交聯(lián)聚乙烯電力電纜電樹枝生長的混沌特性分析

廖瑞金 周天春 劉 玲 周 湶 汪 可

（1. 重慶大學(xué)輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 重慶 400044 2. 廣州供電局 廣州 510620）

1 引言

交聯(lián)聚乙烯（Cross-Linked Polyethylene，XLPE）電力電纜由于其優(yōu)越的絕緣性能在交流高壓電力網(wǎng)中得到了廣泛應(yīng)用。運(yùn)行經(jīng)驗(yàn)表明[1]，XLPE電纜在電、熱、機(jī)械和環(huán)境（水）等應(yīng)力的長期作用下，會(huì)形成水樹枝或局部弱區(qū)擊穿，進(jìn)而形成樹枝狀放電破壞通道，電樹枝化產(chǎn)生以后很快就會(huì)發(fā)生完全或不完全的擊穿[1,2]，因此電樹枝化是制約XLPE電力電纜運(yùn)行安全性和壽命的核心問題。

局部放電與電樹枝生長過程密切相關(guān)，研究者們對(duì)電樹枝產(chǎn)生局部放電的相位分布模式（Phase Resolved Partial Discharge，PRPD）特征[3-6]、單個(gè)波形特征[7,8]、趨勢特征[9]和連續(xù)脈沖間的時(shí)間差特征[10]等進(jìn)行了大量研究，期待找到合適的局部放電特征量，為電樹枝的診斷服務(wù)，但是通常這些特征量缺乏相應(yīng)物理機(jī)理的支撐。研究[11,12]認(rèn)為電樹枝的生長符合確定性混沌形成的條件，采用電樹枝單位時(shí)間內(nèi)局部放電次數(shù)（放電重復(fù)率）發(fā)展趨勢作為觀測對(duì)象，初步論證了電樹枝生長的混沌特性；也有研究[13]將連續(xù)的局部放電脈沖間的時(shí)間、電壓、和幅值差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化后進(jìn)行混沌分析，并認(rèn)為它們的混沌特征可應(yīng)用于XLPE電纜附件電樹枝化的診斷。因此，有必要更深入地研究電樹枝生長的混沌特性，以便更深入地了解電樹枝生長的物理機(jī)理和找到能有效診斷電樹枝的局部放電特征量。

本文采用實(shí)際的XLPE電纜作為試驗(yàn)樣品，以針尖模擬電場應(yīng)力的集中，在不同的電壓和溫度下得到了6個(gè)電樹枝樣品，引入了混沌理論分析電樹枝生長的過程，并以電樹枝局部放電單位時(shí)間內(nèi)的最大放電量和總放電量作為分析對(duì)象，結(jié)合電樹枝的生長的物理機(jī)理，提取并分析了電樹枝生長的混沌特征。

2 混沌的基本原理與分析方法

2.1 相空間重構(gòu)

時(shí)間序列被廣泛應(yīng)用于科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域，但由于時(shí)間序列是很多物理因子相互作用的綜合反映，它蘊(yùn)藏著參與運(yùn)動(dòng)的全部變量的痕跡，而把時(shí)間序列擴(kuò)展到三維甚至更高維的相空間，能夠充分顯示時(shí)間序列蘊(yùn)涵的信息，即時(shí)間序列的相空間重構(gòu)。

在確定性的基礎(chǔ)上，對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)因素的分析，目前廣泛采用的是延遲坐標(biāo)狀態(tài)空間重構(gòu)法[14]，以便把時(shí)間序列中蘊(yùn)藏的信息充分地顯露出來。具體為：設(shè){xn:n=1，2，…，N}是物理因子的時(shí)間序列，將其嵌入到 m維歐氏空間 Rm中，得到一個(gè)點(diǎn)（或向量）集J(m)，其元素記作

式中，τ 為時(shí)間延遲；m為嵌入維數(shù)；相點(diǎn)總數(shù)k=N-(m-1)τ，Xi為重構(gòu)相空間相點(diǎn)，i=1,2,…,k。

2.2 時(shí)間序列的混沌檢驗(yàn)

