機器人靈巧手柔性關(guān)節(jié)自適應(yīng)阻抗控制

樊紹巍， 宗華， 邱景輝， 陳兆芃

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)機器人技術(shù)與系統(tǒng)國家重點實驗室，黑龍江哈爾濱150001;2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001;3.德國宇航中心機器人與系統(tǒng)動力學(xué)研究所，慕尼黑韋斯林82230)

0 引言

多指仿人靈巧手的研究是類人型機器人中的難點，也是實現(xiàn)仿人機器人靈巧操作的關(guān)鍵系統(tǒng)。近年來高集成度高性能靈巧手的出現(xiàn)對控制系統(tǒng)提出了更高要求［1-5］。特別是同步齒形帶、繩索及微型諧波減速器的引入，在有效減小機器人體積的同時，引入的關(guān)節(jié)柔性也得到了許多研究者的注意。在Sweet和Good等人闡述了關(guān)節(jié)柔性對機器人的控制性能的影響［6-7］后，Spong建立了柔性機器人關(guān)節(jié)模型［8］。隨后出現(xiàn)了一些典型柔性控制方法［9-11］，盡管上述的控制策略驗證了理論的有效性，但實際應(yīng)用不盡理想。針對上述問題，Albu-Schaer和Hirzinger開發(fā)了具有非線性摩擦補償?shù)腜D控制器，并通過實驗證明了該控制器在柔性關(guān)節(jié)機器人上的有效性［12］。為了避免上述方法高增益項的不穩(wěn)定性，Albu-Shaer和Ott等人提出基于無源性控制的方法，該方法針對具有關(guān)節(jié)力矩反饋的柔性關(guān)節(jié)機器人進行了深入的研究和大量的實驗分析［13-15］。

上述研究盡管考慮了關(guān)節(jié)的柔性補償問題，但對于關(guān)節(jié)中的非線性摩擦力沒有進行深入研究。針對基于關(guān)節(jié)力矩控制的機器人靈巧手來說，其關(guān)節(jié)的高集成度設(shè)計和小范圍精細操作的任務(wù)要求，非線性摩擦力對其控制穩(wěn)定性的影響也顯現(xiàn)出來，因此在考慮關(guān)節(jié)柔性的同時，不得不對其關(guān)節(jié)摩擦力進行補償。通常針對摩擦力的不確定性，許多研究者采用了基于干擾觀測器的方式進行具有摩擦力補償?shù)臋C器人控制的補償方法［16-18］，結(jié)合 HIT/DLR Hand II五指靈巧手各手指關(guān)節(jié)摩擦力的不確定性的特點，提出一種具有自適應(yīng)補償摩擦力的阻抗控制策略顯得尤為重要。

建立了具有柔性關(guān)節(jié)的HIT/DLR II靈巧手控制模型，并在靈巧手中實現(xiàn)了基于關(guān)節(jié)力矩的阻抗控制器，提出了基于擴展卡爾曼濾波器的自適應(yīng)摩擦力觀測器和基于最小二乘法的重力優(yōu)化補償策略，以實現(xiàn)靈巧手控制系統(tǒng)的自適應(yīng)性，提高穩(wěn)定性和準確性。

1 HIT/DLR II型靈巧手控制模型

HIT/DLR II型五指靈巧手如圖1所示。HIT/DLR II型五指靈巧手的傳動系統(tǒng)為同步齒形帶結(jié)合諧波減速器的形式，這種傳動方式的關(guān)節(jié)柔性遠大于關(guān)節(jié)間桿件的柔性。以手指末端關(guān)節(jié)2為例，其關(guān)節(jié)柔性可由剛度為k的彈簧表示，如圖2所示。機器人手指其他關(guān)節(jié)模型與之相同。

圖1 HIT/DLR II五指仿人靈巧手Fig.1 Five-fingered anthropomorphic dexterous robot hand HIT/DLR II

圖2 靈巧手柔性單關(guān)節(jié)及其模型Fig.2 Single flexible joint of robot finger and modeling

柔性機器人靈巧手單關(guān)節(jié)動力學(xué)［19］可表示為

其中:?l，?m分別為經(jīng)過傳動比1/n換算的關(guān)節(jié)位位置和電機位置;zext為關(guān)節(jié)所受外力矩;Jm和Jl分別為電機和關(guān)節(jié)端的慣量;Bm，Bl，Jm，Jl分別為電機及關(guān)節(jié)端粘滯摩擦系數(shù)和慣量;gl為重力?；P(guān)節(jié)(關(guān)節(jié)0，1)俯仰和側(cè)擺兩個自由度所采用的如圖3所示的差動耦合機構(gòu)的機器人模型可表示為

