固體推進劑/襯層界面裂紋的指數(shù)型分層界面層模型①

邸 克，楊月誠

(第二炮兵工程大學601室，西安 710025)

固體推進劑/襯層界面裂紋的指數(shù)型分層界面層模型①

邸 克，楊月誠

(第二炮兵工程大學601室，西安 710025)

建立了固體推進劑/襯層界面裂紋的指數(shù)型分層界面層模型，該模型將界面層劃分為多個子層，并在每一子層中用指數(shù)函數(shù)表示界面層初始模量的分布。應用Fourier變換方法推導出一個Cauchy型奇異積分方程組，采用配點數(shù)值方法得到平面應力狀態(tài)下裂紋問題的半解析解，并討論了法向和剪切應力加載下界面層參數(shù)對應力強度因子的影響。結果表明，界面層模量降低時，應力強度因子的絕對值顯著減小;界面層厚度對應力強度因子的影響相對不明顯。

固體推進劑;襯層;界面層;分層模型;裂紋;應力強度因子

0 引言

固體推進劑/襯層粘結界面是固體發(fā)動機的一個薄弱環(huán)節(jié)，是影響發(fā)動機結構完整性的關鍵因素，該類界面的裂紋問題更是學者們關注的熱點。在這一領域，人們主要采用了有限元數(shù)值方法［1-2］或實驗研究［3］，獲得了界面斷裂參量及影響裂紋擴展的因素。但這類界面裂紋的理論分析卻未見報道，界面粘結結構對裂紋宏觀方面的影響也未曾獲取。因此，很有必要構建一個合適的推進劑/襯層界面力學模型，并深入開展其裂紋問題的理論研究。

為了合理簡化界面結合部，有效研究界面斷裂問題，人們提出了許多界面力學模型，如理想界面模型［4］、接觸界面模型［5］和無滑動區(qū)界面模型［6］等。而對于真實的NEPE推進劑/襯層界面，吳豐軍等［7］采用納米壓痕儀和超聲波掃描顯微鏡，證明了其粘結界面層是模量和硬度呈現(xiàn)梯度變化的非均勻結構。因此，表征推進劑/襯層界面斷裂問題時，選擇Delale和Erdogan［8］提出的功能梯度界面層模型(也稱為非均勻界面層模型)是合適的。這種界面層模型將界面粘結區(qū)域看成功能梯度材料(FGM)，并充分考慮了界面粘結處材料的細觀結構對宏觀力學性能的影響。此后，人們采用某一種特定的函數(shù)表征界面層力學屬性的變化，如冪律函數(shù)［9］和倒數(shù)函數(shù)［10］等。另外，相對上述單層界面層模型，Li提出了互擴散界面層模型［11］，即將界面層分成2層，用2種函數(shù)表示其模量的變化。最近十幾年，人們發(fā)展了一類FGM分層模型，即將界面層(或涂層)分成多個子層，每一子層中用某種函數(shù)表示材料屬性的變化。對于垂直于FGM屬性梯度方向的裂紋問題，人們在每一子層中采用了常數(shù)［12］、線性函數(shù)［13］和倒數(shù)函數(shù)［14］表征FGM屬性變化。這類分層模型對于描述FGM屬性在空間上任意變化方面具有很大優(yōu)勢。

為了能真實準確地表征推進劑/襯層界面粘結區(qū)域材料屬性的任意分布，本文為其建立了一個新的指數(shù)型分層模型。通過推導并數(shù)值求解Cauchy型奇異積分方程組，得到裂紋問題的半解析解，并討論Ⅰ和Ⅱ型應力強度因子隨界面層有關參數(shù)的變化規(guī)律。

1 指數(shù)型分層界面層模型

如圖1所示，該模型將界面層劃分成N個厚度相等的子層，每一子層中均采用指數(shù)函數(shù)逼近真實的模量，其中各子層下端面的高度值分別是hk(k=1，2，…，N)。模型中約束襯層上端面的位移，并在界面層第m個子層下端面處設置一長度c=2a，平行于x軸的裂紋。襯層和界面層均看成無限長的條狀結構，厚度分別為hL和h0，推進劑的長和高均為無限大。其中，界面層厚度h0表示襯層本體和推進劑本體之間的模量變化區(qū)域總厚度。假設模型中各層粘彈性材料的松弛模量(y，t)均可寫成初始模量Ek和時間因子f0(t)相乘的形式:

在求解該類問題時，一般應用FGM的粘彈性對應原理［15］，先按照彈性理論求得對應的彈性解，再轉化為粘彈性解。

圖1 固體推進劑/襯層界面的指數(shù)型分層界面層模型Fig.1 Exponential multi-layered interfacial zone model for the solid propellant/liner interface

假設襯層和推進劑的初始模量分別是常數(shù)E0和EN+1，界面層各子層中采用近似模量Ek(y)(k=1，2，…，N)逼近真實模量Er(y)。其中，Ek(y)為連續(xù)的指數(shù)型分段函數(shù)，并在各子層下端面(y=hk)處Ek(y)和真實模量Er(y)相等，即

