洞映射方法的研究和改進(jìn)

袁 武 閻 超 席 柯

(北京航空航天大學(xué) 國家計算流體力學(xué)實驗室，北京100191)

挖洞是重疊網(wǎng)格［1］的關(guān)鍵技術(shù)之一，若某重疊網(wǎng)格單元落入另一網(wǎng)格域的非可透面(如物面或人工指定的挖洞曲面)內(nèi)，則應(yīng)被標(biāo)記“洞內(nèi)點”，而不參與流場的計算.這一過程被形象地稱之為“挖洞”.挖洞的過程，實際是在重疊網(wǎng)格中建立人工插值內(nèi)邊界(即洞邊界)的過程，其數(shù)學(xué)實質(zhì)等價于解決一個所謂“點與封閉曲面的相對位置關(guān)系”問題.

關(guān)于挖洞方法的研究主要是如何提高挖洞過程的效率、可靠性和自動化程度，常見的方法有點矢法［2］、射線求交法［3］、洞映射 (hole-map)［4］、Object X-Ray［5］、叉樹結(jié)構(gòu)挖洞方法［6］等.其中，洞映射方法通過構(gòu)建輔助的直角笛卡爾網(wǎng)格，用笛卡爾網(wǎng)格近似物體的挖洞曲面，將點與曲面之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為點與笛卡爾網(wǎng)格單元之間的簡單關(guān)系，因此效率和自動化程度都很高，從而得到廣泛的應(yīng)用，如文獻(xiàn)［7］.本文對傳統(tǒng)的洞映射方法進(jìn)行了研究，針對其在存儲效率和可靠性方面的不足進(jìn)行改進(jìn)，并通過算例對新方法進(jìn)行了驗證.

1 洞映射方法簡介

文獻(xiàn)［4］認(rèn)為，對于給定的重疊網(wǎng)格體系，若已知其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和流動邊界條件，就能夠用均勻的笛卡爾網(wǎng)格單元去近似每個網(wǎng)格的挖洞曲面，從而得到該曲面的笛卡爾近似，稱之為“洞映射(hole-map)”.

洞映射中的笛卡爾網(wǎng)格是一種與挖洞曲面固聯(lián)的輔助性網(wǎng)格，根據(jù)相對位置的不同，笛卡爾網(wǎng)格單元的屬性分為“洞內(nèi)單元”、“洞外單元”和“邊緣單元”.通過構(gòu)建笛卡爾網(wǎng)格建立了整個挖洞曲面的映射集合后，就可以經(jīng)簡單的下標(biāo)計算，方便地獲得網(wǎng)格點在洞映射單元中的位置及屬性.

對于封閉曲面，洞映射方法一般分為4個步驟:離散挖洞曲面、劃分洞映射網(wǎng)格、標(biāo)識邊緣單元和區(qū)分洞內(nèi)、外單元.

2 洞映射方法的改進(jìn)

2.1 擴展的廣義封閉和最小洞映射

雖然洞映射的過程涉及到笛卡爾網(wǎng)格，但無須存儲這些網(wǎng)格單元的空間坐標(biāo)，只需要組織一個整型數(shù)組保存單元的屬性值.盡管如此，由于傳統(tǒng)的洞映射方法要求挖洞面必須完全封閉，當(dāng)物面范圍較大或需精細(xì)描述時，笛卡爾網(wǎng)格數(shù)量很大，此時組織一個三維的整型數(shù)組所需存儲開銷也很大，有時甚至無法實現(xiàn)，這也是洞映射方法為人所詬病的主要原因.

圖1是一般外形的導(dǎo)彈彈身+尾舵模型示意，彈身和尾舵分別生成結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，不計算底部阻力故彈身只生成前體網(wǎng)格.彈身網(wǎng)格中含對稱面和遠(yuǎn)場邊界，由文獻(xiàn)［8］提出的“廣義封閉”概念，通過適當(dāng)?shù)奶幚恚窃试S挖洞曲面結(jié)束于網(wǎng)格邊界的.圖2是構(gòu)建的彈身洞映射笛卡爾網(wǎng)格，須對所有物面面元分析，用于計算笛卡爾網(wǎng)格的邊界和單元尺寸，其中網(wǎng)格邊界是整個彈身的笛卡爾包圍盒(min，max).