其中:θl為差分耦合機構(gòu)之前的關(guān)節(jié)端位置;θq為差分耦合機構(gòu)之后的的關(guān)節(jié)端位置，可用q表示;靈巧手手指中有一個差分耦合關(guān)節(jié)，因此q∈R3;τ為關(guān)節(jié)端力矩;τl為差分耦合機構(gòu)之前的關(guān)節(jié)端力矩。完整的機器人靈巧手手指動力學(xué)模型為

式中:M(q)，C(q)和g(q)分別為慣量矩陣，離心力項和重力項;關(guān)節(jié)力矩由K(Lq-θm)表示;θm為經(jīng)過傳動比1/n的電機位置;L為差分耦合齒輪變換矩陣;q為關(guān)節(jié)端位置;K，Jm分別為包含柔性關(guān)節(jié)剛度系數(shù)的對角矩陣和乘以傳動比平方的電機慣量;τext和 τf，m分別為在關(guān)節(jié)空間的廣義外力向量和摩擦力向量;驅(qū)動器廣義力矩τm在控制器中為控制輸入。機器人手指各關(guān)節(jié)的坐標系建立和DH參數(shù)分別如圖4和表1所示。

圖3 基關(guān)節(jié)差分耦合機構(gòu)及其模型Fig.3 Differential bevel gears and modeling

圖4 手指關(guān)節(jié)坐標系建立Fig.4 Frame assignments and parameters in robot finger

表1 HIT/DLR II型靈巧手DH參數(shù)Table 1 DH parameters of HIT/DLR Hand II

2 柔性關(guān)節(jié)機器人靈巧手阻抗控制

2.1 關(guān)節(jié)空間阻抗控制

機器人的目標阻抗模型可由質(zhì)量-彈簧-阻尼機構(gòu)來描述，如圖2所示。其中Kd和Dd分別為彈簧-阻尼系統(tǒng)的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)?？紤]關(guān)節(jié)柔性的影響，基于關(guān)節(jié)力矩的阻抗控制使電機轉(zhuǎn)動慣量表面上減小，從而使阻抗控制的柔順性更為有效［20］。式(7)可在關(guān)節(jié)空間中變換為

使用一個新的控制輸入u，即

式中:Jc為對角正定矩陣，且該矩陣中jci＜ji。由此可知，電機實際慣量從J減小到了表面慣量Jc，即

表面慣量的減小將提高阻抗控制柔順性能。實際慣量和表面慣量的比率JmJ-1c在應(yīng)用中由HIT/DLR II型靈巧手中關(guān)節(jié)力矩傳感器的噪聲決定。在高剛度阻抗控制中，這個比率應(yīng)該取比較小的值。

基于無源控制的思想，關(guān)節(jié)空間阻抗控制可以采用基于電機位置的PD型控制器，即

2.2 笛卡爾空間阻抗控制

機器人靈巧手末端操作器位置和姿態(tài)可由一組笛卡爾空間局部坐標x∈Rm來表示。x與機器人關(guān)節(jié)位姿坐標向量q∈Q的關(guān)系描述為x=f(q)，f:Q→Rm，即機器人正運動學(xué)。由微分運動學(xué)雅可比矩陣J(q)=?f(q)/?q可以得到機器人的笛卡爾空間速度和加速度為

由于機器人靈巧手工作空間均為手指非奇異位置，因此J(q)為滿秩矩陣。引入位置誤差～x=xxd，其中xd為虛擬穩(wěn)態(tài)點坐標，在機器人運動過程中為時變量。笛卡爾空間阻抗控制器設(shè)計的目標是基于系統(tǒng)動力學(xué)方程(6)，使作用在靈巧手末端的廣義外力/力矩Fext∈Rm和位置誤差～x滿足以下目標阻抗關(guān)系，即

其中，Λd，Dd和Kd分別為目標阻抗關(guān)系中的對稱正定慣量矩陣，阻尼系數(shù)矩陣和剛度系數(shù)矩陣。作用在靈巧手末端操作器上的廣義外力可在關(guān)節(jié)空間中表示為

由式(18)和式(19)可以得到

將其代入式(6)可得

其中，q=f-1(x)，并且=J［f-1(x)］。

將關(guān)節(jié)空間中的重力力矩g(q)和關(guān)節(jié)力矩τ在笛卡爾空間中表示為Fg(x)和新的控制輸入向量Fτ，整個系統(tǒng)動力學(xué)方程可以表示為

