含間隙碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的非線性振動(dòng)特性

盧緒祥， 劉正強(qiáng)， 黃樹紅， 李錄平

（1.華中科技大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，武漢430074；2.長(zhǎng)沙理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，長(zhǎng)沙410114）

現(xiàn)代機(jī)械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中內(nèi)部或邊界上的間隙使在外界激勵(lì)作用下不同零部件間產(chǎn)生碰撞振動(dòng)，從而對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力特性、可靠性和壽命等技術(shù)指標(biāo)產(chǎn)生重要影響，如航天器伸展機(jī)構(gòu)和渦輪機(jī)械轉(zhuǎn)子系統(tǒng)等機(jī)械系統(tǒng)中的運(yùn)動(dòng)副間隙引起的碰撞振動(dòng)導(dǎo)致系統(tǒng)效率和工作精度降低［1］.然而，碰撞（沖擊）阻尼器和透平機(jī)械葉片的碰撞減振結(jié)構(gòu)卻可以利用零部件的相互碰撞來快速傳遞和耗散能量，從而提高該類結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性和壽命［2－5］.同時(shí)，含間隙的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)具有復(fù)雜的非線性和不連續(xù)性，因此對(duì)其進(jìn)行研究既具有工程實(shí)際意義又有較大的理論價(jià)值.

一般，含間隙和碰撞的機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)為多參數(shù)高維系統(tǒng)，并且碰撞或沖擊等因素造成的非線性與奇異性使系統(tǒng)具有很強(qiáng)的非線性動(dòng)力特性.目前，許多研究者借助非線性振動(dòng)理論的數(shù)值解法獲得了該類系統(tǒng)的非線性振動(dòng)規(guī)律：不僅存在著多種周期運(yùn)動(dòng)，而且隨著參數(shù)的變化出現(xiàn)各種分岔（周期倍化分岔、Hopf分岔等），進(jìn)而演變成概周期、非周期或混沌運(yùn)動(dòng)［6－9］.但在研究中全面考慮碰撞中的所有物理過程十分困難，因此需對(duì)碰撞條件和碰撞過程進(jìn)行合理簡(jiǎn)化，從而建立起比較符合實(shí)際的碰撞模型.筆者采用廣義Hertz接觸理論將該碰撞振動(dòng)系統(tǒng)等效為無(wú)質(zhì)量彈簧－阻尼器，建立含對(duì)稱間隙結(jié)構(gòu)的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，然后通過數(shù)值求解對(duì)該結(jié)構(gòu)模型在不同參數(shù)條件下的非線性振動(dòng)特性進(jìn)行分析.

1 含間隙碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

含雙側(cè)間隙結(jié)構(gòu)的對(duì)稱碰撞振動(dòng)系統(tǒng)可簡(jiǎn)化為如圖1所示的動(dòng)力學(xué)模型.將碰撞振子簡(jiǎn)化為由剛度為k的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C的阻尼器連接而成的集中質(zhì)量塊m，在簡(jiǎn)諧激振力Fe＝F0sin wt的作用下發(fā)生振動(dòng).

當(dāng)振動(dòng)位移x大于間隙d或小于間隙－d時(shí)，碰撞振子分別與左右兩側(cè)質(zhì)體發(fā)生接觸碰撞.接觸碰撞力用廣義Hertz接觸碰撞力FR進(jìn)行描述，因而可以得到其運(yùn)動(dòng)方程：

式中：m、c、k分別為碰撞振子的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣以及剛度矩陣；F0為外界激振力幅值；w為激勵(lì)圓頻率.

