Mohr－Coulomb內(nèi)切圓屈服準則在ABAQUS軟件邊坡分析中的應用

伍韻瑩，王志鵬，孫立宇

（1.廣東省水利電力勘測設(shè)計研究院，廣州510635；2.中國市政工程西北設(shè)計研究院深圳分院，廣東 深圳518048；3.長春工程學院水利與環(huán)境工程學院，長春130021）

0 引言

鑒于邊坡穩(wěn)定性問題涉及到工程中的許多領(lǐng)域，近年來邊坡分析方法也越來越多，特別是隨著巖土材料的彈塑性有限元計算技術(shù)的發(fā)展，應用有限元法分析邊坡穩(wěn)定性得到了普遍推廣。

目前，強度折減彈塑性有限元法是在邊坡穩(wěn)定分析中適用廣泛、前景良好的一種數(shù)值分析方法。它是將強度折減技術(shù)與彈塑性有限元方法相結(jié)合，對邊坡的穩(wěn)定性進行分析，求得邊坡的最小穩(wěn)定安全系數(shù)。但是，影響計算結(jié)果計算精度的因素很多，除了有限元法引入的誤差外，還依賴于所選用的屈服準則；同時，在通常的有限元分析程序中，材料參數(shù)是需要事先給定，為了得到邊坡的最小穩(wěn)定安全系數(shù)，需要多次修改給定值，計算量大，即使采用二分法一般也需要試算多次。

對于巖土材料來說，與其他屈服準則相比，Mohr－Coulomb屈服準則（簡稱 M－C準則）應用最廣、時間最長；但是，M－C屈服準則假定材料的破壞與中主應力無關(guān)，而且在主應力空間的π平面上屈服面是一個等邊不等角的六邊形，屈服面存在尖角，在數(shù)值計算中收斂性較差，計算困難；Drucker－Prager屈服準則（簡稱D－P準則）在π平面上的屈服面不存在尖角，在數(shù)值計算中收斂性較好，但是需要采用合適的參數(shù)，否則計算精度較低，可能造成計算的邊坡最小穩(wěn)定安全系數(shù)較大。

基于此，本文采用ABAQUS軟件中擴展的DP模型，結(jié)合 M－C內(nèi)切圓屈服準則參數(shù)，并使用ABAQUS軟件中的場變量對材料強度參數(shù)進行連續(xù)折減，整個分析過程一次完成，既大大減少了計算工作量，也為邊坡的穩(wěn)定性分析提供較為精確的結(jié)果。

1 數(shù)值分析方法

ABAQUS軟件中提供了擴展的D－P模型，擴展的D－P模型的屈服面在π平面上不是圓形，屈服面在子午面上包括線性模型、雙曲線模型和指數(shù)模型。擴展的D－P模型可以模擬土、巖石等摩擦材料在單調(diào)加載下的材料特性，同時也可以考慮材料的剪脹性。

經(jīng)典的D－P模型的屈服準則的表達式如下：

式中：I1—— 應力張量的第一不變量；

J2——應力偏量的第二不變量。

α、k與材料參數(shù)相關(guān)。

在關(guān)聯(lián)流動法則下推導平面應變狀態(tài)時與MC準則匹配的D－P準則，即可得到M－C內(nèi)切圓屈服準則（簡稱 DP1）的參數(shù)關(guān)系如下［1－2］：

式中：c、θ——M－C 準則中材料的凝聚力和內(nèi)摩擦角。

本文采用 ABAQUS軟件中線性的D－P模型［3］，屈服準則的表達式如下：

式中：β——材料的摩擦角；

d——材料的凝聚力，其值與輸入的硬化參數(shù)有關(guān)，可以分別進行計算。

當硬化參數(shù)由單軸壓縮試驗參數(shù)σc（屈服應力）定義時：

當硬化參數(shù)由單軸拉伸試驗參數(shù)σt（屈服應力）定義時：

式中：K——三軸拉伸與壓縮屈服應力之比。

聯(lián)立式（1）～ 式（4）可得：

式（6）即為ABAQUS軟件中在關(guān)聯(lián)流動法則平面應變狀態(tài)時的參數(shù)轉(zhuǎn)換式。

在ABAQUS軟件中，所謂的場變量只是一個中間量，材料參數(shù)可以定義為場變量的函數(shù)，以便在問題的分析過程中對模型中各部分乃至全部區(qū)域進行參數(shù)的調(diào)整。例如溫度場是其中最簡單的一個場變量，此溫度場只是一個變量場，不代表真實溫度，只起到帶動材料參數(shù)變化的作用，計算原理詳見文獻［4］。

抗剪強度折減系數(shù)的概念是由Zienkiewicz等［5］1975年在土工彈塑性有限元數(shù)值分析一文中首次提出的，由此所確定的強度儲備安全系數(shù)與Bishop［6］在極限平衡法中所給的穩(wěn)定安全系數(shù)在概念上是一致的。邊坡的安全系數(shù)定義為把強度參數(shù)減小到邊坡臨界破壞時的強度參數(shù)折減系數(shù)，強度參數(shù)如下式進行折減：

彈性模量E、泊松比μ在計算中假設(shè)為定值，不隨c、θ值的改變而變化。

2 失穩(wěn)判據(jù)

采用強度折減有限元法分析邊坡穩(wěn)定性的一個關(guān)鍵問題就是如何根據(jù)有限元計算結(jié)果來判別邊坡是否處于整體破壞狀態(tài)。目前，邊坡失穩(wěn)破壞的判據(jù)主要有以下幾點［7］。

2.1 數(shù)值收斂判據(jù)

