冉 政
(上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所,上海200072)
盡管有關(guān)湍流的理論研究十分復(fù)雜,進(jìn)展緩慢[1-2],但沒有人否定湍流研究的重要性.本文選取湍流研究中的能量級串問題,作為主要的關(guān)注對象,試圖分析湍流能量級串這一概念的起源和演化,以及目前的發(fā)展?fàn)顩r.簡單地講,湍流的多尺度和湍流的能量級串 (cascade)是湍流研究中一個(gè)十分重要的概念,由于非線性相互作用,湍流中存在尺度之間的逐級能量傳遞,一般是大尺度旋渦向小尺度旋渦輸送能量.然而,這一簡單的物理圖象卻蘊(yùn)涵十分令人困惑的數(shù)學(xué)物理問題,它一直是湍流理論研究的核心問題.在湍流研究發(fā)展過程,包括 Taylor,Richardson,Kolmogorov,Mandelbrot,F(xiàn)risch等許多科學(xué)家均對此問題做出過貢獻(xiàn),但是,到目前為止,基于第一原理的認(rèn)識(shí)卻一直沒有實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展.本文在簡單闡述這些工作后,介紹了最近的一個(gè)理論進(jìn)展.
湍流能量級串的概念起源于Richardson一首廣為流傳的詩[3],詩中并無精確的數(shù)學(xué)物理內(nèi)容,但卻存在清晰的物理圖象:在能量級串過程中,第1級大渦的能量來自外界,大渦失穩(wěn)后,產(chǎn)生第2級小渦,小渦失穩(wěn)后又產(chǎn)生更小的旋渦,最后,由于Re數(shù)非常大,所有可能尺度的運(yùn)動(dòng)模式都被激發(fā).Richardson的湍流級串圖象已經(jīng)影響了湍流理論和實(shí)驗(yàn)工作者幾十年.1941年,Kolmogorov對于湍流的刻畫[4]實(shí)際上已經(jīng)使用了這一物理圖象.Richardson的湍流級串圖象引入了如下的思想:在湍流場中,能量從大尺度向小尺度的傳輸中,要經(jīng)歷多步的離散過程,這一過程與旋渦的拉伸變形相關(guān)聯(lián).這種圖象自然涉及到一系列的旋渦層次結(jié)構(gòu)以及分岔過程.其中最基本的是認(rèn)為級串是一個(gè)多步過程,這就涉及到不同旋渦尺度的層次結(jié)構(gòu),一般可以簡單地想象為不同直徑的球形旋渦組成的層次結(jié)構(gòu).長期以來,這一過程僅在唯象的分析中得到了部分的理解,而目前的研究表明:Richardson的湍流級串圖象具有一定合理的物理性質(zhì).但是,由此帶來了一系列基本理論問題:①是否存在內(nèi)在的自然過程導(dǎo)致能量從大尺度旋渦到小尺度旋渦傳輸;②為什么湍流的能量級串必須是一個(gè)多步離散的過程.
Kolmogorov[4]是 第 一 個(gè) 用 數(shù) 學(xué) 公 式 表 述Richardson湍流能量級串圖象的學(xué)者,他認(rèn)為:在Re數(shù)很大時(shí),湍流可以看成由相差很大的、各種不同尺度旋渦組成,最大的旋渦直接由平均流動(dòng)的不穩(wěn)定性或邊界條件產(chǎn)生.類似Richardson湍流能量級串圖象,這些大尺度旋渦又將破裂成較小的旋渦,較小的旋渦又分岔成更小的旋渦,這樣就形成了一串無窮多級的大大小小的旋渦.與Richardson不同的是,Kolmogorov關(guān)注的是小尺度湍流的各向同性統(tǒng)計(jì)特性,他認(rèn)為這種湍流統(tǒng)計(jì)特性具有一定的普適性.最為主要的思想是:在高Re數(shù)條件下,大尺度旋渦級串到小尺度旋渦的過程要經(jīng)過許多級,以致到慣性區(qū)非各向同性的大尺度的影響可以忽略,而認(rèn)為湍流小尺度是局部各向同性的,并且此時(shí)湍流的統(tǒng)計(jì)特征與粘性無關(guān),而主要取決于湍流的平均能量耗散.Kolmogorov使用量綱分析的方法得到了兩條定律,這實(shí)際上可以看成目前湍流理論研究的主要成就.