圖1 含雙側(cè)間隙結(jié)構(gòu)的碰撞振動(dòng)模型Fig.1 Dynamic model of the impact－vibration system with double－side clearance

為研究碰撞過程中碰撞力的變化，大多學(xué)者采用考慮變形的等效彈簧阻尼模型，用彈簧來模擬碰撞中系統(tǒng)構(gòu)件的變形，用與之串聯(lián)的阻尼器來考慮接觸過程中碰撞體彈性波的影響并反映出碰撞時(shí)能量的損耗特性，其中大多數(shù)科研工作者采用Hertz接觸模型［10］.廣義的Hertz接觸碰撞力可表示為：

式中：δ為兩個(gè)質(zhì)體沿接觸面法向相對(duì)位移；δ·為相對(duì)速度；Dh為阻尼函數(shù)，Dh＝λδn；λ為滯后阻尼系數(shù)；kh為彈性力學(xué)中的Hertz接觸剛度，它取決于材料特性和曲率半徑；r1和r2分別為兩個(gè)質(zhì)體接觸點(diǎn)的曲率半徑；Ei和νi分別為兩個(gè)質(zhì)體的彈性模量和泊松比.

借助于Newton恢復(fù)系數(shù)e＝－ν／ν0確定碰撞前、后速度，并結(jié)合由試驗(yàn)結(jié)果擬合的恢復(fù)系數(shù)對(duì)于碳鋼和青銅材料，系數(shù)ai＝0.08～0.32s／m，一般取一階近似），再根據(jù)碰撞接觸過程中的能量守恒可得滯后阻尼系數(shù)λ：

故廣義Hertz接觸碰撞力可表示為：

考慮到間隙對(duì)動(dòng)力學(xué)模型的影響，故碰撞力可表示為：

為便于微分方程的數(shù)值求解，引入以下參數(shù)：無(wú)量綱時(shí)間τ（τ＝ωnt）、激振力頻率ω、固有頻率ωn阻尼因子無(wú)量綱頻率比并引入新變量或新狀態(tài)量

則可將該動(dòng)力學(xué)模型化成以下狀態(tài)空間形式：

2 數(shù)值求解方法與模型相關(guān)參數(shù)

含間隙碰撞動(dòng)力學(xué)模型中引入了非線性的Hertz接觸力，很難直接用解析方法進(jìn)行求解，因此筆者采用具有良好計(jì)算精度和穩(wěn)定性的四－五階Runge－Kutta法對(duì)該模型的運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行數(shù)值求解.通過數(shù)值仿真得到該含間隙碰撞模型在不同頻率比、間隙和激振力幅值下非線性響應(yīng)的分岔圖、時(shí)域波形圖、相圖、Poincaré圖和功率譜圖，并以此進(jìn)一步研究該模型的非線性振動(dòng)特性.

筆者以長(zhǎng)沙理工大學(xué)振動(dòng)實(shí)驗(yàn)室葉柵碰撞試驗(yàn)臺(tái)上獲得的自帶冠葉片參數(shù)作為模擬參數(shù)進(jìn)行數(shù)值求解.各模擬參數(shù)分別為：m＝0.16kg，ζ＝0.02，a1＝0.1，ωn＝2πf1＝421rad／s，kh＝108N／m.在進(jìn)行頻率比變化分析時(shí)，其余參數(shù)的取值分別為：F0＝20N，d＝0.1mm，Ω＝0.55～1.5；在進(jìn)行激振力幅值變化分析時(shí)，其余參數(shù)分別取值如下：d＝0.1mm，Ω＝1.02，F(xiàn)0＝20～50N；在進(jìn)行間隙變化分析時(shí)，其余參數(shù)分別取值為：F0＝20N，Ω＝1.02，d＝0～5mm.

