混凝土結(jié)構(gòu)中氯離子擴(kuò)散分析的精細(xì)積分法

楊綠峰,洪 斌,高 欽,曾建聰

(廣西大學(xué)工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點(diǎn)實驗室,廣西南寧 530004)

鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)較長時間暴露于海洋等富含氯離子環(huán)境后,氯離子會侵入混凝土中并逐漸到達(dá)鋼筋表面,造成鋼筋銹蝕,從而影響鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的使用性能和耐久性。由于鋼筋銹蝕的過程并不持續(xù)消耗氯離子,所以分析評估氯離子環(huán)境下鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)耐久性和使用壽命的關(guān)鍵是確定氯離子在混凝土中的分布和擴(kuò)散規(guī)律。吳慶令等[1]通過現(xiàn)場海洋暴露試驗,研究了混凝土中氯離子的擴(kuò)散特性。Collepardi等[2]用Fick第二擴(kuò)散定律描述氯離子在混凝土中的擴(kuò)散過程,得到在一定初始條件和邊界條件下的數(shù)學(xué)解;Liang等[3]考慮了水泥水化物對氯離子擴(kuò)散的影響,并對氯離子擴(kuò)散系數(shù)進(jìn)行了修正;宋子健等[4]研究了溶液成分對混凝土中氯離子擴(kuò)散系數(shù)的影響;彭國軍等[5]考慮骨料形狀,對混凝土氯離子擴(kuò)散系數(shù)進(jìn)行了數(shù)值預(yù)測。余紅發(fā)等[6]提出了考慮多因素擴(kuò)散模型的一維解析解。楊綠峰等[7]研究了混凝土?xí)r變條件下氯離子擴(kuò)散的封閉解。

由于實際的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)通常具有復(fù)雜的幾何形狀和邊界條件,解析方法在應(yīng)用中有較多困難,人們通常采用數(shù)值方法解決此類問題。在Fick第二定律及其數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上,施養(yǎng)杭等[8]提出了氯離子侵入混凝土計算的有限差分法模型;Funahashi[9]也在氯離子擴(kuò)散分析的有限差分法方面進(jìn)行了研究;Sergi等[10]應(yīng)用最小平方法(leastsquares methods)對氯離子在混凝土中的擴(kuò)散規(guī)律進(jìn)行了一維數(shù)值模擬;Han[11]采用有限元法分析氯離子擴(kuò)散問題,并推導(dǎo)出具體計算格式;楊綠峰等[12]研究建立了氯離子擴(kuò)散分析的邊界元法。但是上述氯離子擴(kuò)散分析的有限元法普遍存在兩個問題,其一是忽視了基于半無限大擴(kuò)散場的Fick第二定理及其邊界條件對數(shù)值分析模型的影響,并造成計算誤差;其二是在用有限元求解氯離子擴(kuò)散微分方程時,通常采用顯式的中央差分法或隱式的Newmark法、Wilson-θ法等,但計算結(jié)果的穩(wěn)定性和計算精度時常不盡如人意。時域精細(xì)積分方法[13]可以將時域積分轉(zhuǎn)換為矩陣相乘,能夠取得非常高的計算精度;文獻(xiàn)[14]利用三次樣條插值函數(shù)模擬積分項中的被積函數(shù),建立了求解非齊次動力方程特解的一種精細(xì)數(shù)值積分法。

由于氯離子侵入混凝土并發(fā)生擴(kuò)散的過程非常緩慢,直接利用精細(xì)數(shù)值積分格式有時會帶來明顯的誤差。本文利用誤差函數(shù)建立了混凝土中氯離子擴(kuò)散場的補(bǔ)償長度和補(bǔ)償系數(shù),保證了有限元法在該類問題中的計算精度和計算效率;同時,在一致分布矩陣的基礎(chǔ)上建立了集中分布矩陣,驗證了集中分布矩陣具有更好的計算精度。在此基礎(chǔ)上利用精細(xì)積分技術(shù)研究建立了混凝土中氯離子擴(kuò)散分析的精細(xì)積分有限元法,克服了普通有限元法分析氯離子擴(kuò)散時存在的問題。

1 氯離子一維擴(kuò)散的有限元方程

氯離子在混凝土中的擴(kuò)散過程可以用Fick第二定律來描述:

其邊界條件和初始條件分別為

式中:D為混凝土中氯離子擴(kuò)散系數(shù);t為混凝土持續(xù)暴露于氯離子環(huán)境中的時間;C=C(x,t)表示t時刻混凝土試件內(nèi)深度為x處氯離子濃度;C0為初始氯離子濃度;Cs為混凝土構(gòu)件表面氯離子濃度。根據(jù)變分原理可知,上述控制方程是泛函的變分極值條件。

將擴(kuò)散場沿 x方向離散為N個單元,可以建立典型單元(圖1)上t時刻的濃度分布函數(shù):式中:N為形函數(shù)矩陣;C為單元節(jié)點(diǎn)濃度參數(shù)列陣 ,且有 :

圖1 擴(kuò)散單元

C=(C1,C2)TN=(N1,N2)