此外，假設襯層和推進劑的泊松比分別是常數(shù)ν0和νN+1，界面層每一子層中近似的泊松比為νk(y)，且在子層下端面處νk(y)和真實泊松比νr(y)相等，即

注意到隨著子層個數(shù)N的增加，模型中Ek(y)和νk(y)將分別趨近于Er(y)和νr(y)，這時模型達到準確表征界面層真實材料屬性分布的目的。因此，該分層模型比單層界面層模型和互擴散模型更適合求解界面層材料屬性在空間上任意變化時的裂紋問題。由于指數(shù)函數(shù)比線性函數(shù)和倒數(shù)更能使FGM裂紋問題的控制微分方程形式簡單，且便于求解。因此，本文的分層模型比線性分層模型和倒數(shù)分層模型更便于公式推導和計算。此外，相對于均勻分層模型(子層中材料屬性為常數(shù))，本文的分層模型能避免子層之間材料參數(shù)的不連續(xù)現(xiàn)象。

2 應力強度因子的求解

考慮平面應力狀態(tài)下的彈性問題，在每一子層中，由物理方程、相容方程及式(2)可得到含Airy應力函數(shù)φk(k=1，2，…，N)的控制方程:

式中 ▽2為Laplace算子。

由于泊松比對應力強度因子影響很?。?］，因此為了簡化推導過程，可令:

通過求解方程(5)，可得到νk(y)具有以下函數(shù)形式:

其中，未知量C1k和C2k可由式(3)確定。

對式(4)作關于坐標x，定義為=φkexp(-iax)dx的Fourier變換，并結合式(5)，可得到:

方程(7)的通解為

對于界面層中每一子層，結合式(8)和模型中的幾何方程，可得到Fourier變換域中位移和應力的向量表達式:

Tk的元素為

參照方程(4)可看出，襯層和推進劑中的Airy應力函數(shù)分別滿足以下控制方程:

相應地，襯層和推進劑中位移和應力的向量表達式分別為

該模型的邊界條件:

(1)襯層上端面處(y=h0+hL)x和y方向的位移均為0:

(2)各層界面處位移和應力的連續(xù)性條件:

式中 ΔSm={，，0，0}T;和為 Fourier變換域中裂紋面處位移增量;δmk為 Kronecker符號。

結合式(9)及式(11)～(13)，并經(jīng)過復雜的推導，可得到含裂紋的子層中位移應力向量Sm和ΔSm的關系式:

為了求解應力強度因子，引入以下2個位錯密度函數(shù):

將式(16)代入式(15)并分離出應力分量后，可得到Cauchy型奇異積分方程組:

該問題的位移單值條件為

考慮到函數(shù)^g1(x)和^g2(x)在x=±1處的奇異性，這里將其分別表示為

結合式(17)～式(19)，并根據(jù) Erdogan等［16］提出的配點方法，可得到f1(x)和f2(x)的數(shù)值解，將其代入式(16)和式(19)，可得到向量差ΔSm。根據(jù)各層材料位移應力向量的表達式(9)、(11)和(14)以及邊界條件(13)，并通過Fourier反變換，可直接得到襯層、推進劑和界面層各區(qū)域的應力場和位移場，而各處材料的應變場，可結合物理方程獲得。本模型中，相對于襯層和推進劑，界面層中裂紋尖端處材料更容易發(fā)生破壞。因此，本文將重點分析應力強度因子(SIF)這一重要的斷裂參量。

以裂紋右尖端為例，Ⅰ和Ⅱ型應力強度因子被p0=max})無量綱化后，可得到其對應的彈性解表達式:

由于模型中施加的是應力載荷，Ⅰ和Ⅱ型粘彈性應力強度因子可分別由對應的彈性應力強度因子和載荷函數(shù)相乘直接得到［17］，與時間因子f0(t)無關。因此，本文只討論應力強度因子對應的彈性解隨各參數(shù)的變化規(guī)律。

3 算例驗證與結果分析

3.1 算例驗證

為了驗證本模型的有效性，將其近似退化成單層界面層模型進行計算，并將結果和經(jīng)典文獻［8］對比。計算時，令裂紋位于界面層中線處，并在裂紋面上施加純法向應力載荷，且hL相對于h0足夠大。令Er(y)為指數(shù)型函數(shù)，E0/EN+1=3，ν0=νN+1=0.3。計算結果如表1所示?？梢姡疚哪Ｐ秃臀墨I［8］的結果吻合良好，這可證明采用本文所建立的模型時計算結果正確可靠。

3.2 結果分析

文獻［7］在實驗中表明，推進劑/襯層界面貯存時間延長時，界面層的模量明顯減小，而推進劑和襯層的模量相對變化不大。參照該實驗數(shù)據(jù)，本文在計算時，選擇襯層和推進劑的初始模量分別為3.3 MPa和3.9 MPa，其泊松比均為0.495，襯層和界面層厚度分別為1 mm和0.08 mm。將裂紋設置于界面層中線處，并設置子層個數(shù)N=6。