3 數(shù)值模擬結(jié)果與非線性振動(dòng)特性

3.1 頻率比變化對(duì)振動(dòng)特性的影響

圖2為在一定激振力幅值F0和間隙d下該模型系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)振幅x隨頻率比Ω變化的分岔圖.由圖2（a）可知：x隨頻率比Ω 變化經(jīng)歷了周期運(yùn)動(dòng)、倍周期運(yùn)動(dòng)、擬周期運(yùn)動(dòng)以及混沌運(yùn)動(dòng)等各種復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)形式，且寬、窄的混沌帶隨頻率比變化交替出現(xiàn)；在頻率比約為1時(shí)，非線性振動(dòng)特性變化較為顯著.由圖2（b）可知：當(dāng)1＜Ω＜1.031時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)主要以周期運(yùn)動(dòng)為主；在Ω＝1.031時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)經(jīng)過一個(gè)倍周期分岔為周期2運(yùn)動(dòng)；當(dāng)1.031＜Ω＜1.034時(shí)，進(jìn)入?yún)?shù)域極窄的混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)頻率比Ω達(dá)到1.034時(shí)，又進(jìn)入周期2運(yùn)動(dòng)；隨后在1.048＜Ω＜1.072時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)又進(jìn)入周期運(yùn)動(dòng)，但在Ω達(dá)到1.072之后，系統(tǒng)響應(yīng)由周期運(yùn)動(dòng)陣發(fā)性進(jìn)入?yún)?shù)域較寬的混沌運(yùn)動(dòng).

圖2 當(dāng)F0＝20N、d＝0.1mm時(shí)模型系統(tǒng)響應(yīng)振幅x隨Ω變化的分岔圖Fig.2 Bifurcation diagram of system response xvarying with frequency ratioΩ （F0＝20N，d＝0.1mm）

圖3給出了頻率比Ω分別為1.02、1.04和1.2時(shí)的時(shí)域波形圖、相平面圖、Poincaré截面圖和功率譜圖.由圖3（a）的波形圖和相平面圖可知：每個(gè)周期內(nèi)碰撞振子在左右兩端各碰撞2次；同時(shí)，在Poincaré截面圖上出現(xiàn)1個(gè)孤立點(diǎn)，在功率譜圖上只出現(xiàn)了無(wú)量綱頻率Ω倍頻時(shí)的孤立譜峰.由此可見，系統(tǒng)在此頻率比下呈周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)頻率比為1.04時(shí)，雖然碰撞振子每周期也在左右兩端各碰撞2次，但相鄰兩周期內(nèi)的碰撞運(yùn)動(dòng)情況不同，因此出現(xiàn)了圖3（b）中相平面的運(yùn)動(dòng)形式，同時(shí)在Poincaré截面圖上出現(xiàn)2個(gè)孤立點(diǎn)，在功率譜圖上也出現(xiàn)了除無(wú)量綱頻率Ω倍頻的孤立譜峰以外的分頻譜峰，說明系統(tǒng)此時(shí)進(jìn)入了周期2的倍周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)頻率比為1.2時(shí)，從時(shí)域圖看出系統(tǒng)響應(yīng)的波形出現(xiàn)了紊亂的峰線，看不出明顯的周期波形線，在周期內(nèi)的碰撞次數(shù)變化不定，在相應(yīng)的相平面圖中也呈無(wú)規(guī)律運(yùn)動(dòng)，同時(shí)Poincaré截面圖呈現(xiàn)分散性堆積的散點(diǎn)圖，在功率譜圖上出現(xiàn)連續(xù)的譜線，說明系統(tǒng)發(fā)生了混沌運(yùn)動(dòng).

圖3 不同頻率比時(shí)的振動(dòng)特性Fig.3 Vibration characteristics at various frequency ratios

3.2 激振力幅值變化對(duì)振動(dòng)特性的影響

圖4給出了頻率比為1.02、間隙為0.1mm時(shí)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)振幅x隨激振力幅值變化的分岔圖.由圖4可知：在一定條件下，激振力幅值的變化對(duì)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)特性有很大影響，在較大的激振力幅值范圍內(nèi)存在著較寬的混沌帶，變化范圍較長(zhǎng)的周期運(yùn)動(dòng)和倍周期運(yùn)動(dòng)（周期2）只出現(xiàn)在激振力幅值為20～22N、33～35.8N和43～46.7 N內(nèi)，且其中依然摻雜著混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，許多情況下都是由周期運(yùn)動(dòng)陣發(fā)性進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng).圖5給出了激振力幅值為33.5N和50N時(shí)的時(shí)域圖、相平面圖、Poincaré截面圖和功率譜圖.由圖5可知：在激振力幅值為33.5N時(shí)出現(xiàn)了周期2的倍周期運(yùn)動(dòng)，但碰撞振子在每周期內(nèi)左右兩端碰撞次數(shù)各不相同，且在左端的碰撞情況比右端復(fù)雜；而在激振力幅值為50N時(shí)出現(xiàn)了明顯的混沌運(yùn)動(dòng)，Poincaré截面圖上出現(xiàn)了無(wú)規(guī)律的散點(diǎn)，且在功率譜圖上出現(xiàn)連續(xù)的譜線.

