高維情況下雙差整周模糊度LAMBDA法解算分析

程建華，王晶，晏亮，時(shí)俊宇

(1.哈爾濱工程大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001;2.北京航天時(shí)代激光導(dǎo)航技術(shù)有限責(zé)任公司設(shè)計(jì)部，北京100143)

最小二乘降相關(guān)平差法(least-squares ambiguity decorrelation adjustment，LAMBDA)去相關(guān)處理即將雙差模糊度的估計(jì)值通過(guò)整數(shù)Z變換映射到相關(guān)度相對(duì)較小的空間內(nèi)，使模糊度協(xié)方差矩陣趨近于對(duì)角陣，最終完成模糊度的快速搜索.由于雙差模糊度具有高度相關(guān)性，去相關(guān)處理效果的好壞直接影響之后的搜索效率高低.研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)在高維網(wǎng)絡(luò)式或多基線、多頻率解算的工作模式下，LAMBDA算法經(jīng)常失效[1]，這極大地限制了這一快速解算方法的應(yīng)用，因此分析高維情況下LAMBDA算法解算效果對(duì)于擴(kuò)展其應(yīng)用范圍具有重要的研究?jī)r(jià)值.

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于LAMBDA算法提出了不同的改進(jìn)意見(jiàn)[2-4]，但都針對(duì)去相關(guān)速度進(jìn)行改進(jìn)，而1998年Li and Gao提出的高維改進(jìn)算法也只是在7～13維內(nèi)有效[1].XU Peiliang 等[1]首次分析了不同去相關(guān)算法在不同工作模式下的解算效果，發(fā)現(xiàn)在高維網(wǎng)絡(luò)式的工作狀態(tài)去相關(guān)算法經(jīng)常失效，但沒(méi)有從理論角度對(duì)這種狀況進(jìn)行分析.X W Chang等[4]討論了LAMBDA法去相關(guān)的不完全性，但未對(duì)不同模式下算法的效果進(jìn)行具體分析，仍然只是改進(jìn)了去相關(guān)的解算效率.Kuylen，Monikes以及Wang等在多基線的姿態(tài)測(cè)量中，利用基線長(zhǎng)度的限制解決該模式下的模糊度解算問(wèn)題[5-6];Teunissen等[7]提出的MC LAMBDA方法利用旋轉(zhuǎn)矩陣的正交性來(lái)限制模糊度估計(jì)參數(shù)，使得LAMBDA方法在多基線姿態(tài)測(cè)量中得到應(yīng)用.但都沒(méi)有對(duì)解決高維解算問(wèn)題給出一般性的結(jié)論.高維去相關(guān)解算失效會(huì)使最終模糊解算的正確率降低，從而使得精確定位失去意義.

本文對(duì)Teunissen等[8]提出的LAMBDA方法中采用的去相關(guān)處理方式進(jìn)行深入分析，通過(guò)研究算法的實(shí)現(xiàn)原理，對(duì)高維情況下去相關(guān)處理效果進(jìn)行討論，并給出相關(guān)結(jié)論.

1 矩陣去相關(guān)評(píng)價(jià)指標(biāo)

對(duì)矩陣去相關(guān)處理效果分析主要有2個(gè)參數(shù):矩陣條件數(shù)和相關(guān)系數(shù).

1.1 矩陣條件數(shù)

矩陣條件數(shù)是判斷矩陣病態(tài)與否的一種度量，條件數(shù)越大矩陣越病態(tài).矩陣的條件數(shù)與其奇異值有關(guān)，奇異度可以通過(guò)列或行向量的相關(guān)性刻畫(huà)，值越大相關(guān)性越強(qiáng).矩陣的條件數(shù)c定義為矩陣的最大與最小奇異值的比值，對(duì)于正定對(duì)稱矩陣來(lái)說(shuō)，奇異值與矩陣特征值相等，即

1.2 相關(guān)系數(shù)