控制力矩τ可設(shè)計為

根據(jù)式(29)，式(28)可簡化為

機器人靈巧手在進行操作時運行速度相對較低，離心力和科里奧利力項可以忽略不計。另外，目標阻抗關(guān)系中Λd可以設(shè)計為與機器人慣量矩陣Λ(x)相同，這樣就在控制器設(shè)計中避免了外力/力矩項Fext。阻抗控制規(guī)律為

阻抗控制器輸入力矩在關(guān)節(jié)空間中的表達式為

在正運動學(xué)x=f(q)中使用電機位置向量θ代替關(guān)節(jié)端位置向量q，基于PD內(nèi)環(huán)位置控制的靈巧手笛卡爾空間阻抗控制器可以由式(33)的形式獲得，反饋控制規(guī)律為

其中:Kx和Dx分別為阻抗控制剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)矩陣，分別對應(yīng)于式(32)中的Kd和Dd;xd為笛卡爾坐標系中電機的虛擬平衡位置。綜合式(33)和式(14)，包含笛卡爾空間阻抗控制器的機器人靈巧手笛卡爾空間動力學(xué)閉環(huán)方程為

2.3 基于最小二乘法的最優(yōu)化重力補償

在基于PD位置控制的機器人阻抗控制策略中，可以使用電機位置進行準穩(wěn)態(tài)的重力補償。柔性關(guān)節(jié)機器人靈巧手中的重力表示為

其中:V:Rn→R為機器人靈巧手手指的勢能;θ為關(guān)節(jié)控制位置向量;hi為各個關(guān)節(jié)的重心。由于HIT/DLR II型靈巧手高度集成化的結(jié)構(gòu)設(shè)計，關(guān)節(jié)與關(guān)節(jié)之間的界限沒有明顯劃分，所以無法由從機構(gòu)設(shè)計中精確獲得各個關(guān)節(jié)的質(zhì)量和重力。本文基于最小二乘法和正運動學(xué)實現(xiàn)了優(yōu)化的手指重力補償。式(38)可以重新寫為

其中:H(θ)，g分別為基座坐標系中的質(zhì)心坐標向量和重力向量;M為需要通過最小二乘法優(yōu)化而獲得的質(zhì)量向量，即

由文獻［10］可知，機器人靈巧手的關(guān)節(jié)柔性，在剛度較低的情況下，關(guān)節(jié)端位置和電機位置可能會出現(xiàn)較大偏差，因此需要建立一個基于電機端位置的重力補償量，以補償機器人運動中關(guān)節(jié)端的重力?？紤]準穩(wěn)態(tài)位置點(外力/力矩τext=0)的集合Ω:={(q，θ)|K(θ -q)=g(q)}，重力補償項(θ)可表示為

式(42)所表示的重力補償項可由θ和q的關(guān)系確定。對于任意位置點(θ，q)∈Ω，電機位置可以由關(guān)節(jié)端位置唯一確定，即

由于h(q)的反函數(shù)存在，而且映射T(q):=θ-K-1g(q)為壓縮映射，因此由壓縮映射定理可知，迭代式

3 基于擴展卡爾曼濾波器的自適應(yīng)摩擦力補償

非線性摩擦力補償能夠極大地提高阻抗控制中的位置精確度。機器人靈巧手中采用由靜摩擦力和粘滯摩擦力組成的摩擦力模型，即

其中:b和c分別為粘滯摩擦力系數(shù)和靜摩擦力系數(shù)。包含摩擦力的機器人動力學(xué)模型為

其中:τ=τm-τext;I為電機慣量。為實現(xiàn)包含摩擦力補償?shù)目刂破?，必須首先確定機器人靈巧手動力學(xué)模型中的各項參數(shù)。擴展卡爾曼濾波器是一種優(yōu)化和估計策略，特別是當系統(tǒng)模型并不能夠精確獲得的時候，其優(yōu)化和預(yù)測能力可以非常有效地協(xié)助控制器提高控制性能。擴展卡爾曼濾波器可分為預(yù)測和估算兩個步驟［22］?；诋斍盃顟B(tài)和系統(tǒng)動力學(xué)模型，系統(tǒng)預(yù)測狀態(tài)在卡爾曼濾波器的預(yù)測步驟中得出

