TSNAM彩色圖像的格雷碼表示

鄭運(yùn)平，張佳婧

(華南理工大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，廣東 廣州 510006)

布局問(wèn)題包含了種類繁多的若干類問(wèn)題如三角形布局問(wèn)題、矩形布局問(wèn)題和裝箱問(wèn)題等，這些問(wèn)題在許多領(lǐng)域里能夠得到廣泛的應(yīng)用，有著巨大的理論價(jià)值和實(shí)際意義［1-2］.在Internet已成為最主要的信息傳輸途徑的今天，由于圖像信息所具有的大量性，其快速、實(shí)時(shí)傳輸?shù)囊蟮貌坏綕M足，已成為制約Internet發(fā)展的一個(gè)難題.許多實(shí)際的應(yīng)用由于大量的圖像信息得不到快速傳輸而使系統(tǒng)的實(shí)時(shí)效果不是很理想.因此圖像表示方法的研究就變得非常重要，它是目前最活躍的研究領(lǐng)域之一［3-5］.四元樹(shù)(linear quadtree，LQT)表示是研究得最早、最多的一種圖像表示方法［6］.為了進(jìn)一步減少存儲(chǔ)空間，Gargantini消除了指針?lè)桨?，提出了線性四元樹(shù)表示方法［7］.一般情況下，LQT表示方法可節(jié)省66%的存儲(chǔ)空間;特殊情況下，可節(jié)省高于90%的存儲(chǔ)空間.借助于矩形布局問(wèn)題的思想，通過(guò)使用位平面分解方法，文獻(xiàn)［8］提出了一種基于非對(duì)稱逆布局的模式表示模型(non-symmetry and anti-packing pattern representation model，NAM)的彩色圖像表示方法，這是彩色圖像的間接矩形NAM表示方法.隨后，文獻(xiàn)［9］提出了彩色圖像的直接矩形NAM表示方法.文獻(xiàn)［8-9］中用到的子模式均為矩形，對(duì)于具有塊狀性的圖像具有較好的表示效果.對(duì)于塊狀性不好或者沒(méi)有明顯塊狀性的圖像，三角形子模式是一個(gè)很好的選擇，鑒于此，筆者在文獻(xiàn)［10］中曾提出了灰度圖像的直接三角形NAM表示方法，而在文獻(xiàn)［11］中提出了灰度圖像的間接三角形NAM表示方法(IITNAM).最近，借助三角形和正方形布局問(wèn)題的思想，通過(guò)在IITNAM表示方法中增加正方形子模式，文獻(xiàn)［12］提出了一種稱為TSNAM的圖像表示方法，并且也使用了BPD方法.盡管BPD方法是一種有效降低圖像復(fù)雜度的方法，但采用這種方法來(lái)分解位平面存在一個(gè)缺點(diǎn)，即像素點(diǎn)灰度值的微小變化會(huì)對(duì)位平面的復(fù)雜度產(chǎn)生較明顯的影響.例如，當(dāng)空間相鄰的2個(gè)像素的灰度值分別為127=(01111111)2和128=(10000000)2時(shí)，圖像的每個(gè)位平面在這個(gè)位置處都會(huì)有從0到1(或從1到0)的傳輸，而由法國(guó)工程師 J.M.E.Baudot于1880年發(fā)明的格雷碼(Gray code)則沒(méi)有這一缺點(diǎn)，格雷碼在任意2個(gè)相鄰的數(shù)之間轉(zhuǎn)換時(shí)，只有一個(gè)數(shù)位發(fā)生變，它大大地減少了由一個(gè)狀態(tài)到下一個(gè)狀態(tài)時(shí)邏輯的混淆.

因此，為了進(jìn)一步提高TSNAM的表示效率，同時(shí)也為了減小像素點(diǎn)灰度值的微小變化會(huì)對(duì)位平面的復(fù)雜度產(chǎn)生較明顯的影響，本文將格雷碼和BPD方法應(yīng)用到彩色圖像的TSNAM表示方法中，提出了一種基于格雷碼的TSNAM彩色圖像表示方法(GTSNAM).理論分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了本文提出的GTSNAM表示方法的正確性和有效性.