混沌的本質(zhì)是系統(tǒng)內(nèi)部的非線性作用機(jī)制，但并非任何非線性系統(tǒng)都會(huì)產(chǎn)生混沌，因此需要進(jìn)行混沌檢驗(yàn)。常用的混沌判別方法有 Lyapunov指數(shù)法、功率譜法、Poincare截面法和主分量分析法等方法。

Poincare映射能很好地刻畫混沌的往復(fù)非周期特性，當(dāng)Poincare截面上有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)或少數(shù)幾個(gè)離散點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)是周期的；當(dāng)Poincare截面上是一封閉曲線，該運(yùn)動(dòng)是準(zhǔn)周期的；如果Poincare截面上既不是有限點(diǎn)集也不是封閉曲線，則對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)就可能是混沌，更進(jìn)一步，如果系統(tǒng)沒有外部噪聲擾動(dòng)又有一定阻尼，Poincare映射的結(jié)果將是具有某種細(xì)致結(jié)構(gòu)的點(diǎn)集。

2.3 時(shí)間序列的混沌特征提取

在初步確定時(shí)間序列具有確定性混沌特性的基礎(chǔ)上，需要進(jìn)一步地分析其特征，通常采用奇怪吸引子的統(tǒng)計(jì)特征，如 Lyapunov指數(shù)、分形維數(shù)、Kolmogorov熵來表征系統(tǒng)的宏觀特征。

根據(jù)Takens定理[15]，需要找到一個(gè)合適的時(shí)間延遲τ和嵌入維數(shù) m重構(gòu)出系統(tǒng)在相空間的演化軌跡，即奇怪吸引子。在實(shí)際操作中最佳延遲時(shí)間的選取方法主要有以下幾種：①互信息法；②其他信息論的方法，如冗余度法、信息熵等方法；③自相關(guān)法和復(fù)自相關(guān)法；④預(yù)報(bào)效果法等；其中自相關(guān)法和復(fù)自相關(guān)法的應(yīng)用比較成熟，互信息應(yīng)用比較廣泛。求取最佳嵌入維數(shù)的方法主要有以下幾種:①關(guān)聯(lián)指數(shù)飽和法；②奇異值分解(SVD)；③偽最鄰近點(diǎn)；④改進(jìn)的偽最鄰近點(diǎn)法；⑤預(yù)測效果法等。

3 XLPE電纜電樹枝化試驗(yàn)及結(jié)果

3.1 試驗(yàn)樣品

試驗(yàn)采用型號(hào)為 YJV22—3×95，8.7/15kV XLPE電纜作為試驗(yàn)樣品，樣品結(jié)構(gòu)如圖 1所示，電纜線芯直徑11.5mm，內(nèi)半導(dǎo)體屏蔽層厚0.5mm，XLPE絕緣層厚4.8mm，外半導(dǎo)體屏蔽層厚0.55mm，銅帶緊貼外屏蔽層，以針尖模擬電場應(yīng)力的集中,針尖到內(nèi)半導(dǎo)體屏蔽層的距離為2.8mm。

3.2 試驗(yàn)線路

試驗(yàn)通過檢測局部放電來監(jiān)測電纜中的電樹枝發(fā)展，因此采用數(shù)字化的局部放電檢測方法，試驗(yàn)線路如圖3所示，調(diào)壓器、變壓器、10kΩ保護(hù)電阻和1000pF的耦合電容組成一個(gè)50kV/50kVA無暈局部放電電源系統(tǒng)，傳感器為鐵氧體羅柯夫斯基線圈（帶寬 50kHz～15MHz），局放信號(hào)經(jīng)過 10～100倍的程控放大和 100kHz的高通濾波后，利用LeCroy Wavepro7100示波器（帶寬1GHz，最高采樣率20GS/s）進(jìn)行觀測和采集存儲(chǔ)。

圖1 XLPE樣品結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of the XLPE sample

圖2 局部放電試驗(yàn)接線圖Fig.2 Partial discharge testing circuit

加壓結(jié)束的XLPE電纜樣品，利用切片機(jī)將電纜切成1～3mm的薄片后，利用帶攝像頭的數(shù)碼體式顯微鏡（最大放大倍數(shù)300倍）進(jìn)行拍照觀測。