圖4 頻率比為1.02、間隙為0.1mm時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)振幅x隨激振力幅值變化的分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram of system response xvarying with amplitude of exciting force（Ω＝1.02，d＝0.1mm）

3.3 間隙變化對(duì)振動(dòng)特性的影響

圖5 不同激振力幅值下的振動(dòng)特性Fig.5 Vibration characteristics at various amplitudes of exciting force

圖6 當(dāng)F0為20N、Ω為1.02時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)振幅x隨間隙變化的分岔圖Fig.6 Bifurcation diagram of system response xvarying with clearance（F0＝20N，Ω＝1.02）

圖7 不同間隙下的系統(tǒng)振動(dòng)特性Fig.7 Vibration characteristics at various clearances

圖6為在一定頻率比和激振力幅值下系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)振幅x隨間隙變化的分岔圖.圖7為不同間隙下的系統(tǒng)振動(dòng)特性.由圖6可知：當(dāng)頻率比和激振力幅值一定，即外部激振力一定時(shí)，間隙變化對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)振幅的影響較小，但間隙較小時(shí)變化較為復(fù)雜，即在間隙d為0～0.4mm時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)振幅出現(xiàn)了周期、倍周期（如間隙為0.2mm時(shí)的周期2、0.25mm時(shí)的周期3和0.3mm時(shí)的周期5運(yùn)動(dòng)）和混沌運(yùn)動(dòng)；當(dāng)間隙為0.85～1.45mm時(shí)出現(xiàn)了較寬參數(shù)域的周期3運(yùn)動(dòng)，而在間隙大于1.45mm后，除了在間隙為2.65mm時(shí)出現(xiàn)了周期2的倍周期運(yùn)動(dòng)外，其余間隙情況下都出現(xiàn)單周期運(yùn)動(dòng)，且隨著間隙的增大，系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)振幅的幅值也增大.由圖7可知，當(dāng)系統(tǒng)處在不同間隙時(shí)，其振動(dòng)特性不同：當(dāng)間隙為0.15mm時(shí)，碰撞振動(dòng)系統(tǒng)顯現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)，不同周期內(nèi)碰撞振子在兩端的碰撞次數(shù)也不同；在間隙為2.65mm時(shí)，碰撞振動(dòng)系統(tǒng)出現(xiàn)周期2運(yùn)動(dòng)，碰撞振子在每個(gè)周期內(nèi)都只在一端碰撞1次，功率譜上也出現(xiàn)了1／2分頻振動(dòng)；當(dāng)間隙增大到2.8 mm或更大的間隙時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)入了規(guī)則的單周期運(yùn)動(dòng)，此時(shí)在相平面圖上呈現(xiàn)橢圓形狀，而在功率譜圖上則只出現(xiàn)了工頻振動(dòng)的譜峰，說明此時(shí)系統(tǒng)已無(wú)碰撞.同時(shí)，由圖7中的各分圖還可以看出：碰撞振動(dòng)系統(tǒng)通過碰撞可以起到良好的碰阻減振作用，且隨著間隙的增大，碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的功率增加，這也說明自帶冠葉片的冠間間隙大小對(duì)其振動(dòng)特性影響較大，間隙較小時(shí)碰撞減振效果較好.

4 結(jié) 論

（1）采用廣義的Hertz接觸理論，將含雙側(cè)間隙的諧對(duì)稱碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的碰撞特性等效為無(wú)質(zhì)量彈簧－阻尼器，建立了一類含對(duì)稱間隙的碰撞振動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型，可以比較客觀地描述該結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性.