對(duì)于n維情況，相關(guān)系數(shù)矩陣中包含n(n-1)/2個(gè)相互獨(dú)立的相關(guān)系數(shù)，當(dāng)n很大時(shí)若想對(duì)每個(gè)相關(guān)系數(shù)都進(jìn)行評(píng)價(jià)是很不現(xiàn)實(shí)的，需要用某種相關(guān)系數(shù)的標(biāo)量函數(shù)來(lái)衡量的對(duì)角化程度.在實(shí)際應(yīng)用中通常是直接計(jì)算det()的平方根作為衡量模糊度去相關(guān)程度指標(biāo)，于是有相關(guān)系數(shù)表達(dá)式:

2 LAMBDA法去相關(guān)效果評(píng)價(jià)

2.1 LAMBDA去相關(guān)原理

基于LAMBDA法的雙差模糊度求解，是通過(guò)一個(gè)整數(shù)變換來(lái)對(duì)模糊度進(jìn)行解相關(guān)處理，然后利用序貫條件最小二乘的方法求解模糊度整數(shù)值.

序貫條件最小二乘是利用模糊度的條件方差求取模糊度的條件估值并建立搜索空間來(lái)尋求模糊度的最優(yōu)估值.其中條件方差的確定利用對(duì)協(xié)方差矩陣的Cholesky分解得到

式中:L為單位下三角陣;D為對(duì)角矩陣，即條件方差矩陣.

然而，對(duì)于高度相關(guān)的雙差模糊度來(lái)說(shuō)，僅通過(guò)這樣的計(jì)算往往無(wú)法取得成功，必須通過(guò)去相關(guān)處理使協(xié)方差矩陣盡量對(duì)角化以提高搜索的效率以及成功率，這也是整數(shù)變換的目的.此過(guò)程的目標(biāo)是:1)盡量使得矩陣對(duì)角化;2)對(duì)角陣D的元素按降序排列.具體的去相關(guān)過(guò)程如下.

2.1.1 整數(shù)高斯變換

為了降低相關(guān)性，首先從矩陣L的對(duì)角化變換入手，利用整數(shù)高斯消去法使矩陣非對(duì)角位置元素大小不超過(guò)0.5.循環(huán)進(jìn)行二維的整數(shù)高斯變換實(shí)現(xiàn)對(duì)矩陣L所有非對(duì)角位置元素的更新.變換因子中，令 α =-［li+1，i］.

通過(guò)上述過(guò)程即可實(shí)現(xiàn)矩陣L的對(duì)角化，但在實(shí)現(xiàn)過(guò)程中并沒(méi)有對(duì)矩陣D進(jìn)行相應(yīng)的更新操作，因此需要下面的步驟實(shí)現(xiàn).

2.1.2 排序

矩陣D的更新排序是利用初等變換矩陣P實(shí)現(xiàn)的.

式(1)變換作用到矩陣L、D的第i、i+1行和列上引起的二維變換結(jié)果為

在式(2)～(5)的更新過(guò)程中以di+1' ≥di+1為判定標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)滿足此條件時(shí)，更新完成.

按照矩陣列從右至左的順序經(jīng)過(guò)以上步驟，遍歷矩陣所有元素，即完成了對(duì)于協(xié)方差矩陣的去相關(guān)處理，最終得到轉(zhuǎn)換矩陣Z.

2.2 去相關(guān)效果仿真

以矩陣條件數(shù)和相關(guān)系數(shù)作為參考，采用隨機(jī)模擬[1，9]的方法分別對(duì)低維和高維情況下去相關(guān)效果進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖1和2所示.

1)相關(guān)性小、維數(shù)低，仿真結(jié)果見(jiàn)圖1.使隨機(jī)產(chǎn)生的200個(gè)正定對(duì)稱矩陣的條件數(shù)對(duì)數(shù)值在[0，4.5]范圍內(nèi)隨機(jī)取值，維數(shù)相對(duì)較低，范圍設(shè)為[3，10].

圖1 低維矩陣去相關(guān)過(guò)程中指標(biāo)對(duì)比曲線Fig.1 The comparison of the index curves during decorrelation process in low dimensional matrix

圖2 高維矩陣去相關(guān)過(guò)程中指標(biāo)對(duì)比曲線Fig.2 The comparison of the index curves during decorrelation process in high dimensional matrix

2)相關(guān)性大、維數(shù)高.使隨機(jī)模擬的協(xié)方差矩陣的條件數(shù)相對(duì)較高，取條件數(shù)對(duì)數(shù)值范圍[3，4.5]，并且隨機(jī)維數(shù)也在一個(gè)較高的范圍內(nèi)，取其范圍[11，50].