在對尾舵網(wǎng)格的挖洞中，彈身的洞映射笛卡爾網(wǎng)格中，產(chǎn)生操作的映射單元，全部落在尾舵網(wǎng)格所占據(jù)的空間中，其余單元沒有參與到挖洞過程.因此，一種十分自然的思想就是在建立彈身洞映射模型時，只在尾舵網(wǎng)格占據(jù)的局部區(qū)域建立洞映射，彈身物面落在尾舵網(wǎng)格外的應(yīng)人為地截斷，不予分析，這樣，新的洞映射邊界就由物面、網(wǎng)格邊界和截斷面構(gòu)成，顯然這是一個可供尾舵網(wǎng)格挖洞的最“緊湊”的區(qū)域，本文稱為“最小洞映射”.

圖1 彈身和尾舵網(wǎng)格示意

圖2 彈身和尾舵全模洞映射模型

本文引入了網(wǎng)格截斷面的概念，認(rèn)為挖洞曲面結(jié)束于網(wǎng)格的截斷面，同樣屬于封閉情況，這樣就將“封閉”的概念擴展到了人為截斷的邊界上.對于擴展后的廣義封閉，仍然可以應(yīng)用廣義封閉用于判斷洞映射單元屬性的一般方法，在2.2節(jié)將詳細(xì)分析.圖3是按最小洞映射重新構(gòu)建的笛卡爾網(wǎng)格，圖中“截斷面”由尾舵網(wǎng)格在原彈身洞映射模型中“切除”得到，笛卡爾網(wǎng)格邊界由物面、對稱面、遠(yuǎn)場和截斷面封閉，組成對尾舵網(wǎng)格挖洞的最小區(qū)域.

圖3 彈身和尾舵最小洞映射模型

最小洞映射有效縮小了洞映射區(qū)域，大量減少了笛卡爾網(wǎng)格單元，節(jié)省了存儲開銷，也為復(fù)雜情況下建立更為精細(xì)的洞映射提供了必要條件.對圖3的洞映射模型，用平均物面面元尺寸作為笛卡爾單元的尺寸，笛卡爾近似曲面顯得十分“粗糙”，當(dāng)彈身和尾舵之間縫隙較小時，圖中所示的邊緣單元已經(jīng)錯誤地將縫隙填補了，從而導(dǎo)致挖洞過程中無法正確地判斷縫隙附近的網(wǎng)格屬性.圖4是在最小洞映射模型上將笛卡爾網(wǎng)格單元的尺寸調(diào)整為原來的十分之一，此時縫隙已經(jīng)能夠得到很好地描述.

圖4 彈身和尾舵最小洞映射加密模型

表1是對彈身模型分別采用傳統(tǒng)方法的全模洞映射與最小洞映射方法構(gòu)建的笛卡爾網(wǎng)格比較情況，加密指單元尺寸按計算的平均物面面元尺寸縮小至0.1倍，洞映射結(jié)果分別見圖3和圖4，其中全模加密后，因網(wǎng)格數(shù)量巨大，在內(nèi)存為2 GB的微機上已無法實現(xiàn).由表1可知，采用最小洞映射后，笛卡爾網(wǎng)格的數(shù)量下降了一個量級，極大減輕了需精細(xì)構(gòu)建洞映射帶來的存儲壓力.

表1中標(biāo)記耗時一項是采用2.2節(jié)提出的新型洞映射單元標(biāo)識方法對表中不同笛卡爾網(wǎng)格進(jìn)行標(biāo)識，在INTEL CORE2 Q8200的微機上運行，最小加密耗時僅1.26 s，其中全模加密因內(nèi)存開銷過大，無法計算.在2.2節(jié)中提到，對加密洞映射，洞映射單元相對網(wǎng)格尺度很小的情況，使用傳統(tǒng)的標(biāo)識方法，在標(biāo)識尾舵時會發(fā)生錯誤.

表1 不同方法洞映射笛卡爾網(wǎng)格比較

2.2 洞映射單元屬性標(biāo)識

最小洞映射方法允許截斷面作為洞映射邊界是否合理，關(guān)鍵是能否正確地對洞映射單元屬性進(jìn)行識別.