3.3 試驗(yàn)結(jié)果

基于針-板電極系統(tǒng)的研究結(jié)果表明[8-10]：電樹枝生長過程很復(fù)雜，受到多因素的影響，如針電極結(jié)構(gòu)（曲率半徑）、材料、電壓、溫度、頻率以及試樣的處理等等。對(duì)于實(shí)際運(yùn)行中的XLPE電力電纜，電壓頻率是固定的工頻，電場應(yīng)力集中的形式是未知的，但是額定運(yùn)行的溫度達(dá)90℃，所以對(duì)于實(shí)際XLPE電力電纜電樹枝化最主要的壞境影響因素為電壓和溫度。

因此制作了6組電纜樣品進(jìn)行試驗(yàn)，樣品a、b、c、d在常溫下分別以 1kV/s的升壓速度升壓至12kV、15kV、18kV和21kV后穩(wěn)定，樣品e、f分別在50和70℃下以1kV/s的升壓速度升壓15kV后穩(wěn)定，觀測并記錄局部放電數(shù)據(jù)，為了數(shù)據(jù)對(duì)照的方便，在最大放電量達(dá)到1500pC左右時(shí)結(jié)束加壓，切片并觀測電樹枝。

試驗(yàn)結(jié)果見表1和圖3所示，其中D1為橫截面切片觀測的樹枝寬度，D2為縱截面切片觀測的樹枝寬度。

表1 不同電樹枝試驗(yàn)結(jié)果Tab.1 Results of different electrical trees

圖3 不同電壓下的電樹枝照片F(xiàn)ig.3 Photos of electrical trees under different voltages

4 電樹枝生長的局部放電混沌特性分析

4.1 混沌時(shí)間序列選擇

混沌描述的是一個(gè)過程，而不是一種狀態(tài)，為研究電樹枝生長的混沌特性，必須首先確定一種可測變量，它的數(shù)值將反應(yīng)出能控制生長隨機(jī)漲落的局部參數(shù)?？赏ㄟ^局部放電的數(shù)值來測量電樹枝的生長隨機(jī)漲落，主要包括放電次數(shù)和放電量，Dissado[12]對(duì)單位時(shí)間內(nèi)的放電次數(shù)的時(shí)間序列進(jìn)行了混沌研究。然而，放電次數(shù)的統(tǒng)計(jì)受測量系統(tǒng)靈敏度的影響較大，即較小的局部放電脈沖可能會(huì)被忽略掉，因此本文選取局部放電放電量的時(shí)間序列作為混沌研究的時(shí)間序列。

和放電次數(shù)時(shí)間序列一樣，首先需要得到等時(shí)間距離觀測的放電量時(shí)間序列，即需要選擇一個(gè)合適的時(shí)間距離。結(jié)合已有的研究經(jīng)驗(yàn)和混沌分析樣本量的需求，每0.3s統(tǒng)計(jì)一次數(shù)據(jù)，a、b、c、d、e和f樣品 6組電樹枝的時(shí)間序列如圖4和圖5所示，總樣本點(diǎn)數(shù) N 分別為 2 400、2 000、2 000、5 000、2 000和2 000。

圖4 最大放電量時(shí)間序列Fig.4 The time series of maximal PD magnitude of electrical trees propagation

圖5 總放電量時(shí)間序列Fig.5 The time series of total PD magnitude of electrical trees propagation

為了消除偽數(shù)據(jù)與干擾的影響，在混沌分析之前對(duì)序列進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，已知時(shí)間序列{yk：k=1，…，N}是等時(shí)間距離觀測得到的放電量時(shí)間序列，對(duì)該序列進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，見式（2）。

式中，ymin=min{yj，j=1，2，…，N}，ymax=max(yj，j=1，2，…，N)

4.2 混沌時(shí)間序列初步檢驗(yàn)

采用Poincare截面法進(jìn)行初步檢驗(yàn)，得到15kV常溫下的電樹枝樣品b的最大放電量和總放電量的時(shí)間序列的Poincare截面如圖6所示。圖6a中，x(n)和 x(n+τ)表示相空間重構(gòu)后的最大放電量和延遲時(shí)間τ 得到的最大放大量；圖 6b中，x(n)和 x(n+τ)表示相空間重構(gòu)后最大放電量和延遲時(shí)間τ得到的總放電量。

