一類具有HollingⅠⅠⅠ型功能性反應(yīng)的捕食者-食餌系統(tǒng)的周期解的存在性

徐炳祥,曾志軍

(1.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,吉林長(zhǎng)春 130024；2.中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖南長(zhǎng)沙 410075)

一類具有HollingⅠⅠⅠ型功能性反應(yīng)的捕食者-食餌系統(tǒng)的周期解的存在性

徐炳祥1,2,曾志軍1

(1.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,吉林長(zhǎng)春 130024；2.中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖南長(zhǎng)沙 410075)

利用重合度理論中的延拓定理研究帶有開(kāi)發(fā)利用項(xiàng)的具有HollingⅠⅠⅠ型功能性反應(yīng)的捕食者-食餌系統(tǒng),得到了兩個(gè)正周期解存在的充分條件,得到了一些新的結(jié)果.關(guān)鍵詞：重合度；周期解；捕獲項(xiàng)；HollingⅠⅠⅠ功能性反應(yīng)

1 引言

具有功能性反應(yīng)的生態(tài)系統(tǒng)的周期解的存在性問(wèn)題成為了數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)中的一個(gè)很熱門的方向.很多作者利用各自不同的方法得到了許多種類的生態(tài)系統(tǒng)的周期解的存在性,例如文獻(xiàn)[1-4]中,作者分別針對(duì)帶不同的功能性反應(yīng)函數(shù)的生態(tài)系統(tǒng)證明了其周期解的存在性.近來(lái),越來(lái)越多的學(xué)者開(kāi)始關(guān)注具有開(kāi)發(fā)利用項(xiàng)的生態(tài)系統(tǒng)的周期解的存在性問(wèn)題[59].由于人類對(duì)生態(tài)資源的嚴(yán)重依賴,因此研究這個(gè)問(wèn)題具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義,而且在文獻(xiàn)中發(fā)現(xiàn),當(dāng)加入開(kāi)發(fā)利用項(xiàng)時(shí),周期解的個(gè)數(shù)會(huì)增加,這有助于人類對(duì)生態(tài)資源進(jìn)行合理的開(kāi)發(fā)利用.本文利用重合度理論中的延拓定理來(lái)討論如下生態(tài)系統(tǒng)周期解的存在性,給出其充分條件.

在系統(tǒng)(1)中,x(t),y(t)分別代表食餌和捕食者種群的密度,r(t),b(t),c(t),d(t),f(t),h(t)是周期為ω的連續(xù)函數(shù),r(t),b(t)分別代表食餌的出生率和死亡率,積分f(t)代表捕食者的能量轉(zhuǎn)化率,d(t)代表其死亡率,h(t)是開(kāi)發(fā)利用項(xiàng),代表人類對(duì)種群系統(tǒng)的影響.功能性反應(yīng)函數(shù)為HollingⅠⅠⅠ型,有關(guān)此功能性反應(yīng)的詳細(xì)說(shuō)明可以參考文獻(xiàn)[10].系統(tǒng)(1)的生態(tài)學(xué)意義在文獻(xiàn)[11]中有詳細(xì)的說(shuō)明.

出于行文簡(jiǎn)潔的需要,本文約定采用如下記號(hào):

其中g(shù)(t)是有界連續(xù)函數(shù).

2 主要結(jié)果

為了證明周期解的存在性,先來(lái)回顧一下重合度理論中的延拓定理以及相關(guān)知識(shí),其將作為證明的主要工具.

參考文獻(xiàn)

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[3]葉丹,范猛,張偉鵬.一類具Holling II功能性反應(yīng)的捕食者-食餌系統(tǒng)非平凡周期解的存在性[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2004,21(4):504-508.

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[10]陳蘭蓀.生物數(shù)學(xué)引論[M].北京:科學(xué)出版社,1988.

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Existence of periodic solutions of predator-prey system with HollingⅠⅠⅠfunctional response

Xu Bingxiang1,2,Zeng Zhijun1

(1.School of Mathematics and Statistics,Northeast Normal University,Changchun130024,China； 2.School of Mathematics and Statistics,Central South University,Changsha410075,China)

By using the coincidence degree theory,we investigate the existence of positive periodic solutions of predator-prey system with Holling III functional response and exploited terms.Some new criteria are established for the existence of periodic solutions.

coincidence degree,periodic solution,exploited term,Holling III functional response

O175.14

A

1008-5513(2012)04-0523-08

2011-04-01.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11101075)；教育部博士點(diǎn)新教師基金(20090043120009)；國(guó)家大學(xué)生創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)計(jì)劃項(xiàng)目(091020024).

徐炳祥(1989-),碩士生,研究方向：馬爾可夫過(guò)程及其應(yīng)用.

曾志軍(1979-),博士,副教授,研究方向:微分方程及控制理論.

2010 MSC:34K13,92D25