測(cè)定空氣阻力系數(shù)新方法

嚴(yán)九洲， 楊 軍， 張懷作＊， 彭 飛， 譚萬(wàn)云

（1．西南石油大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院，四川成都 610500；2．西南石油大學(xué)理學(xué)院，四川成都 610500；3．中國(guó)海洋石油股份有限公司天津分公司，天津 300452）

0 引 言

關(guān)于空氣阻力系數(shù)的測(cè)定，在文獻(xiàn)［1］中雖然通過(guò)自由落體運(yùn)動(dòng)測(cè)定了多組數(shù)據(jù)求平均值的方法，求得了空氣阻力系數(shù)的大小，但是，數(shù)據(jù)的可靠性和精確程度無(wú)法得到保證。因?yàn)檫@種實(shí)驗(yàn)方案沒(méi)有分析整個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置和方案的系統(tǒng)誤差，即使求得平均值依舊不能保證最后結(jié)果的準(zhǔn)確性。而在文獻(xiàn)［2］中，雖然以單擺為模型來(lái)探求空氣阻力的影響，但也僅僅只對(duì)周期的變化作了測(cè)量，而完全沒(méi)有考慮到振幅的變化情況，也沒(méi)有對(duì)振幅的數(shù)據(jù)大小做出測(cè)量，暴露出了這種方案的局限性。因此，以單擺作阻尼振動(dòng)為基礎(chǔ)，根據(jù)阻尼振動(dòng)的振幅變化規(guī)律A＝A0e－βt求出空氣阻力系數(shù)的大小。

1 實(shí)驗(yàn)原理

1.1 原理

由于單擺作阻尼振動(dòng)，那么其振幅衰減規(guī)律滿足A＝A0e－βt，通過(guò)測(cè)量多組振幅隨時(shí)間的變化數(shù)據(jù)，然后借助于數(shù)據(jù)處理軟件SSPP非線性擬合得到阻尼系數(shù)β。阻尼系數(shù)β與空氣阻力系數(shù)k關(guān)系為：

式中：m——擺球的質(zhì)量。

所以，空氣阻力系數(shù)：

由于單擺在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到的阻力本身很?。?］，因此，排除其它干擾因素，減小實(shí)驗(yàn)誤差就格外重要。

本實(shí)驗(yàn)主要從3方面加以考慮：

1）單擺擺角大小的選擇；

2）振幅的精確測(cè)量；

3）系統(tǒng)誤差的分析。

1.2 條件的選擇與控制

1．2．1 單擺擺角大小的選擇

單擺的近似公式為：

若初始擺角較大，則由［4］：

式中：θ——幅角擺角。

可知振動(dòng)的周期將隨角振幅的增大而增大，會(huì)造成時(shí)間t與振幅間的關(guān)系變得復(fù)雜。如果初始擺角太小，那么振幅也隨之變小，會(huì)造成振幅數(shù)值測(cè)量誤差的增大。因此，需要確定一個(gè)臨界擺角，使得單擺做阻尼振動(dòng)的同時(shí)周期變化不太明顯，而且還要保證振幅數(shù)值測(cè)量的精確度。設(shè)擺長(zhǎng)為l，擺線與豎直方向的夾角為θ，精確公式［5］為：

其中：

那么相對(duì)誤差為：

用Mathematics軟件計(jì)算得到不同擺角下的實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差大小見(jiàn)表1。

表1 Mathematics誤差分析結(jié)果%

通過(guò)表1對(duì)比可以看出，要保證相對(duì)誤差不超過(guò)0．05%，那么α必須小于5°，但是，如果α≤4°，那么振幅將太小而不便于測(cè)量。因此，選擇α＝5°將能保證相對(duì)誤差較小，同時(shí)也便于測(cè)量振幅。

1．2．2 振幅的精確測(cè)量

由于單擺所受空氣阻力較小，其振幅隨時(shí)間衰減的并不明顯，采用常規(guī)的測(cè)量方案將無(wú)法得到空氣阻力系數(shù)的準(zhǔn)確值，采用數(shù)碼相機(jī)錄下單擺在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)振幅的值，并且借助于圖像處理軟件Flash MX來(lái)精確分析振幅隨時(shí)間的變化情況。

