋uβ）－常循環(huán)對(duì)偶碼

設(shè)β′＝1＋u（－β＋uβ2＋…＋（－1）k－1×uk－2βk－1），則β′為R中 可 逆 元 且 （1＋uβ）（1＋uβ′）＝1。因此（1＋uβ）－1＝（1＋uβ′）。設(shè)R′N＝R［x］／〈xN－ （1＋uβ′）〉，定 義 映 射η：RN→R′N為：f（x）→f＊（x），易知其為環(huán)同構(gòu)。因此只要將前面的fi（x）替換成（x）即可得到R′N中相應(yīng)的結(jié)論。

定理5 設(shè)C是RN的理想，則C＊＝｛f＊（x）｜?f（x）∈C｝是R′N的理想。

證明 設(shè)λ＝1＋uβ，則λ－1＝1＋uβ′。

〉的理想。

定理6 設(shè)a（x）＝a0＋a1x＋…＋aN－1xN－1，b（x）＝b0＋b1x＋…＋bN－1xN－1∈RN，a＝（a0，a1，…，aN－1），b′＝（bN－1，bN－2，…，b0），則在RN中，a（x）b（x）＝0?a·（b′）＝0，其中1≤j≤N。

證明 考慮a（x）b（x）中xh的系數(shù)，則

故a（x）b（x）＝0?a·（b′）＝0，其中1≤j≤N。

定理7 設(shè)C是R上長為N的λ－常循環(huán)碼，則C⊥＝A（C）＊是R′N的理想。

證明 由定理5和定理6知此定理成立。

定理9 設(shè)CCi是R上長為N的（1＋uβ）－常循環(huán)碼，Di′＝C⊥i，其中i′為包含n－i的分圓陪集的代表元，Ci為R（v，ri）的理想，則C⊥＝Di?R′N。

3 結(jié)束語

本文主要得到了環(huán)Fpm＋uFpm＋…＋uk－1Fpm上任意長的（1＋uβ）－常循環(huán)碼的結(jié)構(gòu)，確定了此環(huán)上給定長的不同的（1＋uβ）－常循環(huán)碼的個(gè)數(shù)及這樣的碼所含碼字的個(gè)數(shù)，研究了環(huán)R上的（1＋uβ）－常循環(huán)對(duì)偶碼的結(jié)構(gòu)。

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A class of constacyclic codes over ring＋＋…＋

LI Yan， ZHU Shi－xin
（School of Mathematics，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China）

In this paper，（1＋uβ）－constacyclic codes over the ringR＝Fpm＋uFpm＋…＋uk－1Fpmof an arbitrary length is studied.The number of distinct （1＋uβ）－constacyclic codes over the ringRof lengthN＝psnis determined，so is the number of codewords in each such code.The structure of（1＋uβ）－constacyclic dual codes over the ringRis also derived.

constacyclic code；Galois ring；dual code；discrete Fourier transform；annihilator

TN911.22

A

1003－5060（2012）03－0408－04

10.3969／j.issn.1003－5060.2012.03.027

2011－06－07

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（60973125）；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目（20080359003）作者簡介：李 巖（1985－），男，安徽蒙城人，合肥工業(yè)大學(xué)碩士生；

朱士信（1962－），男，安徽樅陽人，博士，合肥工業(yè)大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師.

（責(zé)任編輯 馬國鋒）