基于基礎(chǔ)坐標(biāo)概念的逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)原理及其應(yīng)用

趙慶志，席港港

ZHAO Qing-zhi, XI Gang-gang

0 引言

經(jīng)濟(jì)型數(shù)控機(jī)床能夠滿足常規(guī)加工需要、價(jià)格較低、操作簡(jiǎn)單、性價(jià)比較高，占有比較大的市場(chǎng)，該類數(shù)控機(jī)床常采用逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)方法。

1 傳統(tǒng)的逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)原理存在的問題及其改進(jìn)

傳統(tǒng)的逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)原理分為以下四個(gè)步驟：偏差判別、坐標(biāo)進(jìn)給、新點(diǎn)偏差計(jì)算和終點(diǎn)判別。在坐標(biāo)進(jìn)給時(shí)并沒有考慮進(jìn)給后插補(bǔ)誤差的大小而決定進(jìn)給坐標(biāo)，致使插補(bǔ)誤差較大，這種插補(bǔ)方法使得刀具每次在X或Y坐標(biāo)進(jìn)給一個(gè)脈沖當(dāng)量，而不能使得X、Y兩坐標(biāo)同時(shí)聯(lián)合進(jìn)給。圖1所示為插補(bǔ)逆圓弧時(shí)產(chǎn)生了較大的插補(bǔ)誤差。事實(shí)上當(dāng)圓弧切線趨向于45°斜線時(shí)若能X、Y兩坐標(biāo)同時(shí)進(jìn)給一步，插補(bǔ)誤差就大大減小[1～7]；在圖1所示的起點(diǎn)A若進(jìn)給+Y也能大大減小插補(bǔ)誤差，本文在前人研究的基礎(chǔ)上，引進(jìn)基礎(chǔ)坐標(biāo)的概念，研究出了逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)新原理，簡(jiǎn)化了插補(bǔ)過程，大大減小了插補(bǔ)誤差，用該方法開發(fā)數(shù)控系統(tǒng)控制程序很方便。

新逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)步驟改為：先確定基礎(chǔ)坐標(biāo)[8]，插補(bǔ)四個(gè)步驟改為：兩種進(jìn)給方案的新點(diǎn)偏差計(jì)算、偏差大小比較、基礎(chǔ)坐標(biāo)或雙坐標(biāo)進(jìn)給、終點(diǎn)判別。即先分別計(jì)算出F、Fxy兩種進(jìn)給方案新點(diǎn)的偏差值，然后比較兩者大小，再?zèng)Q定基礎(chǔ)坐標(biāo)進(jìn)給還是兩坐標(biāo)聯(lián)合進(jìn)給。令F代表基礎(chǔ)坐標(biāo)進(jìn)給一步后的插補(bǔ)偏差，F(xiàn)xy代表兩坐標(biāo)X、Y聯(lián)合進(jìn)給后的插補(bǔ)偏差。

1.1 改進(jìn)后逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)原理推導(dǎo)

如圖1所示，第一象限逆圓弧AB由A點(diǎn)向B點(diǎn)加工，插補(bǔ)過程動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為（Xi，Yi），則傳統(tǒng)的逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)原理偏差判別函數(shù)為[8]：

起點(diǎn)坐標(biāo)A(X0,Y0)=A(5,0)。當(dāng)X0＞Y0時(shí)，為保持偏差F趨于0，Yi增大的速度就比Xi快；當(dāng)Y0＞X0時(shí)，為保持偏差F趨于0，Xi增大的速度就比Yi快；所以分如下三種情況分析進(jìn)給新點(diǎn)的偏差計(jì)算和坐標(biāo)進(jìn)給：

1）當(dāng)X0＞Y0時(shí)，每次進(jìn)給都進(jìn)給+Y基礎(chǔ)坐標(biāo)，只是考慮在什么條件下+Y、-X兩坐標(biāo)聯(lián)合進(jìn)給，不再考慮單獨(dú)進(jìn)給-X坐標(biāo)。

進(jìn)給+Y坐標(biāo)一步新點(diǎn)的坐標(biāo)為（Xi，Yi+1）=( Xi，Yi+1),帶入（1）式得新點(diǎn)的偏差：

在此對(duì)偏差F省去下標(biāo)，默認(rèn)公式右邊的F是上次插補(bǔ)偏差，以下同，式（2）記為：

聯(lián)合進(jìn)給-X、+Y一步新點(diǎn)的坐標(biāo)為（Xi+1，Yi+1）=(Xi-1，Yi+1),帶入（1）式得新點(diǎn)的偏差為：