1．2．3 影響因素分析

1）懸線質(zhì)量的影響：懸線質(zhì)量對(duì)測(cè)量周期的系統(tǒng)誤差影響量為0．004 66，為10－3數(shù)量級(jí)，本實(shí)驗(yàn)中對(duì)時(shí)間的精確度為0．01s，所以此因素可以忽略［6］。

2）擺球質(zhì)量：影響量約為0．049 067ms。低于測(cè)量精度，可以略去［6］。

3）空氣浮力對(duì)測(cè)量周期的系統(tǒng)誤差影響量為：

遠(yuǎn)低于實(shí)驗(yàn)所要求的數(shù)量級(jí)，故可以略去［6］。

2 實(shí)驗(yàn)方法和結(jié)果

2.1 實(shí)驗(yàn)方法

1）測(cè)定單擺小角度下的振幅變化。調(diào)節(jié)好單擺的擺長(zhǎng)和擺角，同時(shí)調(diào)整數(shù)碼攝像機(jī)的位置和放大倍數(shù)，使場(chǎng)景中能夠清晰地看到單擺的擺球，當(dāng)擺球開(kāi)始穩(wěn)定的擺動(dòng)時(shí)，即用攝像機(jī)拍攝下一段單擺運(yùn)動(dòng)的錄像，約（300～500個(gè)周期）。74．4s時(shí)擺球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如圖1所示。

圖1 74．4s時(shí)擺球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

2）錄像拍攝好后，把錄像通過(guò)數(shù)據(jù)線復(fù)制到計(jì)算機(jī)的硬盤(pán)上。

3）修改flash中的播放速度，把12幀／s改為10幀／s，再把剛拍攝好的錄像導(dǎo)入到Flash MX中，導(dǎo)入方法如圖2所示。

圖2 SPSS軟件數(shù)據(jù)處理界面

4）以每40個(gè)周期為時(shí)間間隔，測(cè)量單擺振幅的值以及其對(duì)應(yīng)的時(shí)間。

2.2 阻力系數(shù)的測(cè)定

1）將上一步驟中的數(shù)據(jù)采集，并輸入到數(shù)據(jù)處理軟件SPSS中，見(jiàn)表2。

表2 擺球振幅隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)

2）用表2中的擬合數(shù)據(jù)，擬合單擺的阻尼振動(dòng)模型，擬合函數(shù)為：

式中：A——振幅值；

A0——初始振幅；

β——阻尼系數(shù)。

擬合后的函數(shù)圖像如圖3所示。

圖3 數(shù)據(jù)擬合后得到的函數(shù)圖像

擬合后的結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 數(shù)據(jù)分析結(jié)果

表中：Mth為以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)；Rsq為相關(guān)系數(shù)；β為所求阻尼系數(shù)的值，β＝－0．002 56。

在求得β的情況下，由于阻尼系數(shù)β與空氣阻力系數(shù)k之間存在函數(shù)關(guān)系：

式中：m——擺球的質(zhì)量。

空氣阻力系數(shù)為：

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析與對(duì)比

3.1 結(jié)果分析

可以通過(guò)數(shù)理統(tǒng)計(jì)中數(shù)據(jù)相關(guān)系數(shù)r的大小來(lái)分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和理論數(shù)據(jù)之間的接近程度，同時(shí)，也可以分析實(shí)驗(yàn)方案誤差的大小，相關(guān)系數(shù)公式［7］為：

式中：COV（X，Y）——協(xié)方差；

DX——變量X的方差；

DY——變量Y的方差。

時(shí)間和振幅的數(shù)據(jù)處理見(jiàn)表4。

表4 數(shù)據(jù)處理表格

由以上數(shù)據(jù)和計(jì)算公式可得相關(guān)系數(shù)

由于｜r｜＝0．981 6，滿足0．7≤｜r｜＜1，說(shuō)明實(shí)驗(yàn)值和理論值具有高度相關(guān)性［8］，因此這個(gè)數(shù)據(jù)是合理的。測(cè)量的阻力系數(shù)代表了物體的真實(shí)情況，同時(shí)也說(shuō)明了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的可靠性，得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可信度較高。