（2）頻率比、激振力幅值和間隙對(duì)含間隙碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)特性均有影響，并隨著這些參數(shù)的改變，碰撞振動(dòng)系統(tǒng)出現(xiàn)了周期、倍周期和混沌運(yùn)動(dòng).

（3）頻率比和激振力幅值對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響很大，出現(xiàn)了較寬的混沌帶.而間隙對(duì)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)的影響相對(duì)較小，但在較小的間隙變化范圍內(nèi)，系統(tǒng)的振動(dòng)特性變化較大.因此，在工程上如要使碰撞振動(dòng)系統(tǒng)能夠處于穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，需先研究這些參數(shù)在不同情形下的振動(dòng)特性，以便獲得較好的碰撞減振效果，從而提高碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的可靠性.

［1］俞武勇，季林紅，閻紹澤，等.含間隙機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型［J］.機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2001，20（5）：665－670.YU Wuyong，JI Linhong，YAN Shaoze，et al.A survey of dynamics model of pairs with clearances in mechanism ［J］.Mechanical Science and Technology，2001，20（5）：665－670.

［2］陳志堅(jiān)，吳惠軍，葉明，等.復(fù)雜非線性隔沖減振系統(tǒng)計(jì)算分析［J］.海軍工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，18（4）：34－38.CHEN Zhijian，WU Huijun，YE Ming，et al.A practical method for calculating complexity shock－isolating system with nonlinear stiffness［J］.Journal of Naval University of Engineering，2006，18（4）：34－38.

［3］趙文禮，周曉軍.碰撞阻尼器系統(tǒng)的分岔、混沌與控制［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2007，20（2）：161－166.ZHAO Wenli，ZHOU Xiaojun.Bifurcation，chaos and control of vibration systems with impact damper［J］.Journal of Vibration Engineering，2007，20（2）：161－166.

［4］徐大懋，李錄平，須根發(fā)，等.自帶冠葉片碰撞減振研究［J］.電力科學(xué)與技術(shù)學(xué)報(bào)，2007，22（1）：1－6.XU Damao，LI Luping，XU Genfa，et al.Research on impact damping of integrally shrouded blades［J］.Journal of Electric Power Science and Technology，2007，22（1）：1－6.

［5］盧緒祥，黃樹紅，劉正強(qiáng)，等.基于諧波平衡法的帶冠葉片接觸碰撞減振特性研究［J］.動(dòng)力工程學(xué)報(bào)，2010，30（8）：578－583.LU Xuxiang，HUANG Shuhong，LIU Zhengqiang，et al.Study on contact－impact damping characteristics of shrouded blades based on harmonic balance method［J］.Journal of Chinese Society of Power Engineering，2010，30（8）：578－583.

［6］LUO Guanwei. Period－doubling bifurcations and routes to chaos of the vibratory systems contacting stops［J］.Physics Letters A，2004，323（3／4）：210－217.

［7］HAN R P S，LUO A C J，DENG W.Chaotic motion of a horizontal impact pair［J］.Journal of Sound and Vibration，1995，181（2）：231－250.

［8］樂源，謝建華.一類三自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的Poincaré映射的對(duì)稱性、分岔及混沌［J］.四川大學(xué)學(xué)報(bào)：工程科學(xué)版，2008，40（1）：27－31.YUE Yuan，XIE Jianhua.Symmetry bifurcation and chaos of the Poincarémaps in a three－degree－of－freedom vibro－impact system ［J］.Journal of Sichuan University：Engineering Science Edition，2008，40（1）：27－31.

［9］丁旺才，張有強(qiáng)，謝建華.含對(duì)稱間隙的摩擦振子非線性動(dòng)力學(xué)分析［J］.摩擦學(xué)學(xué)報(bào)，2008，28（2）：155－160.DING Wangcai，ZHANG Youqiang，XIE Jianhua.Analysis of nonlinear dynamics of dry friction oscillators with symmetric clearance［J］.Tribology，2008，28（2）：155－160.

［10］金棟平，胡海巖.碰撞振動(dòng)與控制［M］.北京：科學(xué)出版社，2005.