一種Contourlet域高斯混合模型降噪方法

褚衍彪

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院，江蘇徐州 221116;棗莊學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東棗莊 277160)

近年來(lái)，人們已經(jīng)意識(shí)到了小波變換不是表示自然圖像的最好選擇，由一維小波通過(guò)張量積形成的二維可分離小波變換只能表示一維點(diǎn)奇異信息，而不能有效地描述圖像中的二維或高維奇異信息，如線、輪廓等重要信息。為了解決小波這一局限性，新的變換理論不斷發(fā)展。2002年DOMN和Vetterlim提出了一種“真正”的二維圖像稀疏表達(dá)方法—Contourlet變換［1，2］，這是一種結(jié)合多分辨率分析和方向性濾波的小波變換，它除了具有一般小波變換的多尺度、時(shí)頻局域性外，還具有多方向性、各向異性等特征，能有效地捕獲到自然圖像中的輪廓，并對(duì)其進(jìn)行稀疏表示。由于Contourlet變換能更好地捕獲圖像的邊緣信息，因此選擇合適的閾值進(jìn)行去噪就能獲得比小波變換更好的效果。DOMN和Vetterlim正是利用這個(gè)原理進(jìn)行圖像去噪的［2］。但是，這些降噪方法只是簡(jiǎn)單地利用通用閾值來(lái)截取信號(hào)，而沒(méi)考慮Contourlet域系數(shù)的分布特點(diǎn)，因此，這些算法不是最優(yōu)的。

本文在平移不變Contourlet的圖像去噪方法［9］的基礎(chǔ)上提出了一種隨像素自適應(yīng)調(diào)整的混合高斯模型(Gaussian Mixture Mode)，通過(guò)對(duì)Contourlet系數(shù)分類，利用鄰域窗口中的分類信息對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，使得模型具有空間自適應(yīng)性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，此方法能獲得更好的視覺(jué)效果和更高的PSNR，尤其是對(duì)那些包含了豐富的細(xì)節(jié)和紋理的圖像。

1 Contourlet變換

Contourlet變換是一種“真”二維圖像稀疏表達(dá)方法，它不僅繼承了小波變換的多分辨率時(shí)頻分析特征，而且具有高度的方向性和各向異性。Contourlet的基函數(shù)有2n(n表示二維定向?yàn)V波器n級(jí)分解)種方向，以及靈活的縱橫比，可以將圖像分解到任意的2n個(gè)方向子帶上，因此Contourlet可以以近似最優(yōu)的效率表示任何一維的平滑邊緣，它能用比小波變換更少的系數(shù)來(lái)表達(dá)光滑的曲線，可以很好地逼近圖像的幾何結(jié)構(gòu)。如圖1所示。

Contourlet變換將尺度分析和方向分析分步進(jìn)行。首先，該變換對(duì)原始圖像進(jìn)行LP(Laplacian Pyramid)分解，生成一路低通子圖像和一路帶通子圖像，其中，帶通子圖像是由原始圖像和預(yù)測(cè)圖像之差，然后利用DFB(Directional Filter Bank)對(duì)生成的帶通圖像進(jìn)行di(di=1，2，…n，i=1，2…p)級(jí)方向分解，將頻域分解成為2di個(gè)楔型(Wedge Shape)子帶。對(duì)前一次LP分解生成的低通采樣信號(hào)可以進(jìn)行進(jìn)一步的LP分解，這個(gè)過(guò)程可以進(jìn)行p(p=1，2…，n)次迭代，并且每層中的方向分解級(jí)數(shù)2dp可以不同，如圖2。變換中，LP變換對(duì)圖像進(jìn)行多尺度分解以“捕獲”點(diǎn)奇異，接著由方向?yàn)V波器組將分布在同方向上的奇異點(diǎn)合成為一個(gè)系數(shù)。因此，Contourlet變換的最終結(jié)果是用類似于線段(Contour Segment)的基結(jié)構(gòu)來(lái)逼近原圖像。圖3給出了Lena圖像經(jīng)過(guò)Contourlet變換后的各個(gè)方向子帶。

2 Contourlet系數(shù)高斯混合模型(Gaussian Mixture Mode)

Chipman等針對(duì)一維信號(hào)，將每個(gè)系數(shù)的概率密度函數(shù)視為兩個(gè)均值為零、方差不同的正態(tài)分布之和，提出了高斯混合模型［3］。設(shè) θ代表某一尺度中的 Contourlet系數(shù)，θ|γ ～ γ·N(0，c2τ2)+(1 － γ)·N(0，τ2)(1).其中γ服從貝努利分布，其先驗(yàn)概率為:P(γ=1)=1－P(γ=0)=p(2)，該模型有三個(gè)參數(shù):P，c，τ它們隨尺度自適應(yīng)變化。對(duì)于二維圖像，設(shè) Y［i，j］=X［i，j］+V［i，j］分別代表觀測(cè)到的含噪圖像、真實(shí)圖像以及噪聲的Contourlet系數(shù)。我們借鑒Chipman的思想，每個(gè)系數(shù)仍建模為兩個(gè)均值為零、方差不同的正態(tài)分布之和，但每個(gè)系數(shù)的參數(shù)卻是自適應(yīng)調(diào)整的。X［i，j］的大、小方差用［i，j］，［i，j］表示，則:X［i，j］～ P［i，j］·N(0，［i，j］)+(1 － P［i，j］)·N(0，［i，j］)(3)，模型中同樣有三個(gè)參數(shù)，其中 P［i，j］代表 X［i，j］為大方差的概率。

