基于非概率凸模型可靠性的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

王曉軍 王 磊

賈 曉

(北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京100191)

(中國航空綜合技術(shù)研究所，北京 100028)

邱志平

(北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京100191)

在實際工程優(yōu)化設(shè)計中，由于制造、計算誤差和外界干擾不可避免，不確定因素帶來的問題也日益凸顯.隨著優(yōu)化設(shè)計方法的更新及數(shù)值計算能力的加強，基于可靠性的優(yōu)化設(shè)計理論成為研究的重點［1］.

近幾十年間，人們往往對基于概率可靠性的優(yōu)化設(shè)計表現(xiàn)出更為濃厚的興趣，在設(shè)計中要求系統(tǒng)元件失效的概率小于許用值，可以說概率可靠性理論在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中取得了成功的應(yīng)用［2］.然而概率模型需要較多的信息數(shù)據(jù)，用來定義不確定參量的概率分布，常常缺乏結(jié)構(gòu)樣本的試驗數(shù)據(jù)，無法滿足概率可靠性模型的應(yīng)用需求［3］.同時，概率可靠性對參數(shù)極為敏感，微小的參數(shù)改變可能會導(dǎo)致最終分析結(jié)果大幅波動，這就說明在沒有足夠的數(shù)據(jù)信息以精確描述變量的隨機性時，主觀假設(shè)很大程度上導(dǎo)致計算結(jié)果的可信度下降.隨著研究的深入，概率可靠性模型不再是最佳選擇.

在許多情況下，雖然不確定變量(如載荷、幾何尺寸、材料屬性等)的概率分布情況不易準確描述，但是不確定參數(shù)的邊界往往不難獲得.基于這種思想，文獻［4－5］從20世紀90年代開始提出了基于凸集合模型的非概率可靠性的概念，認為系統(tǒng)若能容許不確定參量的精確度在一定范圍內(nèi)波動，則系統(tǒng)是可靠的.并進一步將非概率可靠性界定為某一區(qū)間變量而非一具體值.其基本思想是:如果系統(tǒng)可以容許較大的不確定性而不失效，則系統(tǒng)視之可靠，反之系統(tǒng)是不可靠的.文獻［6］將凸模型理論同結(jié)構(gòu)的不確定優(yōu)化設(shè)計相結(jié)合，通過疊加方法獲取結(jié)構(gòu)響應(yīng)的極值，一定程度上減少了計算量.文獻［7］提出以結(jié)構(gòu)體積作為尋優(yōu)目標，建立考慮位移非概率可靠性約束下三維連續(xù)體拓撲優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，進而提出目標性能值的伴隨法靈敏度分析算法.文獻［8］提出了基于非概率凸模型的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計方法.文獻［9－10］基于區(qū)間數(shù)理論，提出考慮區(qū)間變量的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計方法.文獻［11］引用區(qū)間擾動方法，通過反優(yōu)化技術(shù)處理不確定有界參數(shù)問題.文獻［12］基于結(jié)構(gòu)的應(yīng)力-強度非概率區(qū)間干涉模型和可靠性分析模型，提出基于非概率集合可靠性的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，通過指定可靠性指標作為約束條件，進行數(shù)值求解.

本文基于通過超橢球域界定不確定參量，將結(jié)構(gòu)基本不確定變量安全域的超體積與其可行域的超橢球總體積之比作為結(jié)構(gòu)非概率可靠性的度量［13－14］，并賦值可靠度作為約束條件，利用拉格朗日乘子進行迭代求解，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的可靠性優(yōu)化.

1 不確定性變量的超橢球凸集模型

考慮結(jié)構(gòu)在外載作用下的強度設(shè)計問題，由于結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和強度往往受到多方面因素的影響，這些參數(shù)本身具有不確定性，所以結(jié)構(gòu)應(yīng)力和結(jié)構(gòu)強度也是不確定的.

如果基于區(qū)間分析方法，將結(jié)構(gòu)的不確定變量x通過一區(qū)間進行描述，令其上、下邊界分別為xu，xl，則 x∈xI=［xl，xu］稱為區(qū)間變量.令

則有

其中，xc表征上述區(qū)間的平均水平，稱為區(qū)間xI的均值;xr表征該區(qū)間相對于均值xc的波動情況，稱為區(qū)間xI的半徑.

文獻［3］提出的用凸集模型來描述結(jié)構(gòu)的不確定參量，即用超橢球表示不確定參量的取值范圍，表示如下:

通過標準化參量轉(zhuǎn)換，即令

可將原凸集模型轉(zhuǎn)換為一個等效的單位超球，變形如下:

本文基于凸模型方法，將參數(shù)的不確定性量化在一個超橢球域內(nèi).通過標準化基本變量，進一步將變量的可行域(超橢球)歸一化為一個等效的單位超球域.在標準化空間內(nèi)，利用單位超球域與結(jié)構(gòu)功能函數(shù)失效域之間的相互位置關(guān)系，實現(xiàn)對結(jié)構(gòu)安全程度的度量.第2節(jié)將給出結(jié)構(gòu)非概率凸模型可靠性指標的定義.