1 彩色圖像的GTSNAM方法

1.1 TSNAM方法的思想

在TSNAM表示方法中，預(yù)先定義的子模式集合是三角形和正方形.其中，將三角形子模式分成了4類:上三角形、下三角形、對(duì)稱上三角形和對(duì)稱下三角形.這樣，對(duì)于任何一個(gè)三角形子模式，不需要存儲(chǔ)3個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，而只要存儲(chǔ)斜邊的2個(gè)端點(diǎn)和一個(gè)用于標(biāo)識(shí)三角形子模式類型的標(biāo)識(shí)符(比如上三角形、下三角形、對(duì)稱上三角形和對(duì)稱下三角形分別用“0”、“1”、“2”和“3”這4個(gè)數(shù)來(lái)標(biāo)識(shí))即可.相反，以斜邊的2個(gè)端點(diǎn)和三角形類型的標(biāo)識(shí)符，也可以非常簡(jiǎn)單地解碼出三角形子模式.

彩色圖像的TSNAM表示方法的主要思想是:對(duì)一幅彩色圖像，首先獲取其3幅由r、g、b顏色分量組成的灰度圖像，然后通過(guò)BPD方法對(duì)每幅灰度圖像進(jìn)行分解，獲得相應(yīng)的位平面二值圖像，最后用三角形和正方形子模式對(duì)所有二值圖像進(jìn)行逆布局.事實(shí)上，TSNAM表示方法對(duì)IITNAM表示方法的改進(jìn)主要體現(xiàn)在TSNAM表示方法中新增了一個(gè)正方形子模式.

1.2 彩色圖像的GTSNAM算法描述

設(shè)已經(jīng)布局好的彩色圖像模式為C，位深為m，大小為2n×2n×3，其分解后的3幅灰度圖像模式為G［1］、G［2］和G［3］，大小均為 2n×2n.為方便起見(jiàn)，假定“0”為“black”，即黑色，表示區(qū)域，“1”為“white”，即白色，表示背景點(diǎn).本算法只需記錄“black”像素點(diǎn).GTSNAM表示算法中被逆布局的子模式對(duì)象是任意大小的三角形和正方形，其中三角形子模式t={triangle|triangle=(flag，point1_hyp，point2_hyp)}，flag占2 bit，flag=0時(shí)表示上三角形，flag=1時(shí)表示下三角形，flag=2時(shí)表示對(duì)稱上三角形，flag=4時(shí)表示對(duì)稱下三角形;point1_hyp和point2_hyp表示斜邊的2個(gè)端點(diǎn);且正方形子模式s={square|square=(sp，edge)}中，sp和 edge分別代表正方形左上角的坐標(biāo)及邊長(zhǎng).

以下給出了GTSNAM表示算法的具體步驟:

輸入:一幅2n×2n×3的彩色圖像模式C以及其位深m.

輸出:Q={Qt，Qs，Ql，Qp}，Qt={Qt0，Qt1，…，Qt3m－1}，Qs={Qs0，Qs1，…，Qs3m－1}，Ql={Ql0，Ql1，…，Ql3m－1}和Qp={Qp0，Qp1，…，Qp3m－1}.其中Qti、Qsi、Qli和Qpi(0≤i≤3m－ 1)分別表示第i個(gè)格雷碼位面圖CPi的三角形、正方形、線段和孤立點(diǎn)的編碼結(jié)果.

1)對(duì)于一個(gè)給定的大小為2n×2n×3的彩色圖像C，分別取得由它的r、g、b顏色分量組成大小為2n×2n的灰度圖像G［1］、G［2］和G［3］，并把三角形、正方形、線段和孤立點(diǎn)的計(jì)數(shù)變量tn、sn、ln和pn均賦值為0.