3.2 與其它方法對(duì)比

3．2．1 解決了用流體力學(xué)無(wú)法求解低速運(yùn)動(dòng)物體所受阻力的不足之處

在流體力學(xué)中，有阻力系數(shù)k與振幅A的函數(shù)關(guān)系式：

式中：Cd——不同雷諾數(shù)下的空氣系數(shù)；

ρ——空氣密度；

A——初始振幅大小。

雷諾數(shù)Re與空氣系數(shù)Cd之間的函數(shù)關(guān)系如圖4［9］所示。

圖4 雷諾數(shù)Re與空氣系數(shù)Cd間的關(guān)系曲線

因此，要求得阻力系數(shù)k，必須要求得空氣系數(shù)Cd，也就是要知道雷諾數(shù)Re的大小。通過(guò)公式：

式中：ρ——空氣密度；

ν——擺球運(yùn)動(dòng)速度；

D——小球直徑；

η——空氣黏度系數(shù)。

代入相關(guān)數(shù)據(jù)可求得本實(shí)驗(yàn)條件下的雷諾數(shù)為：

而通過(guò)圖4并不能準(zhǔn)確得到此雷諾數(shù)下對(duì)應(yīng)的空氣系數(shù)Cd，因此，用公式將無(wú)法準(zhǔn)確計(jì)算出空氣阻力系數(shù)。而如果采用本實(shí)驗(yàn)方案，以單擺阻尼振動(dòng)為模型，將能夠很好地解決這些問(wèn)題，從而解決了流體力學(xué)無(wú)法準(zhǔn)確測(cè)量低速運(yùn)動(dòng)下空氣阻力系數(shù)的問(wèn)題。

3．2．2 能夠求出在低速情況下任意不同速度時(shí)空氣阻力的大小

單擺作阻尼振動(dòng)時(shí)滿足的位移時(shí)間函數(shù)為：

那么其速度和時(shí)間函數(shù)為：

其所受空氣阻力就可以得到阻力F與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系，那么，在求得阻尼系數(shù)β和空氣阻力系數(shù)k的情況下，就可以求得任何時(shí)刻擺球所受的阻力F大小了。其函數(shù)圖像由Matlab做出，如圖5所示。

圖5 空氣阻力F與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系曲線

由圖5可以看出，阻力F隨時(shí)間t滿足一定的周期性變化規(guī)律，這與實(shí)驗(yàn)分析中阻尼振動(dòng)的速度v呈周期性變化而導(dǎo)致空氣阻力F也呈周期性變化的規(guī)律相一致。

4 結(jié) 語(yǔ)

實(shí)驗(yàn)通過(guò)數(shù)碼相機(jī)研究單擺振幅的衰減規(guī)律，得到了較為準(zhǔn)確的空氣阻力系數(shù)，解決的流體力學(xué)無(wú)法測(cè)量低速情況下空氣阻力系數(shù)的不足。同時(shí)，還能夠得到低速情況下任意速度時(shí)空氣阻力的大小。這些實(shí)驗(yàn)方法對(duì)于測(cè)試空氣阻力的相關(guān)性質(zhì)有一定的參考價(jià)值，另外，此實(shí)驗(yàn)方法成本低，便于推廣。

［1］ 梁冰，甘皓元．在實(shí)驗(yàn)室中利用自由落體測(cè)定空氣阻力系數(shù)［J］．百色學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，22（6）：58－60．

［2］ 李華剛，石智偉．光電法在單擺實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用［J］．科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，2011（4）：185．

［3］ 葉慧群．單擺周期近似解法綜述［J］．浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2004，27（3）：246－249．

［4］ Asia T，Alaska T，Hake S．The physics of football［J］．Phys．World，1998，11（6）：25－27．

［5］ 叢春梅，曲波，劉慧力，等．制動(dòng)摩擦副摩擦特性分析［J］．長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006，27（4）：382－386．

［6］ 陳大學(xué)．高階非線性中立型微分方程的振動(dòng)性［J］．湖南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006，29（1）：2－5．

［7］ 王惠明，莊表中，李振華．關(guān)于有阻尼系統(tǒng)中的阻尼與應(yīng)用［J］．振動(dòng)與沖擊，2010，29（5）：1．

［8］ 金楚華，徐之庭，羅交晚．帶阻尼項(xiàng)的二階線性微分方程的振動(dòng)判據(jù)［J］．華南理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005，33（6）：99－102．

［9］ Green I Risen．Beckham as physicist［M］．［S．l．］：Physics Education，2001．