圖6 PD時(shí)間序列的Poincare截面Fig.6 Poincare sections of the time series of PD

結(jié)果顯示所有序列的Poincare截面上均是一片具有分形結(jié)構(gòu)的密集點(diǎn)，因此初步分析的結(jié)果表明最大放電量qmax和總放電量qn的時(shí)間序列具有確定性混沌特征。

4.3 混沌特征提取

采用互信息法[14]計(jì)算得到τ =3時(shí)可較好地消除人為相關(guān)，然后采用Cao氏方法計(jì)算嵌入維數(shù)m=10。

Laypunovr指數(shù)采用適合于小數(shù)據(jù)量的方法，即小數(shù)據(jù)量法[17]進(jìn)行計(jì)算。具體步驟如下：

（1）根據(jù)以上延遲時(shí)間τ和嵌入維數(shù)m的計(jì)算結(jié)果，進(jìn)行相空間重構(gòu)

（2）從X1開始計(jì)算每個(gè)相點(diǎn)Xi的最近鄰點(diǎn)Xj，并限制短暫分離，即

在此之前，收斂了昂揚(yáng)姿態(tài)的王樹林在看電視。他在等辛娜的出浴。眼脧著屏幕，耳朵一直在浴室的響動(dòng)中。他的手里拿著手機(jī)若有所思。很快浴室的水聲停止了，他收起手機(jī)，快步來到浴室門外。略一遲疑，伸手?jǐn)Q開了浴室的門，一股香波味兒撲鼻彌香，淡薄的水汽里辛娜正抬腿擦拭，晶瑩的水珠在光潔豐腴的后腰閃耀著誘人的光點(diǎn)。不假思索，王樹林躬身抱起了出水芙蓉，驚得辛娜哎呀一聲一下子攬住了王樹林的脖子。兩條修長白皙的大腿不停在半空踢踏，別有一番情調(diào)。

（3）對(duì)相空間中的每一對(duì)最近鄰點(diǎn)計(jì)算k個(gè)離散時(shí)間步后的距離di(k)，即

式中，n=N-(m-1)τ為重構(gòu)相空間相點(diǎn)總數(shù)。

（4）求出所有di(k)不為零的對(duì)數(shù)ln(di(k))，并對(duì)每一個(gè)k，計(jì)算基于i的平均值y(k)，即

式中，M是針對(duì)某個(gè)k值的非零di(k)的數(shù)目。

（5）運(yùn)用最小二乘法計(jì)算曲線的斜率，該斜率值即為最大Lyapunov指數(shù)λ1。

運(yùn)用上述方法求得 6組樣品的最大放電量和總數(shù)電量時(shí)間序列的最大Lyapunov指數(shù)λ1結(jié)果見表 2。

表2 最大Lyapunov指數(shù)Tab.2 The maximal Lyapunov exponent

6組樣品 qmax和 qn時(shí)間序列的最大 Lyapunov指數(shù)λ1均為正數(shù)，這也證實(shí)了電樹枝局部放電放電量的時(shí)間序列具有確定性混沌特性。

表3 關(guān)聯(lián)維數(shù)Tab.3 Correlation dimension

4.4 討論

電樹枝形態(tài)可將電樹枝分為枝狀、叢林狀、枝叢混合狀，純枝狀電樹枝一般迅速連續(xù)生長，叢林狀電樹枝生長過程一般存在較長時(shí)間的停滯期，生長速度較慢，因此通常枝狀電樹枝的危害要大于叢狀電樹枝[2]。分形維是表征電樹枝形狀特征的重要參數(shù)，枝狀電樹枝的分形維數(shù)小，叢林狀電樹枝分形維數(shù)大。通過改變覆蓋圖形的正方形的邊長r來分別求取不同邊長r下覆蓋圖形的方格數(shù)，可計(jì)算電樹枝的二維分形維數(shù)D，具體計(jì)算公式如下[17]：