圖1 傳統(tǒng)逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)軌跡

(3)、(4)兩公式即表1中第3組公式，顯然，當(dāng)|F|＜|Fxy|時(shí)，只進(jìn)給基礎(chǔ)坐標(biāo)+Y，F(xiàn)xy=F；當(dāng)|F|≥|Fxy|時(shí)，聯(lián)合坐標(biāo)進(jìn)給-X、+Y，F(xiàn)=Fxy；即取插補(bǔ)偏差小的進(jìn)給坐標(biāo)進(jìn)給。

2）當(dāng)X0＜Y0時(shí)，每次進(jìn)給都進(jìn)給-X基礎(chǔ)坐標(biāo)，只是考慮在什么條件下-X、+Y兩坐標(biāo)聯(lián)合進(jìn)給。不再考慮單獨(dú)進(jìn)給+Y坐標(biāo)。-X坐標(biāo)進(jìn)給一步的插補(bǔ)偏差公式為：

聯(lián)合進(jìn)給-X、+Y一步新點(diǎn)的偏差計(jì)算公式為（3）式。

顯然，當(dāng)|F|＜|Fxy|時(shí)，只進(jìn)給基礎(chǔ)坐標(biāo)-X坐標(biāo)一步，F(xiàn)xy=F；當(dāng)|F|≥|Fxy|時(shí)，聯(lián)合進(jìn)給兩坐標(biāo)-X、+Y，F(xiàn)=Fxy；即取插補(bǔ)偏差小的進(jìn)給坐標(biāo)進(jìn)給。

表1 順逆時(shí)針各段圓弧插補(bǔ)公式

續(xù)表

3）插補(bǔ)過程中，動(dòng)點(diǎn)Xi、Yi的大小發(fā)生變化時(shí)，基礎(chǔ)坐標(biāo)調(diào)換，則插補(bǔ)公式相應(yīng)調(diào)換。

1.2 改進(jìn)后的各象限逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)公式與坐標(biāo)進(jìn)給

圖2 四個(gè)象限分成8個(gè)基礎(chǔ)坐標(biāo)區(qū)域圓弧

圖3 基于基礎(chǔ)坐標(biāo)概念的逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)框圖

圖2所示的四個(gè)象限被兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)交叉的45°直線分為8個(gè)區(qū)域，不管逆時(shí)針圓弧還是順時(shí)針圓弧，1、4、5、8段分別記為NR1、NR4、NR5、NR8段圓弧的基礎(chǔ)坐標(biāo)為Y坐標(biāo)；不管逆時(shí)針圓弧還是順時(shí)針圓弧，2、3、6、7段圓弧的基礎(chǔ)坐標(biāo)為X坐標(biāo)；推導(dǎo)歸納出順逆時(shí)針各8段圓弧插補(bǔ)公式如表1所示，基于基礎(chǔ)坐標(biāo)的逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)原理如圖3所示，n=|Xe-X0|+|Ye-Y0|是對(duì)一個(gè)象限的圓弧計(jì)算的，當(dāng)圓弧在幾個(gè)象限時(shí)要分別計(jì)算相加得n。

1.3 基于基礎(chǔ)坐標(biāo)概念的各象限逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)相關(guān)問題

1.3.1 插補(bǔ)過程中基礎(chǔ)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換

插補(bǔ)過程中插補(bǔ)坐標(biāo)Xi、Yi不斷變化，就會(huì)出現(xiàn)基礎(chǔ)坐標(biāo)變換，這時(shí)要按表1相應(yīng)變換插補(bǔ)公式。如圖2所示第一象限逆時(shí)針圓弧被45°直線分成1、2兩段，NR1開始時(shí)X0＞Y0基礎(chǔ)坐標(biāo)為+Y，用第3組插補(bǔ)公式，當(dāng)插補(bǔ)動(dòng)點(diǎn)Xi≤Yi時(shí)按表1圓弧變?yōu)镹R2，基礎(chǔ)坐標(biāo)變?yōu)?X，改為用第4組插補(bǔ)公式，圖4是用新插補(bǔ)方法對(duì)圖1進(jìn)行插補(bǔ)軌跡。

1.3.2 插補(bǔ)過程中的過象限處理

過象限的標(biāo)志是動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之一為0，對(duì)圖2所示1、2、3、4……逆圓弧,當(dāng)Xi=0時(shí)由第一象限過到第二象限；當(dāng)Yi=0時(shí)由第二象限過到第三象限等等，順圓弧也以此類推，過象限時(shí)按表1插補(bǔ)公式變換。