2)用灰度圖像的BPD方法依次將3幅灰度圖像G［1］、G［2］和G［3］各自分解為m幅二值圖像BPi(0≤i≤m－1)、BPi(m≤i≤2m－1)和 BPi(2m≤i≤3m－1).

3)當(dāng)k=1，2，3 時(shí)，根據(jù)式(1)，依次計(jì)算出每m幅二值位面圖 BPi(0≤i≤m－1)、BPi(m≤i≤2m－1)和BPi(2m≤i≤3m－1)所分別對(duì)應(yīng)的m幅格雷碼位面圖CPi(0≤i≤m－1)，CPi(m≤i≤2m－1)和 CPi(2m≤i≤3m－1)，并令j=0.

4)從CPj的第1個(gè)入口開(kāi)始，首先用光柵掃描的方法確定一個(gè)未被標(biāo)識(shí)的起始點(diǎn)(x，y)，再根據(jù)三角形子模式的匹配(逆布局)策略來(lái)盡可能地形成最大的三角形子模式.

5)如果以(x，y)為端點(diǎn)找到的最大三角形子模式為上三角形(或?qū)ΨQ上三角形)，則將flag賦為0(或2)，三角形的計(jì)數(shù)變量tn的值加1，且將這個(gè)三角形子模式作標(biāo)識(shí).

6)記錄斜邊端點(diǎn)的2個(gè)坐標(biāo)(x1，y1)和(x2，y2)，然后對(duì)斜邊的2個(gè)端點(diǎn)作K碼降維變換，即point1_hyp←K(x1，y1)，point2_hyp←K(x2，y2)，最后將flag、point1_hyp、point2_hyp這3個(gè)變量存儲(chǔ)到隊(duì)列Qtj中，即有Qtj{tn}←{flag，point1_hyp，point2_hyp}.

7)如果以(x，y)為端點(diǎn)找到的最大三角形子模式為下三角形(或?qū)ΨQ下三角形)，則將flag賦為1(或3)，三角形的計(jì)數(shù)變量tn的值加1，且將這個(gè)三角形子模式作標(biāo)識(shí)，記錄斜邊端點(diǎn)的2個(gè)坐標(biāo)(x1，y1)和(x2，y2)，然后對(duì)斜邊的2個(gè)端點(diǎn)作K碼降維變換，即:point1_hyp←K(x1，y1)，point2_hyp←K(x2，y2)，最后將 flag、point1_hyp、point2_hyp 這 3 個(gè)變量存儲(chǔ)到隊(duì)列Qtj中，即有Qtj{tn}←{flag，point1_hyp，point2_hyp}.

8)如果以(x，y)為端點(diǎn)找到的最大上三角形(或?qū)ΨQ上三角形)子模式的面積和最大下三角形(或?qū)ΨQ下三角形)子模式的面積相等，且這2個(gè)三角形能構(gòu)成一個(gè)正方形，則將tn的值減2，同時(shí)將sn的值加1.

9)記錄此最大正方形子模式的2個(gè)參數(shù)，即起始點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)和邊長(zhǎng)edge;然后對(duì)起始點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)作K碼降維變換，即 sp←K(x，y);最后將sp和edge這2個(gè)變量存儲(chǔ)到隊(duì)列Qsj中，即有Qsj{sn}←{sp，edge}，并將此正方形在CPj中作標(biāo)識(shí).

10)循環(huán)執(zhí)行4)～9)，直到不能形成新的三角形和正方形子模式為止.