式中:C1,C2分別為結(jié)點(diǎn)1和2上的氯離子濃度;Ni為插值函數(shù) ,其中 N1=1-,N2=(=x/le為無量綱化單元局部坐標(biāo),le為單元長度)。

將式(4)代入式(3),可得單元泛函:式中:Ωe表示單元域;﹒C為C對時間t的一階導(dǎo)數(shù);N′為N對坐標(biāo)x的一階導(dǎo)數(shù)。

根據(jù)變分原理 δ Π=0可得混凝土中氯離子擴(kuò)散分析的有限元方程:

其中

式中:M為氯離子分布矩陣;K為氯離子擴(kuò)散矩陣。

當(dāng)單元沿著與擴(kuò)散方向相正交的另一個方向的尺寸取為單位值時,可求得式(7)為

2 一致分布矩陣和集中分布矩陣

計算式(7)中分布矩陣M所用到的形函數(shù)與計算擴(kuò)散矩陣K所用到的形函數(shù)一樣時,稱 M為一致分布矩陣。由于求解方程(6)時采用一致分布矩陣M有時會導(dǎo)致計算結(jié)果不穩(wěn)定,這里嘗試通過近似數(shù)值積分方法重新計算氯離子分布矩陣M。

考慮數(shù)值積分近似計算的梯形公式:式中:l為積分域的長度;k為積分點(diǎn),取積分域的兩個端點(diǎn);Fk(Ni,Nj)為被積函數(shù)F(Ni,Nj)在積分點(diǎn)k上的值,結(jié)合式(7)可以定義被積函數(shù):

根據(jù)形函數(shù)的性質(zhì)可以求得分布矩陣:

式(12)中只有對角元素不為零,且等于式(9)中相應(yīng)行的全部元素的疊加。稱式(12)的分布矩陣為集中分布矩陣。

按照普通有限元法標(biāo)準(zhǔn)步驟,可以將單元分布矩陣和單元擴(kuò)散矩陣集成為總體分布矩陣和總體擴(kuò)散矩陣,相應(yīng)地可將單元擴(kuò)散方程集成為總體擴(kuò)散方程。以下第3節(jié)、第4節(jié)的計算格式都是針對混凝土中氯離子擴(kuò)散分析的總體有限元方程。

3 精細(xì)積分法

由于集中分布矩陣 M存在逆矩陣,所以由式(6)集成的總體有限元方程可以改寫為式中A為定常矩陣,且A=-M-1K。

按照微分方程求解理論,齊次方程(6)的通解為

式中eAt為矩陣At的指數(shù)函數(shù)。當(dāng)將時間域[t0,ta]離散為p個等步長的子域,則時間步長Δt和時間域內(nèi)的第i個離散結(jié)點(diǎn)分別為

與之相對應(yīng),在ti時刻,結(jié)點(diǎn)氯離子濃度向量表示為 Ci,且有:

式中指數(shù)矩陣 T=eAΔt。

根據(jù)矩陣加法定理有:

其中m為正整數(shù),可選擇m=2N,N為正整數(shù),因此m通常是非常大的正整數(shù)。由于Δt是有限大的時間步長,則τ=Δt/m通常非常小。由此可得:

式中I為單元矩陣。

將式(18)代入式(17),有:

將上述分解計算過程重復(fù)進(jìn)行至第 n次時,有:

其中

由此可以看出,當(dāng) T0確定后,可以按照迭代計算公式(21)求出 Tn,當(dāng) n=N時,代入式(20)求得指數(shù)矩陣T,從而避免在計算過程中發(fā)生大數(shù)吃小數(shù)的情況;進(jìn)而根據(jù)迭代計算公式(16),可以求解時間域上各個離散結(jié)點(diǎn)的氯離子濃度參數(shù)列陣Ci。

以上迭代求解方程的過程將時程積分問題轉(zhuǎn)化為矩陣相乘問題,簡化了計算,稱之為混凝土中氯離子擴(kuò)散分析的精細(xì)積分有限元法。

4 混凝土中氯離子擴(kuò)散場的補(bǔ)償長度

式(1)的解析解為

式中erf(s)為誤差函數(shù),且:

由于Fick第二定理所導(dǎo)出的解析模型,要求遠(yuǎn)端邊界取在無窮遠(yuǎn)處,并滿足遠(yuǎn)端邊界條件C(x=+∞)=C0,如式(2)所示。但有限元、邊界元等數(shù)值方法所建立的計算模型通常要求求解域為有限大,遠(yuǎn)端邊界不可能取在無窮遠(yuǎn)處,因此對于氯離子一維擴(kuò)散分析的有限元、邊界元等數(shù)值方法[12],需要定義氯離子擴(kuò)散場的補(bǔ)償長度L,如圖2所示,以此確定遠(yuǎn)端邊界的位置,并保證遠(yuǎn)端邊界條件C(x=L)=C0仍然能夠得到滿足。

圖2 混凝土試件長度及補(bǔ)償長度

將式(23)的誤差函數(shù)用圖表示,見圖3。假定遠(yuǎn)端邊界位于x=y=L處,如圖2中虛線所示,它能夠保證擴(kuò)散方程的遠(yuǎn)端邊界條件成立,由式(24)