圖4 基于基礎(chǔ)坐標(biāo)概念的逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)軌跡

2 基于基礎(chǔ)坐標(biāo)概念的逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)案例

圖4所示為用基于基礎(chǔ)坐標(biāo)概念的逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)原理對(duì)圖1所示圓弧進(jìn)行插補(bǔ)的軌跡圖，按照?qǐng)D3所示框圖插補(bǔ)進(jìn)行如下：

n=(|0-5|+|5-0|)+(|-3-0|+|4-5|)=14,在自A點(diǎn)向B點(diǎn)插補(bǔ)時(shí)，因?yàn)閄0＞Y0，所以按表1所示NR1的信息進(jìn)行插補(bǔ)，整個(gè)插補(bǔ)過程見表2，經(jīng)歷了基礎(chǔ)坐標(biāo)變化、插補(bǔ)公式變換、過象限處理等問題處理，插補(bǔ)軌跡如圖4所示，圖4比圖1的插補(bǔ)誤差明顯減小了。

表2 圖4所示基于基礎(chǔ)坐標(biāo)概念的逆圓弧插補(bǔ)過程

3 基于基礎(chǔ)坐標(biāo)概念的逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)原理的應(yīng)用特點(diǎn)

本文介紹的基于基礎(chǔ)坐標(biāo)概念的逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)原理有如下五個(gè)特點(diǎn)。

1） 將傳統(tǒng)的逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)公式提煉成表1所示4套公式，插補(bǔ)思路更加清晰，插補(bǔ)信息一目了然。

2） 圖3所述基于基礎(chǔ)坐標(biāo)概念的逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)框圖符合結(jié)構(gòu)化程序一進(jìn)口兩出口分支結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，與有關(guān)文獻(xiàn)研究提出的多分支結(jié)構(gòu)相比，使得開發(fā)數(shù)控控制程序更加方便。

3） 該方法避免了有關(guān)文獻(xiàn)所述方法中涉及的導(dǎo)數(shù)計(jì)算、有可能出現(xiàn)斜率無窮大、多分支判斷支路多、計(jì)算麻煩等缺點(diǎn)。

4） 新插補(bǔ)方法通用性強(qiáng)，使得表2所示的基礎(chǔ)坐標(biāo)變換、過象限處理等數(shù)據(jù)信息自然過渡銜接，不易出錯(cuò)。

5）由表2看出，圖4所示的14步坐標(biāo)進(jìn)給只用10步插補(bǔ)就完成了，插補(bǔ)速度得以提高。

4 結(jié)束語

該方法已在作者開發(fā)的數(shù)控雕刻機(jī)控制系統(tǒng)中得到了實(shí)際應(yīng)用，效果很好。

[1] 張濤, 王曉明. 實(shí)現(xiàn)步進(jìn)電動(dòng)機(jī)雙軸聯(lián)動(dòng)的改進(jìn)逐點(diǎn)比較法(自然科學(xué)版)[J]. 化學(xué)工程與裝備, 2011, (2): 6-7.

[2] 范希營,郭永環(huán). 提高數(shù)控系統(tǒng)基準(zhǔn)脈沖直線插補(bǔ)速度及精度的研究[J]. 制造技術(shù)與機(jī)床. 2010, (3): 89-91.

[3] 權(quán)秀敏, 尹顯明. 一種簡(jiǎn)捷的快速圓弧插補(bǔ)新算法的設(shè)計(jì)與計(jì)算[J]. 機(jī)械研究與應(yīng)用, 2008, (1): 77-79.

[4] 李峰. 圓弧插補(bǔ)的改進(jìn)及軟件實(shí)現(xiàn)[J]. 湖北汽車工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào), 2004, (12): 77-79.

[5] 高有行. 對(duì)逐點(diǎn)比較法的改進(jìn)算法[J]. 西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào), 1998, (6): 299-303.

[6] 劉云. 基于統(tǒng)一偏差判別函數(shù)的各象限直線的逐點(diǎn)比較插補(bǔ)算法[J]. 長春師范學(xué)院學(xué)報(bào), 2001, (6): 1-4.

[7] 馬斌. 逐點(diǎn)比較法的改進(jìn)及軟件實(shí)現(xiàn)[J]. 渝州大學(xué)學(xué)報(bào),2002, (2): 77-79.

[8] 王敏. 差分插補(bǔ)方法及其在數(shù)控線切割機(jī)中的應(yīng)用(一)[J].電加工, 1981, (4): 16-22.