傳統(tǒng)洞映射方法在區(qū)分笛卡爾洞內(nèi)、外單元時，要求物面必須封閉(即洞內(nèi)單元和洞外單元區(qū)域分別單連通)，以此確定笛卡爾網(wǎng)格邊緣上的單元為洞外單元(外流問題)，然后依此向網(wǎng)格中心遞歸推進(jìn).否則必須通過復(fù)雜的方法將物面封閉，或者由人工來指定區(qū)分，因此局限性很大.

廣義封閉允許挖洞曲面結(jié)束于網(wǎng)格邊界，使洞外單元被分割在多個孤立的區(qū)域，笛卡爾網(wǎng)格邊緣單元的屬性也不唯一，傳統(tǒng)的標(biāo)記方法就不再適用.目前廣泛使用的是文獻(xiàn)［8］提出的解決方案，通過計算物面面元的外法向矢量，經(jīng)簡單的邏輯判斷，實現(xiàn)邊緣單元鄰側(cè)洞映射單元屬性的自動識別，原理如圖5所示，再根據(jù)洞內(nèi)(或洞外)單元的鄰居也一定是洞內(nèi)(或洞外)單元的原則，遍歷洞映射集合內(nèi)的所有單元，就能方便地判斷出其余映射單元的屬性.該方法只需對物面信息進(jìn)行分析，在各個被分割的區(qū)域內(nèi)以物面附近單元作為初始點進(jìn)行遞歸推進(jìn)，而無需考慮邊界的情況，因此對本文擴展的廣義封閉仍然適用.

圖5 物面附近洞映射單元屬性標(biāo)記

但當(dāng)?shù)芽柧W(wǎng)格尺寸遠(yuǎn)小于當(dāng)?shù)匚锩婷嬖獣r，邊緣單元兩側(cè)的洞映射單元屬性判斷容易模糊，上述方法就變得極不穩(wěn)定了.圖6是一個簡單的二維尖劈外形，圖中虛線部分為各物面面元笛卡爾包圍盒(min，max)，笛卡爾映射單元P1與下表面面元包圍盒唯一相交，被標(biāo)記為邊緣單元，P2是緊鄰P1上側(cè)的單元，將由下表面面元外法矢信息判斷為洞內(nèi)單元，顯然這是一個錯誤的判斷.在下一步推進(jìn)中，由于P2須作為初始點向網(wǎng)格內(nèi)部推進(jìn)，可能會影響較大范圍，甚至使程序陷入死循環(huán).

圖6 二維尖劈物面附近洞映射單元屬性標(biāo)記

上述問題在三維問題如尾舵等物面有拐折且網(wǎng)格沒有連續(xù)過渡要求的結(jié)構(gòu)上常見，本文2.1節(jié)研究的尾舵模型，在洞映射單元加密時就會發(fā)生類似的錯誤.即使不采用加密策略，由于傳統(tǒng)方法計算的是全模的平均物面面元尺寸，在局部地方仍有可能出現(xiàn)上述問題.

如何能既避免可靠性低的使用物面信息判斷的方法，又能實現(xiàn)方法與邊界無關(guān)，以滿足廣義封閉，同時希望方法自動化程度高.針對這一問題，本文提出了一種新的特別適合于廣義封閉的標(biāo)識方法.

對廣義封閉，洞映射單元屬性識別的困難在于洞外單元被物面、網(wǎng)格邊界和截斷面分割在多個孤立的區(qū)域，如何保證在這些區(qū)域中都能找到合適的屬性已明確的洞映射單元作為初始點進(jìn)行推進(jìn)是解決問題的關(guān)鍵，使用物面外法矢信息進(jìn)行判斷是其中一種策略.本文注意到這樣一個事實:

準(zhǔn)則1 洞映射笛卡爾網(wǎng)格的洞外單元必在計算網(wǎng)格中.

準(zhǔn)則1的成立是十分明顯的，洞映射的原理就是建立一個由主網(wǎng)格到挖洞網(wǎng)格的中間映射，其洞內(nèi)單元對應(yīng)主網(wǎng)格的洞內(nèi)區(qū)域，洞外單元對應(yīng)主網(wǎng)格的計算域.

