球面艙壁的彈性穩(wěn)定性分析

黃 旎，夏 飛，胡剛義，錢 群，肖 偉

(中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心，湖北 武漢 430064)

球面艙壁的彈性穩(wěn)定性分析

黃 旎，夏 飛，胡剛義，錢 群，肖 偉

(中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心，湖北 武漢 430064)

基于靜力法求解結(jié)構(gòu)臨界荷載的基本原理，導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)殼在均勻外壓下彈性穩(wěn)定性問(wèn)題的一階控制微分方程組。借助齊次擴(kuò)容技術(shù)和精細(xì)積分法，采用Riccati傳遞矩陣法對(duì)均勻外壓下球面艙壁的彈性穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值求解。同時(shí)分析了各個(gè)參數(shù)(球殼半徑、球殼厚度、環(huán)殼半徑、環(huán)殼厚度和錐殼半錐角)對(duì)球面艙壁臨界壓力的影響。計(jì)算結(jié)果表明，各個(gè)參數(shù)中僅球殼半徑和球殼厚度對(duì)結(jié)構(gòu)的臨界壓力和失穩(wěn)波數(shù)起決定性作用。

球面艙壁;傳遞矩陣法;穩(wěn)定性

0 引言

球殼由于其優(yōu)越的承壓能力，被廣泛運(yùn)用于壓力容器的端部結(jié)構(gòu)。然而，球殼在外壓作用下容易喪失穩(wěn)定性而發(fā)生屈曲。因此，穩(wěn)定性是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)者必須考慮的因素之一。

球面艙壁在外壓下彈性失穩(wěn)問(wèn)題的研究，可以追溯到20世紀(jì)初。Zolly以扁殼理論為基礎(chǔ)，求出了球殼在外壓作用下的臨界壓力，即所熟知的球殼經(jīng)典理論臨界壓力［1］。文獻(xiàn)［2］則從一般旋轉(zhuǎn)殼的理論出發(fā)，采用李茲法求解了軸對(duì)稱變形厚球殼的線性屈曲問(wèn)題。Len Colgan等人同樣摒棄了扁殼理論的簡(jiǎn)化假設(shè)，采用攝動(dòng)法分析了軸對(duì)稱變形深球殼的線性穩(wěn)定性問(wèn)題［3］。然而，不管是從一般的殼體理論出發(fā)，還是以扁殼理論為基礎(chǔ)，研究的僅僅是單一的球殼結(jié)構(gòu)。但是在耐壓容器的端部結(jié)構(gòu)中，球殼與主耐壓體往往采用環(huán)殼過(guò)渡以降低接合的應(yīng)力。因此，球面艙壁包括球殼扇形段和平滑連接的環(huán)殼嵌入件。

本文以與錐殼相連的球面艙壁為研究對(duì)象，從基于變形后的平衡微分方程出發(fā)，結(jié)合結(jié)構(gòu)的幾何方程和物理方程，建立關(guān)于各個(gè)位移和內(nèi)力分量為未知狀態(tài)向量的一階偏微分方程組。對(duì)于未知狀態(tài)向量，在周向利用三角函數(shù)展開(kāi)分離后，結(jié)構(gòu)的一階偏微分方程組轉(zhuǎn)化為一階常微分方程組，建立起結(jié)構(gòu)各個(gè)殼段的傳遞矩陣，然后利用齊次擴(kuò)容和細(xì)積分技術(shù)對(duì)微分方程組進(jìn)行數(shù)值求解，計(jì)算結(jié)構(gòu)的臨界壓力值。計(jì)算中研究了球殼半徑和厚度、環(huán)殼半徑和厚度、錐殼半錐角對(duì)結(jié)構(gòu)臨界壓力的影響，可為球面艙壁的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性設(shè)計(jì)提供參考。

1 旋轉(zhuǎn)薄殼的基本方程

旋轉(zhuǎn)殼上任一點(diǎn)坐標(biāo)可用曲率坐標(biāo)(s，θ)表示，s為經(jīng)向方向的弧長(zhǎng)，θ為圓周方向角度，相應(yīng)的主曲率半徑分別為R1和R2，則拉梅系數(shù)分別為A=1，B=r，如圖1所示。

圖1 旋轉(zhuǎn)殼微元體Fig.1 The element revolutionary shell

設(shè)u，v，w分別為e1，e2和法向 en方向的位移分量。對(duì)于彈性薄殼，在曲率坐標(biāo)系下，表征殼體中曲面的各個(gè)應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系可表示為：

式中：ε1，ε2為中面沿e1，e2方向的薄膜應(yīng)變分量;ε12為中面的面內(nèi)剪應(yīng)變;k1，k2和k12為彎曲應(yīng)變分量。

在線彈性分析中，采用勒夫簡(jiǎn)化的物理模型，即結(jié)構(gòu)的各個(gè)內(nèi)力與應(yīng)變的關(guān)系式為：

式中：T1，T2和T12為薄膜內(nèi)力分量;M1，M2和M12為彎曲內(nèi)力分量。

則微元體的平衡方程組為

2 穩(wěn)定性一階微分方程的建立和傳遞矩陣的推導(dǎo)

