交叉定位模糊區(qū)的精確幾何分析

王洪迅， 彌小溪， 皇甫惠棟， 王 星， 王 超

(1.空軍工程大學工程學院，西安 710038;2.中國人民解放軍93802部隊，陜西臨潼 712200;3.中國人民解放軍63655部隊，烏魯木齊 830000)

0 引言

無源定位以其獨特的隱蔽優(yōu)勢廣泛應用于戰(zhàn)場預警、目標跟蹤。雙站測向交叉定位作為最重要的一種形式，受到國內外學者的重視和研究，理論和工程上已經取得了諸多進展。但是許多學者的研究重點是解決虛假定位以及優(yōu)化布站問題，而對定位模糊區(qū)的研究相對較少，已有的研究大多采取概率統(tǒng)計或幾何近似的方式，所得出的結論存在局限性，本文基于精確幾何法進行研究，給出了模糊區(qū)的完整數(shù)學表達，通過仿真實驗對模糊區(qū)與目標方位的關系進行分析，并與近似法進行對比得出了相關結論，對于純方向無源定位策略的優(yōu)化，提高定位精度具有一定重要參考意義。

1 交叉定位原理

雙站交叉定位原理如圖1所示。其中兩個測向站O1(－R/2，0)和 O2(R/2，0)的位置已知，O3(x，y)為一個需要定位的目標輻射源。測向點O1和O2分別對目標O3輻射源實施測向可得到兩條測向線，設兩條測向線與 x軸的角分別為 θ1、θ2(其中 θ2'為 θ2的補角)，兩測向線的交點就被認為是目標所在位置。

根據(jù)三角關系可知O3的坐標為

考慮由于測向不準所引入的定位誤差，設兩測向站測向誤差分別為 ±Δθ1、±Δθ2，則定位出現(xiàn)模糊區(qū)ABCD(圖1所示陰影區(qū))，該區(qū)域面積即稱之為定位模糊區(qū)面積，顯然模糊區(qū)面積越小定位就越精確。

圖1 交叉定位模糊區(qū)示意圖Fig.1 The ambiguous-area sketch map of beam-crossing location

概率統(tǒng)計方式的主要思路是:將測向站的測向誤差看作均值為零的高斯隨機變量，于是交叉定位點的誤差服從二元正態(tài)分布，而二元正態(tài)分布的等概率輪廓線為一個橢圓，其概率密度函數(shù)為

基于概率統(tǒng)計的方式，文獻［1］分析交叉定位誤差，研究了載機的最佳機動方向，文獻［2－3］在不同的背景下研究了新的交叉定位算法。

文獻［4］研究了交叉定位模糊區(qū)與交會角的關系，將兩測向站的誤差Δθ1，Δθ2看作小量從而得出模糊區(qū)的一種近似形式

式中，β=θ2－θ1。

文獻［5－10］認為O3通常較遠，該區(qū)域可近似為一個平行四邊形，通過近似幾何分析求得該區(qū)域面積如式(4)或式(5)所示。其中:H為O3到測量基線x軸的距離;R為兩測向基站之間的距離;Δθ1、Δθ2單位為弧度。

依據(jù)上式可得出以下結論:輻射源距離R越遠，測向誤差越大，模糊區(qū)面積也就越大;被測點與兩個測向站連線之間距離H一定時，當θ1和θ2'均為π/3時模糊區(qū)面積最?。?－10］。至于幾何近似對測向交叉定位誤差分析的影響程度有多大文獻中并未說明。

2 誤差的精確幾何分析

觀察可知，兩種幾何近似實質上是相同的，近似的程度無從得知，分析圖1的幾何關系，四邊形ABCD的面積是影響定位精度的重要因素，只有對其進行精確求解才能確定其變化規(guī)律，當目標與兩測向站基線的夾角為0°時，誤差趨于無窮大［11］，所以首先假定目標不在兩測向站的基線或延長線上，即目標的位置坐標O3(x，y)中y≠0。于是可得出四邊形ABCD的表達形式為