3 模型參數(shù)估計(jì)

3.1 Contourlet系數(shù)分類

為了得到隨像素自適應(yīng)調(diào)整的模型參數(shù)，首先將Contourlet系數(shù)進(jìn)行分類。Chang等在子帶自適應(yīng)BayesShrink閾值基礎(chǔ)上，提出了空間自適應(yīng)閾表噪聲方差，可用 Donoho 提出的方法進(jìn)行估計(jì)［9］; σ［i，j］代表當(dāng)前系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，文獻(xiàn)［4］中由 X［i，j］的上下文模型對(duì) σ［i，j］進(jìn)行估計(jì)，計(jì)算復(fù)雜度高。本文利用(4)式的局部貝葉斯閾值對(duì)Contourlet系數(shù)進(jìn)行分類，但對(duì)σ［i，j］的估計(jì)做了簡(jiǎn)化(6)N［i，j］是以當(dāng)前系數(shù) y［i，j］為中心的正方形窗口，|N［i，j］|表示窗口中系數(shù)的個(gè)數(shù)。定義子帶二值掩是系數(shù)依據(jù)其對(duì)應(yīng)的掩模值是1或0被分成兩類。

3.2 參數(shù)估計(jì)

圖像Contourlet子帶內(nèi)系數(shù)具有局部空間聚集性，某系數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性可視為其鄰域系數(shù)的函數(shù)［5，6，7］。X［i，j］的大、小方差以及 P［i，j］均可分別利用鄰域窗口 N［i，j］中已分類的系數(shù)信息進(jìn)行估計(jì)。設(shè) N1［i，j］，N0［i，j］分別是鄰域N［i，j］中掩模值為1，0的系數(shù)所組成的集合。由于掩模值為1的系數(shù)幅度較大，這些大系數(shù)在 N［i，j］中所占的比例顯然是 P［i，j］的一個(gè)簡(jiǎn)單卻有效的估方差［i，j］估計(jì)則僅利用N［i，j］中掩模值為1的大系數(shù):［i，j］=max

模型及參數(shù)確定以后，在高斯白噪聲條件下，根據(jù)貝葉統(tǒng)計(jì)理論的后驗(yàn)均值估計(jì)技術(shù)，從含噪觀測(cè)數(shù)據(jù)Y得到真實(shí)圖像數(shù)估計(jì):

其中H［i，j］相當(dāng)于一種加權(quán)Wiener濾波器。

4 基于平移不變Contourlet域混合高斯模型圖像去噪方法

由于Contourlet變換缺乏平移不變性，因此在應(yīng)用它進(jìn)行去噪時(shí)會(huì)帶來(lái)人為的視覺(jué)效果，為克服這些人為視覺(jué)效果，這里引入了基于循環(huán)平移的平移不變Contourlet去噪算法。

本文在平移不變Contourlet方法的基礎(chǔ)上提出了一種隨像素自適應(yīng)調(diào)整的混合高斯模型去噪方法。

完整的去噪算法描述為:

①初始化。令i=0，j=0，設(shè)定行和列方向上的最大平移量N1和N2。同時(shí)設(shè)定Contourlet變換的中LP分解層數(shù)K和每層中的方向分解數(shù)Lk。②對(duì)輸入的帶噪圖像I在行和列方向上進(jìn)行一定位移量的循環(huán)平移，有Sij=Ci，j(I)(9)其中，i∈(0，N1)和j∈(0，N2)分別為行和列方向上的平移量;③對(duì)平移圖像Sij進(jìn)行 Contourlet稀疏分(10)其中，T(·)為 Contourlet變換。得到一幅低頻子圖像Slf和一系列具有不同分辨率的高頻子圖像，k∈(1，K)和l∈(1，Lk)標(biāo)明子圖像位于第k層LP的第l方向。④對(duì)Contourlet域高頻子圖像按(6)式計(jì)算［i，j］按(5)式計(jì)算σ^［i，j］，按(4)式得到局部貝葉斯閾值T［i，j］;⑤按(7)式求出每個(gè)系數(shù)對(duì)應(yīng)的掩模值，即對(duì)系數(shù)進(jìn)分類;⑥分別按式(8)～(10)對(duì)模型參數(shù)繼續(xù)估計(jì);⑦按(11)式得到真實(shí)圖像系數(shù)的估計(jì)。⑧對(duì)第(7)步得到的所有降噪高頻子圖像和第(3)步中的低頻子圖像Slf實(shí)施Contourlet逆變換，得到在行和列方向上分別平移 i和 j后的降噪圖tourlet逆變換。⑨對(duì)第(8) 步中得到的圖像進(jìn)行相應(yīng)平移量的逆向循環(huán)平移，(13)。⑩重復(fù)步驟(2)～步驟(6)，直到i=N1和j=N2為止，停止重復(fù)。?對(duì)所有的