其中:Ak，Gk為系數(shù)矩陣;Qk為模型噪聲的協(xié)方差。估算步驟通過比較預(yù)測步驟和測量的結(jié)果，得到優(yōu)化的估算為

其中，I為電機轉(zhuǎn)動慣量。由于摩擦力的關(guān)系，系統(tǒng)狀態(tài)方程引入了非線性因素。將符號函數(shù)sign()線性化，可以得到

其中，ξ∈R→0。由此可以消除系統(tǒng)動力學(xué)方程中的非線性因素。對系統(tǒng)狀態(tài)方程進行偏微分，然后使用符號Δ代替偏微分符號?，線性化的系統(tǒng)動力學(xué)方程為

式(55)［23］的解可表示為

離散時間點取kts到(k+1)ts，將指數(shù)函數(shù)展開，得到式(55)在離散時間空間的解為

其中，Alin，k=Alin(x(kts))=Alin。結(jié)合式(56)，可以得到線性化自適應(yīng)卡爾曼濾波器為

具有摩擦力補償?shù)牡芽柨臻g自適應(yīng)阻抗控制器為

4 實驗結(jié)果

4.1 摩擦力觀測

基于擴展卡爾曼濾波器的粘滯摩擦力參數(shù)和靜摩擦力參數(shù)觀測實驗結(jié)果如圖5所示。其觀測值收斂于由最小二乘法計算出的測量值(b=0.3，c=0.1)。模型線性化過程中必要的近似處理造成了如圖5所示的穩(wěn)態(tài)誤差。實驗結(jié)果驗證了基于擴展卡爾曼濾波器的摩擦力觀測有效性。系統(tǒng)噪聲Q和測量噪聲協(xié)方差R在卡爾曼濾波器的觀測效果中起到了關(guān)鍵作用。觀測器的效能可通過離線調(diào)整這兩個卡爾曼濾波器參數(shù)來進一步提高。在摩擦力觀測器中，關(guān)節(jié)速度θ·也是觀測結(jié)果之一，因此速度觀測的結(jié)果也間接證明了摩擦力觀測器的有效性，如圖6所示。

圖5 基于EKF的摩擦力系數(shù)觀測Fig.5 Friction parameter estimation with EKF

圖6 基于EFK的速度觀測結(jié)果Fig.6 Velocity estimation with EKF

4.2 關(guān)節(jié)空間阻抗控制和摩擦力自適應(yīng)補償

實驗的第1部分驗證了摩擦力補償?shù)挠行浴Ｊ种父鱾€關(guān)節(jié)獨立驅(qū)動，手指末端關(guān)節(jié)2做周期性往復(fù)運動。具有摩擦力補償和無摩擦力補償?shù)淖杩箍刂破鬈壽E跟蹤實驗結(jié)果如圖7所示。實驗結(jié)果表明，相同阻抗參數(shù)和實驗條件時，具有自適應(yīng)摩擦力補償?shù)淖杩箍刂破魑恢谜`差最大為0.8°，而無摩擦力補償?shù)淖杩箍刂破魑恢谜`差最大為2°，因此驗證了摩擦力觀測器的有效性。

圖7 摩擦力補償位置跟蹤實驗Fig.7 Position tracking experiment with friction compensation

實驗的第2部分中，手指受控制器驅(qū)動各個關(guān)機向不同方向運動，在到達目標位置之前與外界環(huán)境相接觸。阻抗控制系數(shù)與第1部分實驗相同。如圖8所示，在關(guān)節(jié)空間阻抗實驗中，手指3個關(guān)節(jié)(指尖關(guān)節(jié)，基關(guān)節(jié)俯仰，基關(guān)節(jié)側(cè)擺)與外界環(huán)境相接觸時的關(guān)節(jié)位姿為［28°，52°，17.5°］，手指關(guān)節(jié)位置在上述位置停止目標軌跡跟蹤，開始進入阻抗運動模式。實驗結(jié)果表明，在自由空間運動過程中，手指的各個關(guān)節(jié)能很好地跟蹤目標軌跡，而在與外界環(huán)境接觸的過程中，關(guān)節(jié)力矩保持衡定，如圖9所示。由此可知靈巧手關(guān)節(jié)空間阻抗控制的有效性。以上兩個實驗中阻尼系數(shù)和剛度系數(shù)分別為:Dd=［0.001 3，0.001 3，0.003 1］(N·mm·s/°)，Kd=［0.062 5，0.062 5，0.125］(N·mm/°)