對準(zhǔn)則1的考慮是，廣義封閉時，各個被分割的洞外區(qū)域里，洞外單元也必然是在主網(wǎng)格計算網(wǎng)格中，反之，計算網(wǎng)格也必然在洞映射的非洞內(nèi)單元區(qū)域(洞外單元或邊緣單元).如圖7所示彈身最小洞映射模型的剖面網(wǎng)格，洞外點單元被分割在互不連通的兩個區(qū)域內(nèi)，按傳統(tǒng)方法須在所有互不連通的區(qū)域人為地指定推進(jìn)的初始點，這對復(fù)雜外形來說是比較繁瑣的，依據(jù)準(zhǔn)則1則十分簡單，通過對計算網(wǎng)格進(jìn)行分析和簡單的下標(biāo)計算，可以得到計算網(wǎng)格結(jié)點所在的笛卡爾洞映射單元，這些洞映射單元必然是洞外單元或邊緣單元，且分布在各個分割區(qū)域.這一過程與用洞映射單元標(biāo)記挖洞網(wǎng)格的洞內(nèi)、外單元屬性思路正好相反，故本文稱新方法為“Inverse mark”.

圖7 彈身最小洞映射模型剖面網(wǎng)格

本文建議在“Inverse mark”中使用計算網(wǎng)格的結(jié)點對笛卡爾洞映射單元進(jìn)行標(biāo)識，而不是使用更為常用的網(wǎng)格包圍盒(min，max)，后者雖然可以完整地標(biāo)識整個洞外區(qū)域，但在物面附近網(wǎng)格扭曲較大時，網(wǎng)格包圍盒可能越過物面面元的包圍盒，錯誤地對洞內(nèi)單元進(jìn)行標(biāo)識.

“Inverse mark”使廣義封閉的各個分割的洞外區(qū)域均有洞映射單元被標(biāo)識為洞外單元，因此可以作為推進(jìn)的初始點.本文認(rèn)為以下準(zhǔn)則成立:

準(zhǔn)則2 洞映射笛卡爾網(wǎng)格的邊緣單元連續(xù)，沿網(wǎng)格方向，邊緣單元只能自封閉或終止于網(wǎng)格邊界.

準(zhǔn)則3 I、J、K方向上相鄰的8個映射單元，不可能同時出現(xiàn)洞內(nèi)單元和洞外單元.

準(zhǔn)則2是對物面連續(xù)的要求，邊緣單元一般由物面面元包圍盒(min，max)標(biāo)注，必然連續(xù).依據(jù)準(zhǔn)則2，笛卡爾網(wǎng)格的洞內(nèi)單元與洞外單元分別多連通，洞外(洞內(nèi))單元的推進(jìn)過程，只終止于邊緣單元或網(wǎng)格邊界，不會相互干擾，因此可以只使用一種如洞外單元進(jìn)行推進(jìn).準(zhǔn)則3是對相鄰點原則的加強，認(rèn)為洞外(洞內(nèi))單元的鄰側(cè)和對角單元也是洞外(洞內(nèi))單元.準(zhǔn)則3為本文洞外單元的快速推進(jìn)方法提供了理論依據(jù).同時，準(zhǔn)則3也能作為檢查洞映射單元屬性標(biāo)記是否正確的標(biāo)準(zhǔn).

基于上述3條準(zhǔn)則，“Inverse mark”方法實現(xiàn)步驟如下:

1)按最小洞映射計算笛卡爾網(wǎng)格邊界及網(wǎng)格單元尺寸，初始屬性標(biāo)記為臨時單元;

2)計算物面面元包圍盒(min，max)，標(biāo)記笛卡爾網(wǎng)格邊緣單元;

3)對計算網(wǎng)格進(jìn)行遍歷，若網(wǎng)格結(jié)點落在最小洞映射邊界內(nèi)，則分析該結(jié)點所在的笛卡爾網(wǎng)格單元，若該映射單元為臨時單元，則標(biāo)記為過渡單元;

4)對笛卡爾網(wǎng)格單元進(jìn)行遍歷，若有過渡單元，則標(biāo)記為洞外單元，并檢查其鄰側(cè)和對角單元，若有臨時單元，則標(biāo)記該臨時單元為過渡單元，直至沒有過渡單元;

5)遍歷笛卡爾網(wǎng)格單元，剩余的臨時單元全標(biāo)記為洞內(nèi)單元.

圖8 “Inverse mark”方法標(biāo)識洞映射單元

圖8是“Inverse mark”方法實現(xiàn)的一個簡單示意圖，圖8分別對應(yīng)上述步驟2)～步驟5).由圖8可知，初始推進(jìn)點由計算網(wǎng)格產(chǎn)生，與邊界或物面外法矢信息無關(guān)，因此完全滿足廣義封閉情況，同時可靠性較高.