2 非概率可靠性度量

取結(jié)構(gòu)功能函數(shù)為

這一線性形式，給定一組不同的S和R，判定結(jié)構(gòu)所處的狀態(tài)是安全還是失效，將不確定參量的取值空間分為安全域和失效域兩部分，它們的區(qū)分界限稱為極限狀態(tài)平面，即

M的正值表示基本變量的安全集(安全域)，M的負值表示基本變量的失效集(失效域)，即

借鑒文獻［15］提出的非概率集合可靠性理論，用單位超球與結(jié)構(gòu)功能函數(shù)失效面之間的相互位置關(guān)系確定系統(tǒng)的安全程度，即定義非概率凸模型可靠性的度量指標.將取值空間中失效域與基本變量單位超球域之比定義為系統(tǒng)的失效度，簡化至二維空間則表示為失效域面積與基本變量單位圓域面積之比，如圖1所示.

圖1 基于非概率凸方法的可靠度計算示意圖

與之對應(yīng)，當結(jié)構(gòu)的應(yīng)力小于強度時，系統(tǒng)安全，定義取值空間中安全域面積與基本變量單位圓域面積之比為系統(tǒng)的可靠度，即

通過對非概率可靠性指標的度量，可以發(fā)現(xiàn)，給定不同的應(yīng)力和強度集合，結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的失效面位置會發(fā)生變化，導(dǎo)致失效域和安全域的面積隨之改變.根據(jù)圖1與式(8)和式(9)，非概率凸模型失效度和非概率凸模型可靠度可以表示為結(jié)構(gòu)應(yīng)力S和結(jié)構(gòu)強度R的函數(shù).具體計算公式如下:

其中，Rc和Sc分別為強度和應(yīng)力橢球中心;Rr和Sr分別為強度和應(yīng)力橢球半軸.

3 結(jié)構(gòu)非概率可靠性優(yōu)化設(shè)計

3.1 優(yōu)化設(shè)計模型

傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)確定性優(yōu)化分析模型通常表示為

其中，f(x)是目標函數(shù)，x=(x1，x2，…，xn)T是向量形式的優(yōu)化變量;gi(x)和hi(x)為約束條件;m和n是約束條件個數(shù).

由于不確定性的影響，考慮可靠性，引入不確定變量和可靠性不等式約束條件.從而結(jié)構(gòu)傳統(tǒng)優(yōu)化模型變形為如下結(jié)構(gòu)非概率可靠性優(yōu)化模型:

其中，y為不確定變量，可靠性約束條件表示為

在第1節(jié)中已經(jīng)提出，當把結(jié)構(gòu)強度R和結(jié)構(gòu)應(yīng)力S表示為橢球變量時，結(jié)構(gòu)的非概率凸模型失效度和可靠度表示為

其中，d為原點到失效平面的距離.

針對結(jié)構(gòu)設(shè)計要求，給定系統(tǒng)非概率失效度和可靠度的約束指標，使得系統(tǒng)每一個構(gòu)件的非概率失效度都不大于給定值，非概率可靠度都不小于給定值，即

3.2 求解優(yōu)化模型

由上文優(yōu)化模型設(shè)計，通過Rockafellar乘子法和阻尼牛頓法對其進行迭代求解.針對不等式約束條件，首先引入松弛變量zi(i=1，2，…，m)和 zm+j(j=1，2，…，n)，將問題轉(zhuǎn)化為等式約束條件，優(yōu)化模型變形為

在等式約束條件下，引入相應(yīng)的增廣拉格朗日函數(shù)

現(xiàn)在增廣拉格朗日函數(shù)是一個四元函數(shù)，由于zi和zm+j是引入的松弛變量，要想求得最優(yōu)化解，首先要使 φ(x，y，z，u)關(guān)于 z取極小值，即

根據(jù)上式對z取偏導(dǎo)，可以得到

因此可以得到

結(jié)合式(27)和式(28)，增廣拉格朗日函數(shù)最終變形表示為

其中，上標k和k+1表示乘子u的迭代次數(shù).

而結(jié)束準則可以表示為

其中，ε為允許誤差.

通過乘子法，建立增廣拉格朗日函數(shù)，對松弛變量z取極小值，將帶約束的優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為無約束的優(yōu)化問題，并采用阻尼牛頓法求解優(yōu)化模型.其中，每步迭代沿方向為

進行一維搜索來決定步長λk，即取λk，使

于是得到阻尼牛頓法的迭代公式為

相較于牛頓法對于步長總是賦值為1，阻尼牛頓法的步長選取更具有優(yōu)越性，使得優(yōu)化問題的收斂速度更快，并且對于初始點的選取條件較為寬松，在實際應(yīng)用中取得了更好的效果.當然，阻尼牛頓法一定程度上增加了運算量，同時要求海賽矩陣 Δ2φ(x(k)，y，u)的逆陣.而本文中目標函數(shù)是變量x的隱式函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)不容易直接獲得，應(yīng)采用差分方法求得其近似解.