通過(guò)對(duì)仿真數(shù)據(jù)的分析，發(fā)現(xiàn)在低維情況下，從只進(jìn)行整數(shù)高斯變換到同步執(zhí)行排序過(guò)程的去相關(guān)程度要優(yōu)于高維情況.而且，從最終結(jié)果的相關(guān)指標(biāo)來(lái)看，高維情況的相關(guān)性仍然保持在一個(gè)較高的水平上，且會(huì)出現(xiàn)相關(guān)性變差的情況.這是由于高維條件下初始協(xié)方差矩陣的相關(guān)性就非常高，這樣的去相關(guān)程度無(wú)法滿足最終模糊度搜索的正確性和高效性，有時(shí)會(huì)導(dǎo)致搜索無(wú)效.因此，在高維情況下，采用LAMBDA法解算整周模糊度的效果并不理想.那么分析高維失效的原因就成為了解決這一問(wèn)題的關(guān)鍵所在.

3 LAMBDA法去相關(guān)高維解算分析

根據(jù)仿真情況，分析高維解算效果不理想的原因，首先要分析LAMBDA算法的去相關(guān)處理過(guò)程，結(jié)合矩陣的相關(guān)性指標(biāo)給出結(jié)論.

3.1 LAMBDA去相關(guān)解算分析

3.1.1 整數(shù)高斯變換分析

在整數(shù)高斯變換完成后，實(shí)現(xiàn)了矩陣L的對(duì)角化.對(duì)LDLT作奇異值分解，由于它近似對(duì)角陣，那么矩陣D的對(duì)角元素可以認(rèn)為是矩陣的奇異值，分析結(jié)果矩陣LDLT的條件數(shù)，矩陣D中最大元素除以最小元素:c=d(i)max/d(i)min.

顯然對(duì)角矩陣的元素之間是相互獨(dú)立的，條件數(shù)會(huì)較整數(shù)變換前明顯變小.

然后，分析矩陣變換前后相關(guān)系數(shù)的變化情況，在對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行Cholesky分解中，矩陣D元素與分解前協(xié)方差矩陣的關(guān)系:

從式(6)可以發(fā)現(xiàn)，D中的元素是矩陣Q)a對(duì)角元素減去對(duì)應(yīng)L陣第i行前i-1個(gè)元素的平方和.顯然，D中的元素在原協(xié)方差矩陣對(duì)角元素的基礎(chǔ)上減小了.LDLT矩陣的相關(guān)系數(shù):

協(xié)方差矩陣Q)a的相關(guān)系數(shù):

顯然變換后矩陣的相關(guān)系數(shù)減小.

從模糊度搜索的角度分析，由于整數(shù)高斯變換過(guò)程中矩陣D沒(méi)有變化，即條件方差沒(méi)有改變，分析序貫條件最小二乘模糊度的求取式(7)以及利用條件方差搜索最優(yōu)模糊度解的式(8):

可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于矩陣L的更新，改善了對(duì)序貫條件最小二乘模糊度的求取過(guò)程，降低了前后模糊度的相關(guān)性，有利于序貫條件最小二乘模糊度的求解.但在模糊度的搜索過(guò)程中條件方差是決定搜索空間大小和搜索效率的關(guān)鍵因素，條件方差按照降序排列是保證搜索效率的必要條件.

3.1.2 排序過(guò)程分析

從LAMBDA法去相關(guān)過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，矩陣D元素完成排序交換的同時(shí)，矩陣L的非對(duì)角位置元素會(huì)隨之更新，元素大小保持在小于0.5的范圍內(nèi).而對(duì)更新后的矩陣D元素作差得

顯然變換后相鄰元素之間的差距變小.總體上來(lái)說(shuō)，排序過(guò)程實(shí)現(xiàn)的是上一步驟中LDLT矩陣交換行列次序的功能，在變換過(guò)程中矩陣的相關(guān)性得到進(jìn)一步的改善.