根據(jù)有限元解的收斂性確定失穩(wěn)狀態(tài)，即在給定的非線性迭代次數(shù)極限值條件下，最大位移或不平衡力的殘差值不能滿足所要求的收斂條件，則認為邊坡在所給定的強度折減系數(shù)下失穩(wěn)破壞。

2.2 位移判據(jù)

根據(jù)計算域內(nèi)某一部位的位移與折減系數(shù)之間關(guān)系曲線的變化特征確定失穩(wěn)狀態(tài)，如當折減系數(shù)增大到某一特定值時，某一部位位移突然迅速增大，則認為邊坡發(fā)生失穩(wěn)。

2.3 塑性區(qū)判據(jù)

通過域內(nèi)廣義剪應變等某些物理量的變化和分布來判斷，如當域內(nèi)的塑性區(qū)（或某一幅值的廣義剪應變）連通時，則判斷邊坡發(fā)生破壞。理論上，邊坡的變形過程總是伴隨著一些物理量的出現(xiàn)和發(fā)展，如塑性區(qū)、塑性應變、廣義剪應變和應力水平等，當這些物理量達到一定的值時，邊坡失穩(wěn)。

本文主要針對位移判據(jù)和塑性區(qū)判據(jù)這兩種判據(jù)進行分析，數(shù)值收斂判據(jù)僅起輔助效果，進行簡單闡述。

3 算例分析

為了便于討論，這里選用趙尚毅等［8－9］所采用的算例邊坡作為計算對象，如圖1所示。選用與文獻［8－9］相同的計算參數(shù)，坡高H＝20m，坡角β＝45°，土的重度γ＝20kN／m3。對于土體，采用服從M－C屈服準則與關(guān)聯(lián)流動法則的理想彈塑性本構(gòu)模型以及服從DP1準則與關(guān)聯(lián)流動法則的理想彈塑性本構(gòu)模型進行計算，土的黏聚力與內(nèi)摩擦角分別為c＝42kPa和θ＝17°。這里假定彈性模量E＝100MPa，泊松比v＝0.3。

邊坡兩側(cè)為水平約束邊界，底部為完全固定邊界。采用四節(jié)點四邊形單元進行剖分，如圖1所示（X軸以水平向右為正，Y軸以豎直向上為正），有限元計算模型共含有1 062個節(jié)點和986個單元。

圖1 計算模型／m

在重力荷載作用下，隨著土體強度的折減，邊坡內(nèi)特征點的位移變化和塑性應變發(fā)展的最終情況如圖2、3所示。

圖2 特征點位移變化曲線圖

從圖2中可以看出，M－C準則與DP1準則兩者計算結(jié)果基本上是一致的；但是DP1準則計算時，數(shù)值的收斂性較好，能夠計算到邊坡失穩(wěn)的工況，而且還能夠繼續(xù)計算下去，此時數(shù)值收斂判據(jù)失真，采用位移判據(jù)進行分析，在F＝1.23時位移曲線出現(xiàn)了明顯的轉(zhuǎn)折點，可以認為其最小安全系數(shù)為1.23；M－C準則的數(shù)值收斂性不好，得到的位移曲線沒有出現(xiàn)明顯的轉(zhuǎn)折點，位移已經(jīng)基本上不再變化，很大程度上是迫于數(shù)值的不收斂，此時得到的最小安全系數(shù)也為1.23，與DP1的計算結(jié)果是相同的。

圖3中PEEQ表示的是邊坡在整個變形過程中塑性應變的累積結(jié)果。根據(jù)本文所建議的塑性應變與塑性區(qū)發(fā)展的失穩(wěn)判據(jù)，隨著土體強度參數(shù)的不斷折減，土體塑性區(qū)發(fā)展區(qū)域逐漸增大。對于M－C準則來說，當F＝1.23時，邊坡塑性區(qū)基本貫通，坡腳塑性應變已達3.67%。對于DP1準則來說，當F＝1.23時，邊坡塑性區(qū)基本貫通，坡腳塑性應變已達2.00%。當F＝1.24時，塑性區(qū)基本貫通至坡頂，邊坡已經(jīng)失穩(wěn)，認為其最小安全系數(shù)均為1.23。從上述計算結(jié)果來看，2個材料模型在采用不同的失穩(wěn)判據(jù)得到的計算結(jié)果基本一致。

圖3 邊坡塑性應變最終分布圖

4 結(jié)語

（1）在平面應變問題中，采用DP1準則進行模擬計算，能得到很好的結(jié)果，克服了M－C準則在數(shù)值分析時存在的不足，減少了數(shù)值計算的困難，在一定程度上，避免了收斂性的問題，同時充分吸取了M－C準則在描述巖土強度特性時的有效性，完全可以在巖土工程中獲得廣泛的應用。

（2）在ABAQUS中采用場變量進行強度參數(shù)的折減，能起到很好的效果，不需要每算一次改一次土體強度參數(shù)，大大減少了計算工作量，而且所得計算結(jié)果合理，表明了該方法的可行性。

（3）當采用位移判據(jù)時應選取多個位移特征點，以避免在位移變化曲線上找不到明顯的轉(zhuǎn)折點。

（4）當采用強度折減彈塑性有限元法進行計算分析時，數(shù)值收斂判據(jù)在應用上存在局限性，不具有廣泛的適用性，盡管位移判據(jù)和塑性區(qū)判據(jù)在計算過程中也受到很多因素的影響，但是這些因素不足以改變邊坡破壞的本質(zhì)趨勢，可以聯(lián)合采用位移判據(jù)和塑性區(qū)判據(jù)來對邊坡的失穩(wěn)進行分析，以便得到更合理適用的結(jié)果。

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