11)按光柵掃描的順序，從標(biāo)記過(guò)的CPj的第1個(gè)入口開(kāi)始，首先確定1個(gè)未被標(biāo)記的點(diǎn)，再根據(jù)子模式的匹配(逆布局)算法來(lái)盡可能地形成最長(zhǎng)的線段，如果能形成線段，則將線段的計(jì)數(shù)變量ln的值加1，記錄線段端點(diǎn)的2個(gè)坐標(biāo)(x1，y1)和(x2，y2)，然后對(duì)線段的2個(gè)端點(diǎn)作K碼降維變換，即l1←K(x1，y1)，l2←K(x2，y2).最后將l1和l2這 2 個(gè)變量存儲(chǔ)到隊(duì)列Qlj中，即有Qlj{ln}={l1，l2}，且將存儲(chǔ)過(guò)的此線段在CPj中作標(biāo)識(shí).否則，說(shuō)明只能形成孤立點(diǎn)，執(zhí)行12).

12)直接存儲(chǔ)孤立點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)，將孤立點(diǎn)的計(jì)數(shù)變量pn的值加1，然后將這個(gè)點(diǎn)作K碼降維變換，即p←K(x，y).最后將p這個(gè)變量存儲(chǔ)到隊(duì)列Qpj中，即有Qpj{pn}={p}，并將此點(diǎn)在CPj中作標(biāo)識(shí).

13)循環(huán)執(zhí)行11)～12)，直到不能形成新的線段和孤立點(diǎn)為止.

14)j=j+1.若j≤3m－1，則執(zhí)行4).

15)輸出編碼結(jié)果Q={Qt，Qs，Ql，Qp}，其中Qt= {Qt0，Qt1，…，Qt3m－1}，Qs= {Qs0，Qs1，…，Qs3m－1}，Ql={Ql0，Ql1，…，Ql3m－1}和Qp= {Qp0，Qp1，…，Qp3m－1}.

1.3 算法復(fù)雜度分析

假定彩色圖像C中元素的總數(shù)為N，多子模式的類型數(shù)為n，位深為m.由于采用了BPD方法，一幅彩色圖像被分解為3m幅二值圖像來(lái)處理，因此，對(duì)GTSNAM算法來(lái)說(shuō)，編碼所需的時(shí)間正比于mnNτ，其中τ表示圖像中每個(gè)像素平均分割的次數(shù)，且τ的上限為O(lbN).因此，在最壞情況，編碼算法時(shí)間復(fù)雜度為O(mnN×lbN).

在空間開(kāi)銷方面，編碼算法除3m幅二值圖像矩陣外，只增加了為數(shù)非常少的中間變量，因而其空間復(fù)雜度與3m幅二值圖像的大小成正比，即為O(mN).

2 GTSNAM表示的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)量

2.1 GTSNAM表示的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)分析

從GTSNAM表示算法不難看出，彩色圖像模式的編碼結(jié)果為隊(duì)列集合Q={Qt，Qs，Ql，Qp}，Qt={Qt0，Qt1，…，Qt3m－1}，Qs={Qs0，Qs1，…，Qs3m－1}，Ql={Ql0，Ql1，…，Ql3m－1}和Qp={Qp0，Qp1，…，Qp3m－1}.其中Qti、Qsi、Qli和Qpi(0≤i≤3m－ 1)分別表示第i個(gè)格雷碼位面圖CPi的三角形、正方形、線段和孤立點(diǎn)的編碼結(jié)果.Qti所存儲(chǔ)的每一條記錄均為一個(gè)三角形子模式，且有3個(gè)參數(shù)，即t={triangle|triangle=(flag，point1_hyp，point2_hyp)};Qsi所存儲(chǔ)的每一條記錄均為一個(gè)正方形子模式，且有2個(gè)參數(shù)，即s={square|square=(sp，edge)}.因此，三角形和正方形子模式的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)分別如圖1和圖2所示.