研究薄殼穩(wěn)定性問(wèn)題的手段主要有靜力法和能量法兩大類。筆者采用靜力法來(lái)研究球面艙壁的彈性穩(wěn)定性問(wèn)題。為計(jì)算結(jié)構(gòu)的臨界壓力值，假設(shè)結(jié)構(gòu)有2種不同的平衡狀態(tài)。假設(shè)在失穩(wěn)之前，整個(gè)結(jié)構(gòu)在薄膜應(yīng)力狀態(tài)下保持穩(wěn)定平衡，為狀態(tài)Ⅰ;在微小的擾動(dòng)荷載下結(jié)構(gòu)隨即失去薄膜應(yīng)力狀態(tài)下的平衡，重新建立起微小彎扭變形狀態(tài)下的平衡，為狀態(tài)Ⅱ。為研究狀態(tài)Ⅱ的靜力平衡是否穩(wěn)定，平衡微分方程需建立在新的變形狀態(tài)Ⅱ之下，即為上節(jié)的方程組(3)的各個(gè)展開(kāi)式。由于狀態(tài)Ⅱ是非常接近狀態(tài)Ⅰ的平衡狀態(tài)，因此狀態(tài)Ⅱ下的各個(gè)內(nèi)力TⅡ、內(nèi)力矩MⅡ和位移UⅡ則可表示為狀態(tài)Ⅰ下的內(nèi)力TⅠ、內(nèi)力矩MⅠ和位移UⅠ與相應(yīng)的增量T，M，U的和，即

對(duì)向量{Ust}沿周向以三角函數(shù)分離變量［5］后，上式可改寫(xiě)為

式中：{Ust}m={um，vm，wm，T1m，F(xiàn)vm，F(xiàn)wm，M1m}，um，vm，wm，T1m，F(xiàn)vm，F(xiàn)wm，M1m為只與s有關(guān)的狀態(tài)函數(shù)。為求出臨界荷載值，假設(shè)給結(jié)構(gòu)加一非常微小的撓動(dòng)荷載。在該荷載作用下，分析狀態(tài)向量{Ust}m的某一狀態(tài)分量如法向位移wm。當(dāng)該分量在壓力P為P0時(shí)，w突然增大或減小，則P0為結(jié)構(gòu)的臨界荷載值。因此，式(4)將改寫(xiě)為

式(5)中的[A]m即為結(jié)構(gòu)的傳遞矩陣，{P}為結(jié)構(gòu)的微撓動(dòng)荷載向量。球面艙壁是一種組合殼形式，將各個(gè)殼段的幾何特性代入[A]m中，可得到球殼、環(huán)殼和錐殼的傳遞矩陣的具體表達(dá)形式，同時(shí)在各個(gè)殼段的連接處用點(diǎn)傳遞矩陣傳遞，并用齊次擴(kuò)容精細(xì)積分技術(shù)對(duì)式(5)進(jìn)行求解［6］。

3 算例分析和參數(shù)研究

3.1 算例分析

左端固支的與錐殼相連的球面艙壁結(jié)構(gòu)示意圖見(jiàn)圖2。圖中 R=1 000 mm，r=270 mm，L=781 mm，t=t1=7 mm，t2=10 mm，θ=82°。材料彈性模量E=2.0×105MPa，泊松比μ=0.3。

根據(jù)以上所述的傳遞矩陣法基本原理，采用Matlab編制與錐殼相連接的端部球面艙壁的穩(wěn)定性計(jì)算程序。通過(guò)計(jì)算，結(jié)構(gòu)的最小失穩(wěn)臨界壓力Pcr=12.212 MPa，對(duì)應(yīng)的環(huán)向失穩(wěn)波數(shù)為14。最小臨界壓力下結(jié)構(gòu)歸一化后的法向位移沿母線方向弧長(zhǎng)的形狀如圖3所示。

由圖中可以看出，結(jié)構(gòu)在球殼部分上失穩(wěn)，因此可采用球殼經(jīng)典理論臨界壓力計(jì)算公式進(jìn)行驗(yàn)證。本算例中球殼部分的經(jīng)典理論臨界壓力為11.86 MPa，二者誤差為2.9%。為了進(jìn)一步驗(yàn)證失穩(wěn)波數(shù)的正確性，筆者采用Abaqus有限元軟件對(duì)結(jié)構(gòu)的彈性穩(wěn)定性進(jìn)行分析，對(duì)比結(jié)果如表1所示。從表中可以看到，2種方法計(jì)算得出的環(huán)向失穩(wěn)波數(shù)相同，失穩(wěn)臨界壓力值十分接近，相對(duì)誤差不超過(guò)3%。