將式(7)～式(10)代入式(6)，此處略去詳細推導過程，整理可得

或者

以上就是模糊區(qū)的精確數(shù)學表達。可以驗證，當θ1，θ2(或)中任何一個為 π/2時，或者任一個為銳角，另一個為鈍角時上述公式均成立。

3 仿真及分析

3.1 仿真條件

目標在空間所處的位置變化時，兩個測向站對應于該目標的方位角隨之改變，測得的模糊區(qū)也有所不同，為了得出模糊區(qū)面積的分布規(guī)律，仿真以平面上的目標位置為自變參數(shù)，模糊區(qū)面積為因變參數(shù)，x的范圍為(－100 km，100 km)，y的范圍為(0 km，200 km)，兩測向基站坐標分別為(－50 km，0 km)、(50 km，0 km)。

3.2 結論分析

分4種情況進行仿真:1)Δθ1=Δθ2=π/90;2)Δθ1=Δθ2=π/120;3)Δθ1=Δθ2=π/180;4)Δθ1=π/90，Δθ2= π/180。

不同情況下的模糊區(qū)面積隨目標方位的等值線分布如圖2～圖5所示。圖中，橫縱坐標代表方位(單位:km)，等值線上的數(shù)值代表模糊區(qū)面積(單位:km2)。

圖2 模糊區(qū)面積分布(Δθ1=Δθ2=π/90)Fig.2 The ambiguous-area distribution(Δθ1=Δθ2=π/90)

圖3 模糊區(qū)面積分布(Δθ1=Δθ2=π/120)Fig.3 The ambiguous-area distribution(Δθ1=Δθ2=π/120)

圖4 模糊區(qū)面積分布(Δθ1=Δθ2=π/180)Fig.4 The ambiguous-area distribution(Δθ1=Δθ2=π/180)

圖5 模糊區(qū)面積分布(Δθ1=π/90，Δθ2=π/180)Fig.5 The ambiguous-area distribution(Δθ1= π/90，Δθ2=π/180)

由圖2～圖5可以分析得出以下結論。

1)模糊區(qū)面積隨目標方位的分布中存在一個“駐點”，經計算，該駐點即 θ1=π/6，θ2=5π/6 時的測向交叉點，與測向誤差無關，而且，在雙站基線的中垂線意義上可以看作極小點，而在目標與雙站連線意義上又是極大點。

2)定位模糊區(qū)的面積隨著測角誤差的增大呈上升趨勢;模糊區(qū)的面積并不簡單地隨著目標距離的增加而增加，必須限定空域。

3)模糊區(qū)面積的最小值出現(xiàn)在兩個測向站附近。

為了與近似法進行比較，在相同的條件下對近似法的結論做了仿真，近似法的模糊區(qū)面積用S2表示，兩者的相對誤差表示為

相對誤差的等值分布如圖6～圖9所示。

圖6 Δθ1=Δθ2=π/90相對誤差分布Fig.6 The relative error distribution(Δθ1=Δθ2=π/90)

由圖6～圖9可以看出:1)隨著雙站測角誤差的增大，近似法的模糊區(qū)相對誤差增大，而且測角誤差的不同對模糊區(qū)相對誤差的分布有較大的影響;2)雙站周圍存在一個類月牙形區(qū)域，此區(qū)域之內對模糊區(qū)進行近似幾何分析的結果與實際相當接近，可以代替精確結果，但此區(qū)域之外，近似法的誤差較大，尤其當測角誤差較大時，近似法的可信度不高，而精確幾何法的結果比較合適。

圖7 Δθ1=Δθ2=π/120相對誤差分布Fig.7 The relative error distribution(Δθ1= Δθ2= π/120)

圖8 Δθ1=Δθ2=π/180相對誤差分布Fig.8 The relative error distribution(Δθ1= Δθ2= π/180)

圖9 Δθ1=π/90，Δθ2=π/180相對誤差分布Fig.9 The relative error distribution(Δθ1= π/90，Δθ2=π/180)

4 結束語

本文研究了雙站交叉定位的定位模糊區(qū)問題，給出了模糊區(qū)面積的完整數(shù)學表達，通過仿真確定了模糊區(qū)隨目標位置的分布規(guī)律，并與近似法的分析結果做了對比，得出了相關結論，為雙站以及多站無源定位傳感器配置提供理論參考，具有一定借鑒意義。如何結合模糊區(qū)的精確分析結論盡可能提高無源定位的精度，使其在探測預警、引導武器發(fā)射方面發(fā)揮更大的作用，有待進一步研究。

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