一種新的基于可逆矩陣的具有完整性檢驗(yàn)?zāi)芰Φ膱D像加密方案

歐鍛灝， 孫 偉， 林 博

（1. 中山大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，廣東 廣州 510006；2. 中山大學(xué)軟件學(xué)院，廣東 廣州 510006）

隨著多媒體技術(shù)和互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展，越來越多的個(gè)人和公眾信息特別是多媒體信息在公開的網(wǎng)絡(luò)上方便地傳輸。因而，圖像信息的安全問題備受人們的關(guān)注。為了保證圖像信息的安全，常用的處理方法是對圖像進(jìn)行加密處理，使得攻擊者無法從秘密圖像中得到任何信息。由于該課題的重要性，圖像加密的研究吸引了廣大學(xué)者的關(guān)注。目前，圖像加密主要通過圖像置亂，灰度值替代或兩者相結(jié)合的方法實(shí)現(xiàn)。丁瑋等[1]提出了一種基于 Arnold置亂的數(shù)字圖像加密方案，該方法雖然簡單易行，但是Arnold置亂過程速度較慢，且密鑰短。置亂方法中Arnold置亂[1]和 Gray碼置亂[2]僅僅對原圖像的像素的位置進(jìn)行重排列，并不改變原圖像的顏色直方圖，因而容易受到統(tǒng)計(jì)分析方法的攻擊而被破譯，安全性不高。而在灰度替換的圖像加密過程中，采用的方法主要是以形式固定的矩陣進(jìn)行置亂，圖像的置亂效果和安全性往往依賴于置亂的次數(shù)。

目前許多學(xué)者致力于研究新的圖像加密方案[3-4]，以提高方案的安全性和效率。但在這些方案中大都沒有檢驗(yàn)密圖完整性的能力。為了擴(kuò)展應(yīng)用，本文基于組合理論知識(shí)和可逆整數(shù)矩陣，設(shè)計(jì)出一個(gè)具有完整性檢驗(yàn)?zāi)芰Φ膱D像加密方案。

1 關(guān)于模M的可逆整數(shù)矩陣

文獻(xiàn)[5]基于組合理論的性質(zhì)，利用一個(gè)整數(shù)導(dǎo)出了可逆整數(shù)矩陣和其逆矩陣的表達(dá)式。設(shè)給定整數(shù)x≥0，由關(guān)系式

為元素可以構(gòu)造一個(gè)與A(x)互逆的n階整數(shù)矩陣

由文獻(xiàn)[5]的證明可知，所構(gòu)造的矩陣A(x)和B(x)互逆，且矩陣均由x決定。在圖像加密過程中，x可以作為加解密的密鑰。

但是由于計(jì)算組合數(shù)的緣故，導(dǎo)出生成的可逆矩陣元素值可能非常大，以致超過256灰度級的范圍。為了解決這個(gè)問題，將以上得到的可逆矩陣的所有元素模M。顯而易見，模M后的矩陣同樣是?？赡娴模?/p>

2 基于可逆整數(shù)矩陣的圖像加密方案

一幅灰度圖G可以視為一個(gè)元素值為[0,255]的整數(shù)矩陣。本方案首先給出密鑰x、M= 256、以及密鑰矩陣的大小blocksize，然后根據(jù)第1節(jié)描述的算法，產(chǎn)生一對模256的可逆矩陣A和B，其值的范圍為[0,255]。在加密方案中，矩陣B用來作為加密的密鑰，而A用來作為解密的密鑰。A和B均可由x導(dǎo)出生成，在加密解密過程中，僅需要把x作為密鑰保存即可。

加密前對秘密圖像進(jìn)行預(yù)處理，即將原始圖像的像素加128，目的是為了處理全黑的特殊情況。解密恢復(fù)時(shí)，把得到的結(jié)果相應(yīng)的減去128。假定，經(jīng)過預(yù)處理之后的灰度圖像為

其中g(shù)ij為圖像坐標(biāo)(i, j)處的灰度值。

2.1 加密過程

加密過程分為兩個(gè)過程，具體描述如下：

Phase 1 將密鑰矩陣B從圖像G的左上角，以1/4× b locksize 的步驟，從左到右，從上到下覆蓋地掃描到右下角，得到G'。移動(dòng)過程中，密鑰矩陣B和掃描經(jīng)過的圖像塊block的作用方式

Phase 2 將密鑰矩陣Β從G'的右下角，以1/4× b locksize的步驟，從右到左，從下到上覆蓋地掃描到左上角，得到G''。移動(dòng)過程中，密鑰矩陣B和掃描經(jīng)過的圖像塊block的作用方式

加密過程中的掃描方式，決定了塊的變化將對其他塊的恢復(fù)產(chǎn)生影響。而掃描過程中，加密矩陣和矩陣塊的作用方式，決定了塊內(nèi)點(diǎn)的變化將對塊內(nèi)其他點(diǎn)的恢復(fù)產(chǎn)生影響，這就增加了像素點(diǎn)之間的相關(guān)性。這樣，加密圖像出現(xiàn)微小變化，將影響到恢復(fù)圖像的全局變化。因此，該圖像的加密方案是脆弱的。該性質(zhì)可以用作圖像信息的完整性檢驗(yàn)。