表1 失穩(wěn)臨界壓力對(duì)比Tab.1 The comparison of the critical load

3.2 參數(shù)研究

在3.1節(jié)中基本結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，保持其他結(jié)構(gòu)參數(shù)不變，只改變某個(gè)參數(shù)的大小，計(jì)算該參數(shù)在各個(gè)數(shù)值下結(jié)構(gòu)的臨界壓力。本文研究了球殼半徑、球殼厚度、環(huán)殼半徑、環(huán)殼厚度和錐殼半錐角對(duì)結(jié)構(gòu)臨界壓力的影響，各個(gè)參數(shù)數(shù)值的改變?nèi)绫?所示。

表2 各個(gè)參數(shù)數(shù)值Tab.2 The value of a series of parameters

計(jì)算結(jié)果表明：結(jié)構(gòu)首先在球殼上失穩(wěn)，這說(shuō)明球殼是整個(gè)結(jié)構(gòu)中的薄弱部分;隨著球殼半徑R的增大，結(jié)構(gòu)的最小臨界壓力Pcr隨之減小，同時(shí)最小臨界壓力對(duì)應(yīng)的失穩(wěn)波數(shù)mcr也隨之變小，如圖4和表3所示;隨著球殼厚度t的增加，結(jié)構(gòu)的最小臨界壓力隨之增大，對(duì)應(yīng)的失穩(wěn)波數(shù)mcr反而隨之變小，如圖5和表4所示;隨著環(huán)殼厚度t1、環(huán)殼半徑r和錐殼半錐角(π/2－θ)的增大，結(jié)構(gòu)的最小臨界壓力有所增加，但增加的幅度很小，如圖6～圖8所示，且最小臨界壓力對(duì)應(yīng)的失穩(wěn)波數(shù)都不變，即mcr=14。

表3 不同球殼半徑下的最小臨界壓力Pcr和失穩(wěn)波數(shù)mcrTab.3 The minimum critical load Pcrand the buckling wave number mcrwith a series of radii of sphere shells

表4 不同球殼厚度下的最小臨界壓力Pcr和失穩(wěn)波數(shù)mcrTab.4 The minimum critical load Pcrand the buckling wave number mcrwith a series of thicknesses of spherel shells

圖8 不同錐殼半錐角下的最小臨界壓力Fig.8 The minimum critical load with a series of slopes of the cone shell

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)以上分析，對(duì)于與錐殼相連接的球面艙壁結(jié)構(gòu)，可以得到以下結(jié)論：

1)采用傳遞矩陣法計(jì)算該結(jié)構(gòu)的彈性穩(wěn)定性問(wèn)題是可行的，且具有很高的精度。

2)在各個(gè)參數(shù)中，球殼半徑及其厚度對(duì)結(jié)構(gòu)的最小臨界壓力Pcr和失穩(wěn)波數(shù)mcr起決定性作用。

3)當(dāng)結(jié)構(gòu)在球殼上失穩(wěn)時(shí)，改變環(huán)殼厚度、環(huán)殼半徑和錐殼半錐角對(duì)結(jié)構(gòu)的最小臨界壓力Pcr和失穩(wěn)波數(shù)mcr的影響不大。

4)參數(shù)研究結(jié)果驗(yàn)證了線性經(jīng)典臨界壓力計(jì)算公式的準(zhǔn)確性，對(duì)于整球殼、半球殼和不同高度的扁球殼均可采用經(jīng)典公式確定其線性臨界壓力，而不必考慮邊界條件對(duì)其的影響。

［1］徐秉漢，朱邦俊，歐陽(yáng)呂偉，裴俊厚.現(xiàn)代潛艇結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的理論與試驗(yàn)［M］.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2007.249－252.

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SU Hai－dong，HUANG Yu－ying.A transfer－matrix method for analyzing revolutionary shells［J］. Engineering Mechanics，2008，25(9)：1－6.

Elastic buckling analysis of spherical bulkheads

HUANG Ni，XIA Fei，HU Gang－yi，QIAN Qun，XIAO Wei
(China Ship Development and Design Center，Wuhan 430064，China)

Based on the theory of calculating the critical load by means of statics method，one－order ordinary differential equations for the elastic buckling of revolutionary shells is derived.By means of the extended homogeneous capacity and high precision integration method，the elastic buckling solution of spherical bulkheads is obtained by using Riccati transfer matrix method.And the influence of the parameter(the radius of the spherical shell，the thickness of the sphere shell，the radius of the toroid shell，the thickness of the toroid shell，and the gradient of the cone shell)is examined.The calculated result show that the radius and the thickness of the sphere shell play a vital role in buckling analysis.

spherical bulkheads;transfer matrix method;stability

U663.4

A

1672－7649(2012)07－0035－05

10.3404/j.issn.1672－7649.2012.07.007

2011－11－29;

2012－05－16

黃旎(1984－)，女，博士研究生，研究方向?yàn)榇敖Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與制造。