Kolmogorov理論的主要問題在于沒有直接與流體運(yùn)動(dòng)方程建立聯(lián)系,沒有動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ),同時(shí)沒有計(jì)及湍流間歇性的影響,在之后的文獻(xiàn)[5]中,湍流的間歇性得到了一定的刻畫,但是第一原理的問題依然沒有解決.
1949 年 Batchelor和 Townsend[6]在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)了湍流小尺度結(jié)構(gòu)的間歇性質(zhì),在最初的研究中主要是有關(guān)湍流能量耗散率的刻畫.這一問題的深入研究最終導(dǎo)致了使用多重分形結(jié)構(gòu)刻畫湍流,這是現(xiàn)代湍流研究極其重要的一步,多重分形結(jié)構(gòu)實(shí)質(zhì)表明各向同性湍流是具有動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)的系綜.1962 年,Kolmogorov[5]和 Obukhov[7]分別提出有關(guān)湍流耗散率的對數(shù)正則分布模型,Novikov[8]和 Mandelbrot[9]探討了對數(shù)正則模型的內(nèi)在問題.另外一種多步間歇湍流模型則是1964 年由 Novikov和 Stewart[10]提出的.1974 年,Mandelbrot[11]引入了分形幾何的概念,用于理解上述模型的特征,這是該領(lǐng)域的一個(gè)重要進(jìn)展.1974年,Kraichnan[12]分析了在廣義自相似意義下湍流能量級串的物理內(nèi)涵.在湍流學(xué)術(shù)界影響比較大的是β-模型[13],這一唯象模型在描述湍流多重分形特性方面較為成功.
值得注意的是,上述的模型實(shí)質(zhì)上屬于唯象性質(zhì)的模型,缺乏動(dòng)力學(xué)支持[13].
自1963年Lorenz[14]的開創(chuàng)工作以來,非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)混沌的研究發(fā)展迅速,極大地刺激了湍流理論研究的發(fā)展.非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)混沌的研究提供了一種革命性的新觀點(diǎn)和新方法,如何應(yīng)用這一新觀點(diǎn)和新方法充分發(fā)展湍流研究一直是湍流學(xué)術(shù)界的挑戰(zhàn)[15].多年來,許多學(xué)者提出了一些具有完全發(fā)展湍流特征的混沌動(dòng)力學(xué)模型,盡管這些模型能夠再現(xiàn)一些N-S(Navier-Stokes)湍流的本質(zhì)特征,但仍屬于簡化模型,因此屬于唯象模型,可以歸納為湍流的低維動(dòng)力學(xué)模型范疇.最為著名的是 Burgers方程模型[16],它可以看成是N-S方程的一維簡化模型,但是它的解不是混沌的,Kolmogorov能譜律也不成立.由 Desnyansky 和 Novikov[17],以及 Kerr和Siggia[18],Gloaguen[19]等人提出的殼模型雖然得到了Kolmogorov能譜律,但作為運(yùn)動(dòng)方程的定態(tài)解,對應(yīng)相空間中的固定點(diǎn).中國學(xué)者錢儉[20]在1988年也提出一個(gè)簡化的湍流級串模型,雖然該模型的相空間維度僅為20,但能模擬充分發(fā)展湍流的主要特征,包括Kolmogorov能譜,相比之下,該模型能更好地模擬湍流的動(dòng)力學(xué)特征和統(tǒng)計(jì)特征.