圖8 機器人手指接觸剛性環(huán)境Fig.8 Robot finger contacts with external rigid object

圖9 手指3個關(guān)節(jié)的位置軌跡追蹤和關(guān)節(jié)力矩結(jié)果Fig.9 Position tracking and torque response in 3 joints of the finger

4.3 笛卡爾空間阻抗控制

為進行笛卡爾空間阻抗控制，首先需要確定控制參數(shù)Kx和 Dx，以及慣量矩陣 Λ(x)和重力項g()。慣量矩陣Λ(x)和重力項g(ˉ)由靈巧手的機械設(shè)計參數(shù)根據(jù)第3節(jié)中的方法得出。而控制參數(shù)Kx和Dx可根據(jù)雙對角化法，由慣量矩陣和設(shè)計阻尼比率得到。

笛卡爾空間阻抗控制實驗中，使用了靈巧手5個模塊化手指中的1個手指，其他4個手指處于制動狀態(tài)。如圖10所示，實驗中驅(qū)動手指跟蹤目標軌跡(紅色虛線表示)運動，手指的實際運動軌跡如實線所示。手指在Δx=0.011 5 m處于外界環(huán)境，x方向?qū)嶋H運動軌跡停止跟蹤目標軌跡，進入阻抗運動模式。實驗結(jié)果表明，在自由空間運動過程中，手指笛卡爾空間坐標軌跡能夠很好地跟蹤目標軌跡。而在與剛性環(huán)境接觸的過程中，笛卡爾空間接觸力保持衡定。

在另一個笛卡爾空間阻抗控制實驗中，機器人手指處于目標準穩(wěn)態(tài)位置 xd=［0.036，0.036，0.2］。實驗人員使用外力將手指朝不同方向拉動，然后釋放手指。在笛卡爾空間阻抗控制器驅(qū)動下，機器人手指將克服摩擦力和重力回到準穩(wěn)態(tài)位置xd。手指笛卡爾空間運動軌跡和力反應(yīng)如圖11所示。實驗結(jié)果表明，具有摩擦力和重力補償?shù)牡芽柨臻g阻抗控制策略在x，y和z 3個方向的穩(wěn)態(tài)位置誤差均在0.2 mm以內(nèi)。實驗的第2部分中，手指末端受x方向上的力在±x方向做往復(fù)運動。阻抗控制設(shè)計剛度Kx=1 300 N/m，Dx=12.5 N·s/m和測量剛度的比較結(jié)果如圖12所示。上述實驗結(jié)果表明所設(shè)計的笛卡爾空間阻抗控制器是有效的。

圖10 手指與環(huán)境接觸時笛卡爾空間位置和力跟蹤Fig.10 Cartesian position tracking and force response with contacting environment

圖11 機器人手指受到外力時的笛卡爾空間位置和力跟蹤Fig.11 Robot finger Cartesian coordinate position and force response to external forces

圖12 x方向上位置與力的比較Fig.12 Position versus force in x-direction

5 結(jié)語

針對多指靈巧手HIT/DLR II的特點，本文提出了具有摩擦力補償和重力補償?shù)娜嵝躁P(guān)節(jié)機器人自適應(yīng)阻抗控制策略。基于傳動系統(tǒng)的特殊結(jié)構(gòu)形式建立了具有柔性關(guān)節(jié)和耦合關(guān)節(jié)的靈巧手動力學(xué)模型，結(jié)合該模型提出了關(guān)節(jié)空間和笛卡爾空間的阻抗控制方法。針對靈巧手各個關(guān)節(jié)重力無法確切獲得的特點，提出了基于最小二乘法的實際優(yōu)化方法，并通過迭代的方式采用電機端位置完成關(guān)節(jié)端重力補償。針對靈巧手關(guān)節(jié)摩擦力的非線性問題，提出了一種基于擴展卡爾曼濾波器的摩擦力觀測器，實現(xiàn)了對摩擦力的自適應(yīng)補償，從而完成靈巧手的自適應(yīng)阻抗控制。實驗結(jié)果表明，柔性關(guān)節(jié)的重力補償及摩擦力補償有效地提高了靈巧手阻抗控制策略的有效性。為靈巧手空間阻抗控制的進一步研究奠定了基礎(chǔ)。在下一步的研究中，將著眼多指靈巧手的空間協(xié)調(diào)阻抗控制，以及面向抓取的自適應(yīng)阻抗控制，以進一步提高仿人靈巧手的智能化和應(yīng)用領(lǐng)域。

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