綜上所述，基于非概率凸模型可靠性的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題，其求解步驟一般為

1)引入松弛變量將不等式約束問題轉(zhuǎn)化為等式約束的優(yōu)化問題;

2)將帶約束的優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為無約束的優(yōu)化問題;

3)給定初始點x(0)，乘子向量的初始估計u(1)，參數(shù) c，允許誤差 ε ＞0，k=1;

4)以x(k－1)為初始點，結(jié)合乘子法和阻尼牛頓法處理無約束的優(yōu)化問題，即 min φ(x(k)，y，u(k))，得解x(k);

5)若滿足收斂準則，即計算式(10)，迭代結(jié)束，得到近似解x(k)為最優(yōu)解;否則，轉(zhuǎn)到步驟4);

4 數(shù)值算例

本節(jié)里采用文獻［4］中的算例，受壓細桿在圖2所示載荷作用下的屈曲失效問題.通過凸模型方法和區(qū)間分析方法來預(yù)測具有不確定初始幾何缺陷細桿結(jié)構(gòu)的動態(tài)屈曲響應(yīng)集合.并根據(jù)Hoff判斷準則，討論以下兩種判斷準則下結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性問題.

圖2 八桿桁架示意圖

分析圖中桁架結(jié)構(gòu)易知，外載作用下桿⑧為零力桿，所以只需對①～⑦桿進行優(yōu)化問題的處理.通過數(shù)學(xué)運算得到各桿的應(yīng)力區(qū)間.基于各桿應(yīng)力區(qū)間和桿材料的抗拉、抗壓區(qū)間，根據(jù)式(1)和式(3)可得用于計算各桿非概率凸模型可靠性的應(yīng)力-強度橢球.

結(jié)合本文前述的基于結(jié)構(gòu)可靠性指標的優(yōu)化設(shè)計方法，此平面八桿桁架結(jié)構(gòu)的非概率可靠性優(yōu)化分析模型為

定義每根桁架桿處于安全狀態(tài)時的非概率可靠度指標為99.9%，非概率凸模型可靠度的約束條件為

考慮到本文所述算例的約束條件(可靠性指標)與設(shè)計變量(截面積)之間存在著單調(diào)性的關(guān)系，進而使得目標函數(shù)的尋優(yōu)簡化為約束方程針對多變量的求解問題，無需考慮迭代即可獲得不同外載作用下，桁架系統(tǒng)的最優(yōu)化結(jié)果，見表1.

表1 不同外載PI作用下的優(yōu)化結(jié)果

表1列出了每根桿的非概率可靠度的下限取99.9%時，各桿橫截面積及總質(zhì)量的最優(yōu)化結(jié)果.對于此桁架系統(tǒng)，桿②、③和⑥所承受的力較大，所以最終的優(yōu)化面積也比較大;桿①、④、⑤和⑦應(yīng)力情況一致，得到的優(yōu)化結(jié)果也相同.而且，隨著外載分散度增大，優(yōu)化橫截面積也隨之增大.

相較于文獻［12］提出的基于區(qū)間變量的可靠性優(yōu)化分析，與本文所述的基于凸模型的變量可靠性優(yōu)化設(shè)計就不確定性的本質(zhì)描述存在著明顯不同.基于區(qū)間描述的不確定性在數(shù)學(xué)分析上不易用連續(xù)可微函數(shù)來處理，而往往只能采用圖示的方法給予說明，且不易處理多變量問題;用凸模型來描述不確定變量則很好地解決了上述局限性，在可靠性分析以及基于可靠性的優(yōu)化設(shè)計中體現(xiàn)出了更好的工程適用性.然而，若單單以優(yōu)化結(jié)果來比較區(qū)間與凸模型兩種方法，無法作出優(yōu)劣性的評判，因為它們研究的內(nèi)涵并不盡相同.

5 結(jié)論

基于區(qū)間描述的不確定性分析方法在數(shù)學(xué)處理上不易用連續(xù)可微函數(shù)來處理，因此使得非概率區(qū)間可靠性度量方法在實際應(yīng)用中受到了一定的限制.本文基于凸模型方法，將影響結(jié)構(gòu)的不確定參量表示為橢球變量，用結(jié)構(gòu)安全域的體積與基本區(qū)間變量超球域的總體積之比作為結(jié)構(gòu)非概率可靠性的度量，建立起新的非概率凸模型可靠性的結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型.賦值可靠度作為約束條件，利用乘子法和阻尼牛頓法對優(yōu)化模型進行數(shù)值計算，得到最優(yōu)化解.本文中所述方法不需要獲得不確定量的概率分布信息，只需知道其變化范圍，對于實際問題的處理具有更為明確的物理意義和工程價值.本文提出的非概率可靠性優(yōu)化模型清晰明了，不確定性變量集合和非概率凸模型可靠性指標連續(xù)可微，更易于處理多變量問題，從而使得基于凸模型的優(yōu)化設(shè)計更為經(jīng)濟、合理，在工程上具有更好的實用性.

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