圖1 三角形子模式的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)Fig.1 Storage structure of a triangle subpattern

圖2 正方形子模式的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)Fig.2 Storage structure of a square subpattern

就正方形子模式而言，設(shè)給定的彩色圖像模式C大小為2n×2n×3，從文獻(xiàn)［12］的分析可知:sp即為一個(gè)坐標(biāo)對(duì)(x，y)，x和y的二進(jìn)制碼長(zhǎng)度都為n.具體存儲(chǔ)記錄用K碼表示.K用相對(duì)值來(lái)記錄，本次記錄的K域用本次K碼減去上一個(gè)K碼的差值來(lái)記錄，即 ΔK=Ki－Ki－1.在統(tǒng)計(jì)意義下其長(zhǎng)度為n，在實(shí)際情況下，如果ΔK的長(zhǎng)度確實(shí)超過(guò)了n，則可以將該塊拆分為2個(gè)塊，用2個(gè)記錄來(lái)表示.子模式的表示只有1個(gè)值，即邊長(zhǎng)edge.按照K的定義，edge的最大長(zhǎng)度為n.因此，存儲(chǔ)一個(gè)正方形子模式長(zhǎng)度為2n.

通過(guò)類似的分析，易知存儲(chǔ)一個(gè)三角形、線段和孤立點(diǎn)記錄長(zhǎng)度分別為2n+2、2n和nbit.

2.2 GTSNAM表示的數(shù)據(jù)量分析

設(shè)彩色圖像模式C的大小為2n×2n×3，位深為m，經(jīng)彩色圖像的BPD后，可以將其分解為3幅大小為2n×2n的灰度圖像模式或者3m幅大小為2n×2n的二值圖像模式.令第i個(gè)色彩分量的第j個(gè)格雷碼位面圖逆布局后的三角形、正方形、線段、孤立點(diǎn)的子模式數(shù)分別為Mt(i，j)、Ms(i，j)、Ml(i，j)和Mp(i，j)，其中 1≤i≤3，且 0≤j≤m－1.

就GTSNAM表示方法而言，存儲(chǔ)一個(gè)三角形、正方形、線段和孤立點(diǎn)記錄分別占2n+2、2n、2n和n.因此，C用GTSNAM表示方法逆布局后的3m幅格雷碼位面圖的總數(shù)據(jù)量TGTSNAM為

對(duì)于LQT表示方法來(lái)說(shuō)，存貯一個(gè)節(jié)點(diǎn)占3n－1+m［10］，設(shè)NLQT(i)表示第i個(gè)色彩分量，用 LQT 表示的總節(jié)點(diǎn)數(shù)，則LQT的總數(shù)據(jù)量TLQT為

令β為L(zhǎng)QT的總數(shù)據(jù)量與GTSNAM的總數(shù)據(jù)量的比值，則有

通過(guò)β這一比值，可以比較GTSNAM相對(duì)于LQT的優(yōu)劣.由于LQT表示是對(duì)稱分割，分割方法受到很大限制，而GTSNAM表示是非對(duì)稱分割，其分割方法更為靈活，且其目的是產(chǎn)生盡可能少的子模式數(shù)，因此，

因此β＞(3n－1+m)/(2n+2)＞1.比如在實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)n=9，m=8 時(shí)，從理論上來(lái)說(shuō)，β ＞1.7 ＞1.

綜上所述，理論分析表明，對(duì)彩色圖像模式而言，與經(jīng)典的LQT表示方法相比，GTSNAM表示方法能夠更有效地減少數(shù)據(jù)存儲(chǔ)空間.

3 實(shí)驗(yàn)與分析

為了驗(yàn)證彩色圖像的GTSNAM表示方法的理論結(jié)果，本節(jié)從實(shí)驗(yàn)的角度來(lái)說(shuō)明其相對(duì)于無(wú)格雷碼的TSNAM表示方法和經(jīng)典的LQT表示方法的明顯優(yōu)勢(shì).實(shí)驗(yàn)中機(jī)器配置為:CPU為Celeron(R)2.4 GHz，內(nèi)存為 Kingston DDR 2GB，OS 為 MS-Windows XP Service Pack 2.編程環(huán)境為 Matlab 7.0.圖3 是實(shí)驗(yàn)中用來(lái)測(cè)試的4幅彩色圖像，其中圖3(a)、(b)是2幅機(jī)器人圖像，圖3(c)、(d)是2幅圖像處理領(lǐng)域里慣用的標(biāo)準(zhǔn)圖像“Flight”和“Lena”，且這些圖像的分辨率參數(shù)n=9，即29×29×3的彩色圖像模式，位深m=8，即28=256級(jí).