在湍流能譜空間,上述所有模型均未提供湍流的大尺度動(dòng)力學(xué)的任何信息,這是除有限截?cái)嗤?,最為主要的理論缺陷,另外,上述的模型對于湍流多尺度結(jié)構(gòu)的起源也沒有對應(yīng)的動(dòng)力學(xué)支持,大多數(shù)在譜空間討論.一個(gè)自然而然的問題是:能否在湍流方程中存在一個(gè)自然的動(dòng)力系統(tǒng)結(jié)構(gòu),對湍流級串進(jìn)行更為理性的 (基于第一原理)刻畫.有關(guān)各向同性湍流Karman-Howarth方程的精確解的進(jìn)展[21-24]部分回答了上述問題.
出發(fā)方程是三維不可壓縮流體的Karman-Howarth方程
式 (1)不封閉,需要引入一定的封閉條件.采用Sedov提出的封閉方法,可以證明存在以下湍流空間尺度自封閉的演化方程[21-24]:
其中a1,a2為兩個(gè)積分常數(shù).這是一個(gè)第二類非線性Lienard型方程,并且可以按標(biāo)準(zhǔn)方法得到精確解.研究以下形式解 (冪次解),這兩類解為
在滿足大波數(shù)情況的冪次能譜條件下,可以證明所設(shè)的湍流參數(shù)必須是離散值
為了有效地度量旋渦系統(tǒng)尺度,必須選擇一定的參考尺度,一旦選定參考尺度,其他量與參考尺度做比例,則可以得到對應(yīng)的度量.本文得到了兩種不同的旋渦尺度,如果選擇的參考尺度為
由式 (2)可知,lm是遞減函數(shù),結(jié)合到湍流場中旋渦尺度的范圍 (L是湍流外尺度,η是湍流內(nèi)尺度)L>lm>η,則在湍流流場中存在一個(gè)遞減的旋渦譜系:
完全按照上述思路,如選取測量的尺度是
利用兩種遞增和遞減的旋渦譜系,可以建立對應(yīng)的尺度遞推關(guān)系.
注意到兩點(diǎn)的邊界條件,可得如下線性方程組:
其解可以寫為
代入有關(guān)的定義,有:
同理有
式 (4)減去式 (3),有
同樣的方法可以得到第二特征尺度對應(yīng)的一個(gè)新的遞推公式
簡單的計(jì)算如下:
如果引入條件:A?1,則可以有近似關(guān)系:
可以證明:各向同性湍流系統(tǒng)的旋渦尺度動(dòng)力系統(tǒng)拓?fù)涞葍r(jià)如下標(biāo)準(zhǔn)Logistic映射:
由上述分析可以得到:根據(jù)本文新得到的各向同性湍流尺度演化方程,在各向同性湍流系統(tǒng)中存在以湍流Taylor微尺度為動(dòng)力學(xué)量的非線性動(dòng)力系統(tǒng)
其中
xm為湍流Taylor微尺度面積測度;Rc為 線性穩(wěn)定性理論得到的臨界Re數(shù),注意到僅僅由Re數(shù)確定,這與實(shí)驗(yàn)的觀測相符合.
根據(jù)上述理論,可以認(rèn)為:湍流能量級串由一系列的旋渦非線性分岔過程刻畫,呈現(xiàn)Feigenbaum倍周期分岔的途徑.有關(guān)的分岔序列計(jì)算可以參見文獻(xiàn) [24].
從簡單的對比可以看到本文提出的湍流級串旋渦動(dòng)力學(xué)模型與β-模型有許多類似之處,但存在如下根本的區(qū)別:
1)β-模型中的離散來自假設(shè)的旋渦的概念,沒有數(shù)學(xué)基礎(chǔ),而本文新模型中離散的出現(xiàn)有物理數(shù)學(xué)原因;
2)β-模型中尺度的演化只有遞減的模態(tài),并且是人為設(shè)定的,沒有動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ).
本文簡要回顧了有關(guān)湍流能量級串問題的概念的源起和演化,簡要評述了目前各種研究方法的局限性.最后給出了本文在這一方向上基于Karman-Howarth方程的研究進(jìn)展.主要結(jié)果表明:湍流能量級串由一系列的旋渦非線性分岔過程刻畫,呈現(xiàn)Feigenbaum倍周期分岔的途徑,這定量地反映出湍流能量級串中的非線性相互作用.
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