奇怪吸引子的最大 Lyapunov指數(shù)和關(guān)聯(lián)分形維數(shù)定量表征了系統(tǒng)的混沌度，最大 Lyapunov指數(shù)表征系統(tǒng)的不穩(wěn)定性，關(guān)聯(lián)維數(shù)表征系統(tǒng)變化的復(fù)雜性。試驗(yàn)得到的電樹枝分形維與最大Lyapunov指數(shù)、關(guān)聯(lián)分形維數(shù)的關(guān)聯(lián)分別如圖7和圖8所示。從圖上可以看到最大 Lyapunov指數(shù)、關(guān)聯(lián)分形維數(shù)均有隨著樹枝分形維數(shù)的增大而減小的趨勢，但是很明顯總放電量時(shí)間序列得到的混沌特征的分散性比較大，分析認(rèn)為越大的局部放電在樹枝管道中擴(kuò)展的距離越遠(yuǎn)，也更容易到達(dá)樹枝尖端[18]，因此較大的局部放電脈沖是誘發(fā)電樹枝生長的重要因素，且環(huán)境噪聲及檢測系統(tǒng)的靈敏度對(duì)較大局部放電的測量結(jié)果影響比總放電量要小，即抗噪聲能力要強(qiáng)，所以最大放電量發(fā)展的時(shí)間序列比總放電量的時(shí)間序列更好地表征了電樹枝局部電場的漲落。

圖7 電樹枝分形維與最大Lyapunov指數(shù)關(guān)系Fig.7 Relationship of fractal correlation dimension and the maximal Lyapunov exponent

圖8 電樹枝分形維數(shù)與關(guān)聯(lián)分形維數(shù)關(guān)系Fig.8 Relationship of the electrical tree fractal dimensions and correlation dimensions

電樹枝分形維數(shù)的增大，最大 Lyapunov指數(shù)和關(guān)聯(lián)維數(shù)均減小，這說明叢狀電樹枝的生長過程比較平穩(wěn)，隨機(jī)性較小。分析認(rèn)為叢狀電樹枝具有更密的樹枝通道，且通道電導(dǎo)更高[17]，空間電荷的轉(zhuǎn)移會(huì)比較容易，這促使電樹枝通道附近的局部電場漲落比較均勻，不容易積累起較多電荷，形成較大的局部放電，而通常較小的局部放電不容易傳播到樹枝末端[18]，從而發(fā)展比較平穩(wěn)，這也是通常叢狀電樹枝生長速度比枝狀電樹枝發(fā)展慢的重要原因，電樹枝的混沌特征與其生長機(jī)理可以相互印證。

同時(shí)，升壓速度對(duì)電樹枝生長的影響也進(jìn)一步的證實(shí)了枝狀電樹枝對(duì)初始條件的敏感性比叢狀電樹枝要強(qiáng)，即最大Lyapunov指數(shù)要大。圖9為12kV和21kV，0.1kV/s和1kV/s升壓速度下電樹枝樣品的形態(tài)（橫截面）的對(duì)照，在 12kV下由于升壓速度的改變，電樹枝分形維數(shù)由 1.22變成 1.37，而21kV下變化較小，由1.83變成1.86，即12kV下枝狀電樹枝對(duì)初始條件的敏感性要強(qiáng)于 21kV下的叢狀電樹枝。

圖9 0.1kV/s和1kV/s升壓速度的電樹枝照片F(xiàn)ig.9 Photos of the electrical trees under different boost speed stressing

綜上所述，局部放電的混沌度與電樹枝的形態(tài)相關(guān)，奇怪吸引子的最大 Lyapunov指數(shù)和關(guān)聯(lián)分形維數(shù)隨著樹枝分形維數(shù)的增加而減小。

5 結(jié)論

（1）XLPE電力電纜電樹枝化試驗(yàn)結(jié)果顯示電樹枝生長存在確定性混沌機(jī)理的可能，Poincare截面、最大 Lyapunov指數(shù)和關(guān)聯(lián)分形維數(shù)的結(jié)果均顯示電樹枝局部放電時(shí)間序列具有確定性混沌特征，證實(shí)了XLPE電纜電樹枝的生長過程具有確定性混沌特性。

（2）最大放電量和總放電量時(shí)間序列的最大Lyapunov指數(shù)和關(guān)聯(lián)分形維數(shù)值均表現(xiàn)出隨樹枝分形維數(shù)的增大而減小的趨勢，與枝狀和叢狀電樹枝對(duì)升壓速度影響敏感性的結(jié)果相符。

（3）局部放電時(shí)間序列的混沌特征可以作為判斷電樹枝形態(tài)特征的參考量，且最大放電量時(shí)間序列的表征效果要優(yōu)于總放電量的時(shí)間序列。

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