3 計算方法

3.1 重疊網(wǎng)格方法

本文發(fā)展的最小洞映射和“Inverse mark”方法已在MI-GRID中得到應(yīng)用.MI-GRID是北航閻超課題組研制的重疊網(wǎng)格軟件，核心模塊采用洞映射和割補法技術(shù)，包含了孤點清除、體積優(yōu)化、壁面重疊、動態(tài)重疊等方法［8－9］.該重疊網(wǎng)格軟件計算效率高、可靠性好、使用方便，先后參與了國內(nèi)多個航空航天型號研制工作，包括復(fù)雜外形飛行器、子母彈拋撒、助推級分離、折疊翼打開等項目，得到了有效考核.

3.2 數(shù)值方法

本文算例均求解雷諾平均N-S控制方程，空間離散采用Roe的FDS(Flux Difference Splitting)格式，MUSCL(Monotone Upstream-centred Schemes for Conservation Laws)插值方法和Van Albada限制器用于獲得二階空間離散精度;湍流模型采用剪切應(yīng)力輸運(SST，Shea-Stress Transport)模型;時間離散采用穩(wěn)定性高的LU-SGS(Lower-Upper Symmeffic Gauss-Seider)隱式計算方法.關(guān)于數(shù)值方法具體可參考文獻(xiàn)［10］.

4 算例研究

4.1 TitanⅣ運載火箭

本文采用上述方法，對美國大力神四號(TitanⅣ)大型捆綁式運載火箭的超音速繞流問題［11］進(jìn)行數(shù)值模擬研究.計算條件為:M∞=1.6，ReL=1.1×107，α=0°，由于流動條件對稱，故使用半模計算.采用重疊網(wǎng)格方法分別生成芯級和助推級的計算網(wǎng)格，網(wǎng)格數(shù)目為190萬和40萬.

圖9是建立的芯級和助推級最小洞映射模型，網(wǎng)格邊界包括遠(yuǎn)場、對稱面和截斷面，笛卡爾單元數(shù)目共計925 580，在INTEL CORE2 Q8200的微機上運行，從建立洞映射到單元標(biāo)識完成耗時0.45 s.洞映射結(jié)果表明，本文方法實現(xiàn)了對縫隙的精細(xì)刻畫，標(biāo)識方法在處理各種邊界時可靠性較高.

圖10是重疊結(jié)果和流場計算結(jié)果的示意，由于洞映射結(jié)果能準(zhǔn)確描述芯級和助推級之間的縫隙，重疊結(jié)果正確，流場結(jié)構(gòu)清晰合理.

圖11是火箭芯級中心線上的壓力分布與實驗值的比較，計算結(jié)果與實驗值吻合很好，因為在風(fēng)洞實驗中，芯級與助推級間存在連接機構(gòu)，導(dǎo)致圖11中實驗的峰值點略高.

圖9 TitanⅣ運載火箭最小洞映射模型

圖10 對稱面重疊網(wǎng)格和等馬赫線流場圖

圖11 芯級中心線壓力分布

4.2 子母彈拋撒模擬

子母彈拋撒的空氣動力學(xué)問題是一類典型的超聲速或高超聲速多體干擾、非定常復(fù)雜流動問題.采用重疊網(wǎng)格方法求解子母彈拋撒問題，已成為國內(nèi)外最常用的方法［12－13］.本文對典型外形的子母彈拋撒問題進(jìn)行了研究，計算條件為:拋撒馬赫數(shù)1.6，拋撒高度10 km，母彈攻角0°.母彈和8枚子彈分別生成計算網(wǎng)格，其中母彈網(wǎng)格數(shù)目為330萬，子彈網(wǎng)格數(shù)目為35萬.

圖12是建立的母彈和子彈的最小洞映射模型，笛卡爾單元數(shù)目共計2945560，從建立洞映射到單元標(biāo)識完成耗時1.25 s.母彈洞映射模型在彈倉端部被截斷，“Inverse mark”方法能正確地進(jìn)行標(biāo)識.