圖4 不同噪聲水平下的降噪結(jié)果比較Fig.4 The noise redudion resuits comparision under different kinds of noise levels

5 試驗(yàn)結(jié)果與分析

為了檢驗(yàn)算法的正確性和有效性，本文采用尺寸為512×512的標(biāo)準(zhǔn)Lena灰度圖像，對(duì)其分別疊加均值為零、不同強(qiáng)度(σn=20、30、40、50)的高斯白噪音，得到噪音圖像，然后利用本文方法對(duì)它們進(jìn)行降噪處理。為了比較，實(shí)驗(yàn)中還采用平移不變小波去噪(WT－TI)，平移不變Contourlet去噪(CT－TI)和平移不變Contourlet混合高斯模型去噪(CT－TI－GMM)。圖4為在不同噪音水平下，采用不同降噪方法進(jìn)行降噪的結(jié)果。圖中(a)至(d)分別代表σn=20、30、40和50情況下的帶噪圖像和處理結(jié)果，其中每一行的第一至五列分別為平移不變Contourlet去噪(CT－TI)和平移不變Contourlet混合高斯模型去噪(CT－TIGMM)方法的降噪結(jié)果。不難發(fā)現(xiàn)，本文方法較其他幾種降噪方法具有更好地降噪效果。

為了客觀地衡量算法的降噪性能，表1給出了用均方誤差(MSE)及峰值信噪比(PSNR)衡量的性能指標(biāo)，表中的各項(xiàng)指標(biāo)均為20次實(shí)驗(yàn)的平均值。無(wú)論是PSNR刻畫(huà)方面，還是MSE刻畫(huà)方面，本文方法均明顯優(yōu)于平移不變小波去噪(WT－TI)和平移不變Contourlet去噪(CT－TI)。另外，從表中不難發(fā)現(xiàn)，隨著噪聲水平的升高，本方法降噪圖像的指標(biāo)(PSNR和MSE)較另外兩種方法提高幅度不斷增大，表明本文降噪方法的優(yōu)勢(shì)越發(fā)明顯。

表1 不同噪音水平下降噪結(jié)果的評(píng)價(jià)指標(biāo)比較Table 1 The evalution index comparison of the noise reduction results under different kinds of noise levels

6 結(jié)論

本文利用圖像子帶內(nèi)部Contourlet系數(shù)的空間相關(guān)性，在平移不變Contourlet去噪方法的基礎(chǔ)上提出了一種隨像素自適應(yīng)調(diào)整的混合高斯模型去噪方法。該方法通過(guò)對(duì)Contourlet系數(shù)分類，每個(gè)系數(shù)的混合高斯模型參數(shù)可由該系數(shù)鄰域窗口中的分類系數(shù)信息進(jìn)行估計(jì)。與文中提到的幾種方法相比，該方法更好的平滑了噪聲，保持了更多的邊緣和紋理細(xì)節(jié)，視覺(jué)效果也更好。

［1］Do MN.Directional multiresolution image representation［D］.PhD thesis，EPFL，Lausanne，Switzerland，2001

［2］Do MN，Vetterli M.Contourlets:A directional multiresolution image Representation［A］Proc of IEEE International Conference on Image Processing［C］.Rochester，NY:2002.357 －360

［3］CHIPMAN HA，KOLACZYK ED ，MCCULLOCH RE.Adaptive Bayesian Wavelet Shrinkage［J］.Journal of the American Statistics Association，1997，92(12):1413－1421

［4］CHANG SG，YU B，VETTERLI M.Spatially adaptive wavele thresholding with contextmodeling for image denoising［J］.IEEE Transactions on Image Processing，2000，9(9):1522－1531

［5］CROUSEMS，NOWAK RD，BARANIUK RG.Wavelet－based statistical signal processing using hidden Markov models［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1998，46(4):886－902

［6］ MIHCAKK，KOZINTSEVM，RAMCHANDRAN I，etal.Lo complexity image denoising based on statistical modeling of wave coefficients［J］.IEEE Signal Processing Letters，1999，6(12):300－303

［7］CHEN GY，BUITD，KRZYZAK A.Image denoising using neibouringwavelet coefficients［A］.Proceedings of the IEEE Intertional Conference on Acoustics，Speech，and Signal Process(ICASSP)［C］，2004，2:917 －920

［8］Donoho D L.Denoising by Soft Thresholding［J］.IEEE Transactions on Information Theory，1995，41(3):613 －627

［9］Coifman R R，Donoho D L.Translation Incariance Denoising［J］.In Wavelet an Statistics，Springer Lecture Notes in Statistics 103，New York，1994:125－150

［10］劉盛鵬，方勇.基于貝葉斯估計(jì)的Contourlet域圖像降噪方法［J］.計(jì)算機(jī)工程，2007，33(18):31－33