圖3 4幅彩色圖像Fig.3 Four color images

通過(guò)編程，分別實(shí)現(xiàn)了彩色圖像的GTSNAM、TSNAM、及LQT表示算法，并對(duì)這3種算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較，相應(yīng)的比較數(shù)據(jù)如表1所示，其中:N為子模式或節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，TSNAM為無(wú)格雷碼的TSNAM表示，GTSNAM為基于格雷碼的TSNAM表示，LQT為線性四元樹(shù)表示，δ為TSNAM與GTSNAM的子模式數(shù)之差，α為L(zhǎng)QT與TSNAM的總數(shù)據(jù)量之比，β為L(zhǎng)QT與GTSNAM的總數(shù)據(jù)量之比.圖4給出了LQT、TSNAM和GTSNAM表示方法的子模式數(shù)或結(jié)點(diǎn)數(shù)的對(duì)比.

圖4 LQT、TSNAM和GTSNAM的子模式數(shù)或節(jié)點(diǎn)數(shù)的對(duì)比Fig.4 Contrast of the subpattern or node number among the LQT，TSNAM，and GTSNAM

表1 LQT、TSNAM和GTSNAM的性能比較Table 1 Performance comparison among the LQT，TSNAM，and GTSNAM

從圖4中實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)N來(lái)看，TSNAM和GTSNAM在數(shù)據(jù)量方面的效果均是非常明顯的，其子模式數(shù)均小于LQT方法的節(jié)點(diǎn)數(shù).而且從表1中δ的值可知，GTSNAM的子模式數(shù)比TSNAM的子模式還要少98 661～129 412個(gè)，同時(shí)，從表1中N的值不難算出，在子模式數(shù)上 GTSNAM比TSNAM下降了16.71% ～25.48%，效果是非常顯著的.因此，與LQT和TSNAM方法相比，GTSNAM方法能夠更有效地減少子模式的數(shù)量.而且，從β值不難看出，對(duì)于給定的4幅圖像而言，LQT的總數(shù)據(jù)量是GTSNAM的2.32～3.35倍，顯然，這些圖像均證實(shí)了理論分析的結(jié)果，即當(dāng)n=9，m=8 時(shí)，β ＞1.7 ＞1.并且從表1也不難看出，β總是大于α，這表明，在數(shù)據(jù)存儲(chǔ)表示方面，GTSNAM能夠比LQT和TSNAM方法更有效地減少數(shù)據(jù)存儲(chǔ)空間.

因此，與LQT和TSNAM表示方法相比，GTSNAM方法能夠更有效地減少子模式數(shù)(節(jié)點(diǎn)數(shù))和數(shù)據(jù)存儲(chǔ)空間.

4 結(jié)束語(yǔ)

位平面分解方法是一種有效降低圖像復(fù)雜度的方法.為了進(jìn)一步提高TSNAM的表示效率，同時(shí)也為了減小像素點(diǎn)灰度值的微小變化會(huì)對(duì)位平面的復(fù)雜度產(chǎn)生較明顯的影響，本文將格雷碼和位平面分解方法應(yīng)用到彩色圖像的TSNAM表示方法中，提出了一種基于格雷碼的TSNAM彩色圖像表示方法(GTSNAM).給出了GTSNAM算法的形式化描述，并對(duì)其存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)、總數(shù)據(jù)量和時(shí)空復(fù)雜性進(jìn)行了詳細(xì)的分析.理論分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與最新提出的TSNAM表示方法和經(jīng)典的LQT表示方法相比，GTSNAM表示方法具有更少的子模式數(shù)(或節(jié)點(diǎn)數(shù))，能夠更有效地減少數(shù)據(jù)存儲(chǔ)空間，因而是一種有效的彩色圖像表示方法.

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