假設界面層中線處真實模量為Ep，從E0到Ep再到EN+1真實模量Er(y)隨y坐標線性變化。另外，假設界面層真實泊松比函數(shù)νr(y)從ν0到νN+1也隨y坐標線性變化。該模型中，通過調(diào)節(jié)Ep的值以體現(xiàn)界面層整體模量的變化。此外，基于文獻［7］中界面層模量隨貯存時間的變化規(guī)律，選取Ep為18、9、3 MPa，分別代表界面層貯存前期、中期和后期的模量。

綜合圖2、圖3可看出，在純法向和純剪切應力加載下，界面層模量對KⅠ和KⅡ的大小及隨裂紋長度的變化規(guī)律都有顯著的影響。統(tǒng)一地講，KⅠ和KⅡ的絕對值均隨界面層貯存時間的延長(界面層模量的減小)而減小。當裂紋長度和界面層厚度相等時(c=0.08 mm)，從界面貯存前期到后期，純法向應力加載下的KⅠ和純剪切應力加載下的KⅡ分別減小了52.2%和28.9%。因此，計算推進劑/襯層界面裂紋應力強度因子時，應充分考慮到界面層模量的影響，這也同時說明了建立本模型是非常必要的。

圖2 法向應力加載下Ⅰ和Ⅱ型應力強度因子隨裂紋長度的變化Fig.2 Variations of mode Ⅰ and modeⅡ stress intensity factors with crack sizes under normal stress loading

圖3 剪切應力加載下Ⅰ和Ⅱ型應力強度因子隨裂紋長度的變化Fig.3 Variations of modeⅠ andⅡstress intensity factors with crack sizes under shear stress loading

圖4、圖5分別顯示不同貯存時期內(nèi)，純法向應力加載下的KⅠ和純剪切應力加載下的KⅡ隨界面層總厚度h0的變化規(guī)律(襯層厚度不變，c=0.1 mm)。在界面層貯存前期和中期，KⅠ和KⅡ均隨著界面層厚度的增加而減小，而在貯存后期，KⅠ和KⅡ基本不隨界面層厚度的變化而變化?？傊缑鎸雍穸葘Ⅰ和KⅡ都有一定影響，但不如界面層模量的影響明顯。

圖4 法向應力加載下Ⅰ型應力強度因子隨界面層厚度的變化Fig.4 Variations of mode Ⅰ stress intensity factors with interfacial zone＇s thicknesses under normal stress loading

圖5 剪切應力加載下Ⅱ型應力強度因子隨界面層厚度的變化Fig.5 Variations of mode Ⅱ stress intensity factors with interfacial zone＇s thicknesses under shear stress loading

4 結論

(1)文中為固體推進劑/襯層界面建立了一個新的指數(shù)型分層界面層模型，該模型通過將界面層劃分成多個子層，可有效地求解界面層初始模量和泊松比在空間上任意變化時的裂紋問題。

(2)計算結果表明，界面層模量因界面貯存時間的延長而降低時，Ⅰ和Ⅱ型應力強度因子的絕對值顯著減小。當裂紋長度和界面層厚度相等時，純法向應力加載下的KⅠ和純剪切應力加載下的KⅡ分別減小了52.2%和28.9%。此外，界面層厚度對Ⅰ和Ⅱ型應力強度因子的影響相對不明顯。

(3)本文對功能梯度界面層模型在工程方面的應用有一定參考價值，對求解簡單的推進劑/襯層界面斷裂問題也有一定理論意義;而對于真實的三維固體推進劑/襯層粘結界面的斷裂問題，也應充分考慮界面層有關參數(shù)對其影響，并可將本模型作適當擴展，再結合有限元等數(shù)值方法進行分析計算。

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Exponential multi-layered interfacial zone model for solid propellant/liner interface crack

DI Ke，YANG Yue-cheng
(601 Staff Room，The Second Artillery Engineering University，Xi＇an 710025，China)

An exponential multi-layered interfacial zone model was developed for the solid propellant/liner interface crack.In the model，the interfacial zone was divided into some sub-layers with the initial modulus of each sub-layer varying in an exponential manner.The method of Fourier transform was employed and a set of Cauchy singular integral equations was derived.A collocation method was used to obtain the semi-analytical solution of the crack problem under plane stress condition，and the influences of the interfacial zone＇s parameters on the stress intensity factors were discussed when the crack was subjected to normal and shear stresses.The results show that when the interfacial zone＇s modulus decreases，the absolute values of the stress intensity factors decrease significantly.The effects of the interfacial zone＇s thickness on the stress intensity factors are not significant relatively.

solid propellant;liner;interfacial zone;multi-layered model;crack;stress intensity factor

V512

A

1006-2793(2012)04-0516-06

2012-04-08;

2012-05-28。

邸克(1984—)，男，博士生，研究方向為固體火箭發(fā)動機界面斷裂。E-mail:12345aaaaak@163.com

(編輯:呂耀輝)