但仿真結(jié)果顯示，在高維情況下排序過(guò)程的去相關(guān)程度并沒(méi)有低維情況的效果顯著，因此有必要對(duì)條件方差的更新過(guò)程進(jìn)行更進(jìn)一步的分析.

3.2 條件方差連續(xù)性分析

條件方差的大小體現(xiàn)了當(dāng)前模糊度與前面模糊度的相關(guān)程度，根據(jù)條件模糊度求取公式:

由D中相鄰元素間的距離更新關(guān)系式:

可知，距離值在變小.而從矩陣D的更新過(guò)程來(lái)看，第一個(gè)元素的值保持不變，為了減小相鄰模糊度之間的距離，后面的條件方差值都有所提升，從而實(shí)現(xiàn)了降低相鄰模糊度之間相關(guān)性的目的.同時(shí)從矩陣條件數(shù)角度來(lái)分析也可知，矩陣的最小特征值變大，矩陣的條件數(shù)減小.

下面通過(guò)仿真［10］觀察矩陣D元素更新前后的變化情況，分別對(duì)維數(shù)為8和29的協(xié)方差矩陣進(jìn)行仿真，如圖3.

從結(jié)果可知，去相關(guān)處理后條件方差的連續(xù)性得到改善，這樣降低了雙差模糊度的相關(guān)性.而在高維情況時(shí)去相關(guān)處理后的曲線的平滑程度并不理想，這就使得LAMBDA方法在進(jìn)行高維解算時(shí)沒(méi)有達(dá)到理想的效果.而這樣的結(jié)果與矩陣D的更新分解過(guò)程直接相關(guān)，即排序過(guò)程在高維情況下存在不完善的問(wèn)題.

圖3 去相關(guān)前后模糊度條件方差分布Fig.3 The distribution of conditional variance before and after decorrelation

3.3 高維解算時(shí)排序更新分析

LAMBDA算法排序最終目的是使更新后矩陣D中所有元素都按照降序排列，判斷矩陣D相應(yīng)位置元素是否更新完成的依據(jù):

這個(gè)條件暗指di＜di+1，如果條件滿足則需要進(jìn)行更新.這是因?yàn)槿绻潞蟮膁i+1' 比更新前的值小，說(shuō)明相應(yīng)位置的模糊度與其后模糊度的相關(guān)性并未得到改善，必須進(jìn)行更新，將條件方差提高，這也是條件方差降序排列的依據(jù).與此同時(shí)，矩陣D位置i的元素以及矩陣L相應(yīng)位置元素也要進(jìn)行更新:

當(dāng)更新完成后對(duì)于新的矩陣D將會(huì)滿足:

即

由此可知，這并不能保證更新完成后矩陣元素滿足di'≥di+1'，只能使相鄰2個(gè)值之間的差距減小，從而保證降序排列.如果要以di'≥di+1'為判定依據(jù)進(jìn)行矩陣D更新，由上面的關(guān)系式中可以看出，這樣的條件很難滿足，將會(huì)花費(fèi)大量的時(shí)間，使得快速解算失去意義.

同時(shí)，更新過(guò)程中l(wèi)i+1，i' 會(huì)出現(xiàn)增大的趨勢(shì)，而使得其結(jié)果超出0.5的范圍，即相鄰2個(gè)模糊度的協(xié)方差會(huì)變大，最終使得協(xié)方差矩陣對(duì)角化效果變差.

由此可以明確，更新過(guò)程并不是嚴(yán)格按照條件方差降序排列的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行的，只是修正了連續(xù)性，這種處理是不徹底的，而且會(huì)對(duì)上一步的整數(shù)高斯變換結(jié)果產(chǎn)生一定的影響.對(duì)于維數(shù)較低即維數(shù)范圍為[3，10]的情況，這種影響體現(xiàn)的不明顯.當(dāng)處理高維數(shù)據(jù)時(shí)，由于較高的相關(guān)性，排序處理次數(shù)增多，而使得對(duì)于矩陣L的更新增多，不但相關(guān)性變差，受更新條件的限制，降序排列也不完全，嚴(yán)重影響了相關(guān)性處理的效果.