2.2 解密過程

解密密鑰A同樣可由x生成導(dǎo)出，且A與B是模256的可逆矩陣。解密過程是加密的簡單逆過程，也分為兩個(gè)階段，具體流程如下：

Phase 1 將密鑰矩陣A從G''的左上角，以1/4× b locksize 的步驟，從左到右，從上到下覆蓋地掃描到右下角，得到G'。而移動(dòng)過程，密鑰矩陣A和掃描經(jīng)過的矩陣塊block的作用方式

Phase 2 將密鑰矩陣A從G'的右下角，以1/4 × b locksize的步驟，從右到左，從下到上覆蓋的掃描到左上角，得到圖像G。而移動(dòng)過程中，密鑰矩陣A和掃描經(jīng)過的矩陣塊block的作用方式

最后，將圖像G的像素按照預(yù)處理的逆過程減去128，便可得到原始的秘密圖像。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

3.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在實(shí)驗(yàn)中，令密鑰x=1， b locksize= 3 2，。根據(jù)第1節(jié)描述的算法，產(chǎn)生一對模256的可逆整數(shù)矩陣A和B，作為密鑰矩陣。選擇復(fù)雜圖像 Fishingboat，Lena，Clock，Baboon和簡單黑白圖像S作為測試圖像，所有測試圖像大小均為256× 256。系統(tǒng)環(huán)境 Windows7，安裝內(nèi)存 2G，CPU 2.90GHZ，實(shí)驗(yàn)測試環(huán)境matlab7.9。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1所示。

圖1的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，不管是復(fù)雜的自然圖像，還是輪廓明顯的簡單黑白圖像，加密后的密圖是一個(gè)均勻的噪聲圖。而且，當(dāng)密圖中的某一個(gè)像素發(fā)生微小變化時(shí)，解密得到的圖像仍然是噪聲圖，得不到原始圖像的任何信息，所以該加密方案是脆弱、易損的。通過人眼視覺可以判斷該秘密圖像是否被篡改，從而檢驗(yàn)密圖信息的完整性，不需要任何復(fù)雜的計(jì)算。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了圖像加密方案的有效性。

本文為了客觀的描述加密圖像與原始圖像的差別，利用兩圖像的相關(guān)系數(shù)作為圖像相似性的客觀度量[6]。

圖1 圖像 Fishingboat，Lena，Clock，Baboon和S的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了比較，本文對 Lena圖像分別利用本文方案和Arnold置亂方案[7]進(jìn)行測試，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。結(jié)果表示，當(dāng)密圖中的某一像素發(fā)生微小變化時(shí)，利用本文方案解密得到的恢復(fù)圖依然是個(gè)噪聲圖（與原始圖像的相關(guān)系數(shù)ρ= 0 .0005），而 Arnold方案卻可以恢復(fù)出原始圖像的許多信息（與原始圖像的相關(guān)系數(shù)ρ= 0 .9999）。

圖2 Arnold置亂算法與本文算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.2 安全性分析

在進(jìn)行安全性分析前，介紹文獻(xiàn)[8]所描述的一個(gè)定理，即ZM上n階可逆矩陣的個(gè)數(shù)為

4 結(jié) 論

本文提出一種基于可逆矩陣的具有完整性檢驗(yàn)?zāi)芰Φ膱D像加密方案。本方案采用替代加密，而不是置亂加密，可以抵抗直方圖的統(tǒng)計(jì)攻擊。密圖完整性的檢驗(yàn)只需憑借人類視覺系統(tǒng)，不需要任何復(fù)雜的計(jì)算。本方案可以應(yīng)用于數(shù)字圖像隱藏的預(yù)處理，以提高信息的隱蔽性。此外，本文方案可以簡單地?cái)U(kuò)展到彩色圖上的應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)彩色圖的加密，具有良好的擴(kuò)展性和應(yīng)用性。

[1]丁 瑋, 閆偉齊, 齊東旭. 基于 Arnold變換的數(shù)字圖像置亂技術(shù)[J]. 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào),2001, (4): 338-341.

[2]鄒建成, 李國富, 齊東旭. 廣義 Gray碼及其在數(shù)字圖像置亂中的應(yīng)用[J]. 高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào) A 輯(中文版), 2002, (3): 363-370.

[3]Zhou Nanrun, Dong Taiji, Wu Jianhua. Novel image encryption algorithm based on multiple-parameter discrete fractional random transform [J]. Optics Communications, 2010, 283(15): 3037-3042.

[4]Xu Shujiang, Wang Yinglong, Guo Yucui, et al. A novel image encryption scheme based on a nonlinear chaotic map [J]. IJIGSP, 2010, 2(1): 61- 68.

[5]董永勝. 一種整數(shù)矩陣求逆方法的證明[J]. 長春師范學(xué)院學(xué)報(bào), 2007, (4): 4-5.

[6]朱永松, 國澄明. 基于相關(guān)系數(shù)的相關(guān)匹配算法的研究[J]. 信號處理, 2003, (6): 531-534.

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[8]張勝元. Z_n上m階可逆矩陣的計(jì)數(shù)[J]. 福建師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 1999, (1): 18-20.