圖13、圖14分別是對稱面和某截面上重疊結(jié)果和流場圖，圖中重疊邊界整齊、重疊形式合理，流場等值線在重疊區(qū)銜接較為光滑，流場結(jié)構(gòu)清晰，說明本文使用的重疊網(wǎng)格方法和CFD求解方法對子母彈拋撒流場具有較強的解算能力.

圖13 子母彈重疊網(wǎng)格示意圖

5 結(jié)論

本文對傳統(tǒng)的洞映射方法進(jìn)行了研究，并針對傳統(tǒng)方法存儲大可靠性差的缺點提出改進(jìn)，主要有:

1)對“廣義封閉”的概念進(jìn)行擴展，允許截斷面作為笛卡爾網(wǎng)格邊界，在此基礎(chǔ)上，提出了最小洞映射方法.

2)最小洞映射方法有效縮小了洞映射區(qū)域，節(jié)省了存儲的開銷，有利于細(xì)化洞映射單元，避免了一些常見的由于洞映射過于粗糙引起的問題.

3)分析了不同洞映射單元標(biāo)識方法的優(yōu)劣，指出使用物面信息判斷洞映射單元屬性在笛卡爾網(wǎng)格較密時可靠性較差.

4)提出了一種新的特別適合廣義封閉的標(biāo)識方法:“Inverse mark”，利用計算網(wǎng)格對部分洞外單元進(jìn)行自動標(biāo)識，再作為初始點向網(wǎng)格內(nèi)部遞歸推進(jìn).經(jīng)算例驗證，該方法可靠性好，自動化程度高.

5)提出廣義封閉的洞映射笛卡爾網(wǎng)格滿足的三條準(zhǔn)則，其中準(zhǔn)則3可以作為檢查洞映射單元是否被正確識別的依據(jù).

References)

［1］Ralph W N，Jeffrey P S.A summary of the 2004 overset symposium on composite grids and solution technology［R］.AIAA-2005-921，2005

［2］Benek J A，Buning P G，Steger J L.A 3-D Chimera grid embedding technique［R］.AIAA-85-1523，1985

［3］Bonet J，Peraire J.An alternating digital tree(ADT)algorithm for 3D geometric searching and intersection problems［J］.International Journal for Numerical Methods in Engineering，1991，31(1):1－17

［4］Chiu I T，Meakin R L.On automating domain connectivity for overset grids［R］.AIAA-95-0854，1995

［5］Meakin R.Object X-ray for cutting holes in composite overset structured grids［R］.AIAA-2001-2537，2001

［6］Sudharsun Jagannathan.A methodology for assembling overset generalized grids［D］.Mississippi:Computational Engineering in the College of Engineering，Mississippi State University，2004

［7］Sogers S E，Suhs N E，Dietz W E.PEGSUS 5:an automated pre-processor for overset-grid computational fluid dynamics［J］.AIAA Journal，2003，41(6):1037－1045

［8］李亭鶴.重疊網(wǎng)格自動生成方法研究［D］.北京:北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院，2004

Li Tinghe.Investigation of chimera grid automatic generation algorithm［D］.Beijing:School of Aeronautic Science and Engineering，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2004(in Chinese)

［9］范晶晶.復(fù)雜重疊網(wǎng)格方法研究及多體運動的非定常流動模擬［D］.北京:北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院，2010

Fan Jingjing.Enhancement of complex overset grid assembly and numerical simulation of unsteady multi-body movement［D］.Beijing:School of Aeronautic Science and Engineering，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2010(in Chinese)

［10］閻超.計算流體力學(xué)方法及應(yīng)用［M］.北京:北京航空航天大學(xué)出版社，2006:245-248

Yan Chao.The methodology and application of computational fluid dynamics［M］.Beijing:Beihang University Press，2006:245－248(in Chinese)

［11］Taylor S，Johnson C T.Launch-vehicle simulations using a concurrent，implicit Navier-Stokes solver［R］.AIAA-95-0223，1995

［12］Spinetti R L，Jolly B A.Time-accurate numerical simulation of GBU-38s separating from the B-1B aircraft with various ejector forces，store properties，and load-out configurations［R］.AIAA-2008-187，2008

［13］張輝，重疊網(wǎng)格技術(shù)在飛行器多體分離問題中的應(yīng)用［D］.北京:北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院，2010

Zhang Hui.The overlapping grid technology in the application of multi-body separation problem in the aerocraft［D］.Beijing:School of Aeronautic Science and Engineering，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2010(in Chinese)