因此，當(dāng)進(jìn)行高維解算時(shí)，將會(huì)存在去相關(guān)不徹底的情況，而使得最終的模糊度搜索效率受到影響，甚至無(wú)法得到正確解.

4 仿真分析驗(yàn)證

為了驗(yàn)證以上分析結(jié)果的正確性，下面分別對(duì)低維和高維去相關(guān)解算結(jié)果進(jìn)行仿真分析.對(duì)于2種工作模式下得到的更新矩陣D，即新的條件方差進(jìn)行重新的降序排列，將初等變換矩陣作用在變換后的協(xié)方差矩陣上.對(duì)隨機(jī)模擬生成的協(xié)方差矩陣條件數(shù)進(jìn)行前后結(jié)果的比較如圖4所示.

圖4 條件方差重列后矩陣條件數(shù)Fig.4 The condition number of matrix after reorder of conditional variance

從圖4中可以看出，對(duì)比之前LAMBDA法分別在兩種模式下的仿真結(jié)果看，低維情況下的結(jié)果并沒(méi)有太大變化;而對(duì)于高維情況，矩陣的條件數(shù)在經(jīng)過(guò)重新排列后明顯降低了.這說(shuō)明，LAMBDA算法的低維去相關(guān)處理是比較徹底的，而高維情況會(huì)明顯失效.

5 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)LAMBDA法求解雙差整周模糊度在高維情況下失效的問(wèn)題進(jìn)行深入分析，從去相關(guān)解算過(guò)程的分析中發(fā)現(xiàn)，在對(duì)模糊度條件方差進(jìn)行排序處理時(shí)沒(méi)有進(jìn)行完全的降序排列，當(dāng)解算維數(shù)提高時(shí)，這種處理的不完全性就會(huì)明顯體現(xiàn)出來(lái)，而致使模糊度相關(guān)性處理得不到有效改善.而當(dāng)對(duì)條件方差進(jìn)行后續(xù)降序排列處理后，得到的協(xié)方差矩陣的相關(guān)性指標(biāo)得到明顯改善，由此證明，本文對(duì)于LAMBDA法高維解算失效原因分析的正確性.

[1]XU Peiliang.Random simulation and GPS decorrelation[J].Journal of Geodesy，2001，75(7):408-423.

[2]HAN Shaowei，RIZOS C.A new method for constraining multisatellite ambiguity combinations for improved ambiguity resolution[J].Journal of Geodesy，1995，70(9):1145-1153.

[3]LIU L T，HSU H T，ZHU Y Z，et al.A new approach to GPS ambiguity decorrelation[J].Journal of Geodesy，1999，73(9):478-490.

[4]CHANG X W，YANG X，ZHOU T.A modified LAMBDA method for integer least-squares estimation[J].Journal of Geodesy，2005，79(9):552-565.

[5]GIORGI G，TEUNISSEN P J G，VERHAGEN S.Testing a new multivariate GNSS carrier phase attitude determination method for remote sensing platforms[J].Advances in Space Research，2010，46(2):118-129.

[6]TEUNISSEN P J G，GIORGI G，BUIST P J.Testing of a new single-frequency GNSS carrier phase attitude determination method:land，ship and aircraft experiments[J].GPS Solution，2011，15(1):15-28.

[7]TEUNISSEN P J G.A general multivariate formulation of the multi-antenna GNSS attitude determination problem[J].Artificial Satellites，2007，42(2):97-112.

[8]TEUNISSEN P J G.The least-squares ambiguity decorrelation adjustment:a method for fast GPS integer ambiguity estimation[J].Journal of Geodesy，1995，70:65-82.

[9]XU Peiliang.Spectral theory of constrained second-rank symmetric random tensors[J].Journal of Geophysics，1999，138:1-24.

[10]TEUNISSEN P J G，JONGE P，TIBERIUS C.On the spectrum of the GPS DD-Ambiguities[C]//Proceedings ION GPS-94.Salt Lake City，USA，1994:115-124.