圖3 誤差函數(shù)y=erf(s)

可得

根據(jù)式(25)可得

式中,k=2erf-1(1),即有:

式(23)定義的誤差函數(shù)如圖3所示,可以看出,當(dāng)1.5≤s≤2時誤差函數(shù)接近于1。因此,通過比較式(23)和式(27),容易看出式(27)成立時必然要求3≤k≤4。這里,k稱為混凝土的氯離子擴(kuò)散長度補(bǔ)償系數(shù),簡稱為補(bǔ)償系數(shù)。通常情況下建議取k=3.5。

根據(jù)式(26)可以確定計算擴(kuò)散場的補(bǔ)償長度L,從而能夠保證遠(yuǎn)端邊界條件的成立。補(bǔ)償長度L表示了混凝土的氯離子擴(kuò)散問題中,正確計算混凝土內(nèi)部各點(diǎn)的氯離子濃度所需的擴(kuò)散場的最小長度,如圖2所示。圖2實線 ABCD表示試件的實際邊界,如果試件的實際長度 l≥L,則按照試件的實際長度建立有限元計算模型。反之,L≥l,那么在建立有限元法等數(shù)值方法的計算模型時,需要將圖2所示的混凝土試件的遠(yuǎn)端邊界BC虛擬地移動至虛線B′C′處,從而在保證遠(yuǎn)端邊界條件仍能成立的同時,方便有限元等數(shù)值方法計算模型的建立。

5 算例分析

算例1混凝土試件的尺寸為200mm,混凝土表面的氯離子濃度(氯離子與混凝土的質(zhì)量百分比,下同)Cs=1.0%,初始氯離子濃度C0=0,氯離子擴(kuò)散系數(shù)D=31.536mm2/a。分別采用基于集中分布矩陣的精細(xì)積分有限元法(LCM)和基于協(xié)調(diào)分布矩陣的精細(xì)積分有限元法(CCM)計算擴(kuò)散時間分別為50a和80a時試件不同深度的氯離子濃度值,并將計算結(jié)果和封閉解(CFS)相比較。圖4給出了擴(kuò)散時間50a時的LCM,CCM和CFS的結(jié)果。

圖4 擴(kuò)散50a時氯離子濃度分布

從圖4可以看出,LCM和CCM的結(jié)果都與CFS比較接近,能夠給出正確的氯離子濃度分布規(guī)律,其中LCM的結(jié)果更為準(zhǔn)確。為了便于比較LCM和CCM,這里通過和CFS比較計算兩種方法的誤差,見圖5,可以看出,LCM的計算結(jié)果精度優(yōu)于CCM。

圖5 LCM和CCM的相對誤差比較

算例2制作一批混凝土試件,尺寸為150mm×150mm×200mm,養(yǎng)護(hù)28d后將5個面用環(huán)氧樹脂封閉,只留下1個150mm×150mm的面暴露于海水中,混凝土的氯離子擴(kuò)散系數(shù)D=9.252×10-12m2/s=291.77mm2/a,試件中氯離子初始濃度C0=0,試件表面氯離子濃度Cs=0.565%,利用精細(xì)積分有限元法(PIFEM)計算暴露時間分別為50a和80a時試件內(nèi)部的氯離子分布濃度,并與封閉解進(jìn)行比較。在精細(xì)積分有限元法的計算模型中,取時間步長Δt=0.1a。

首先按照試件實際長度建立精細(xì)積分有限元法離散模型,計算試件暴露50 a和80a時的氯離子濃度分布,并將計算結(jié)果與CFS相比較,如圖6(a)所示,可以看出此時PIFEM計算結(jié)果與CFS之間的誤差相當(dāng)大。

圖6 算例2計算結(jié)果

按照本文提出的擴(kuò)散場補(bǔ)償長度公式(26)確定有限元法離散模型(圖2),并重新利用PIFEM計算。當(dāng)暴露時間分別取50a和80a時,根據(jù)式(26),可以求得擴(kuò)散場補(bǔ)償長度分別為544mm和688mm,二者都大于試件的實際長度,所以應(yīng)根據(jù)擴(kuò)散場補(bǔ)償長度建立有限元離散模型。將計算結(jié)果同CFS相比較,如圖6(b)所示,可以看出,按照本文提出的擴(kuò)散場補(bǔ)償長度理論建立有限元法計算模型,計算結(jié)果和封閉解吻合很好,能夠取得很高的計算精度。

6 結(jié) 論

a.基于混凝土中氯離子擴(kuò)散場的補(bǔ)償長度及其表達(dá)式,建立了有限元法離散模型,克服了傳統(tǒng)數(shù)值方法離散模型中半無限大假設(shè)導(dǎo)致的計算誤差,從而保證計算結(jié)果的正確性。

b.將一致分布矩陣轉(zhuǎn)換為集中分布矩陣,并與精細(xì)積分技術(shù)相結(jié)合,研究了混凝土中氯離子擴(kuò)散分析的有限元法控制方程的求解方法,不僅保證了計算結(jié)果的穩(wěn)定性,而且能夠取得很好的計算精度。

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