微分中值定理中值點(diǎn)的漸近分析

王申秋，凡震彬

（常熟理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇 常熟 215500）

1 引言

中值定理是微積分學(xué)課程的基本定理之一[1-2]，其在整個(gè)微積分課程體系中起到非常重要的作用．在許多的微積分學(xué)教材中對(duì)此都有詳細(xì)的描述，但這些教材都只說(shuō)明了中值點(diǎn)的存在性，而沒(méi)有涉及中值點(diǎn)的其他性質(zhì)，特別是漸近性質(zhì)．

1982年，Alfonso G.Azpeitia[3]發(fā)表了一篇重要的文章，首次討論了Lagrange中值定理中的中值點(diǎn)的如下漸近性質(zhì)．

定理 設(shè)函數(shù) f在閉區(qū)間[a,x]上二階可導(dǎo)，f''在點(diǎn)a點(diǎn)處右連續(xù)且 f''(a)≠0，則Lagrange中值定理中的中值點(diǎn)ξ滿足：

隨后這一結(jié)論被不斷推廣，并在各種實(shí)際問(wèn)題中得到應(yīng)用，尤其是在各種問(wèn)題的近似求解中得到廣泛應(yīng)用，并取得了令人滿意的結(jié)果．

2009年12月，程希旺[4]發(fā)表了《二元函數(shù)微分中值定理中值點(diǎn)的分析性質(zhì)》這一文章，其主要討論了二元函數(shù)Lagrange微分中值定理中值點(diǎn)的連續(xù)性及可導(dǎo)性問(wèn)題，并給出了二元函數(shù)Lagrange微分中值定理中值點(diǎn)連續(xù)及偏導(dǎo)數(shù)存在的充分條件，同時(shí)給出了計(jì)算其偏導(dǎo)數(shù)的公式．

2010年1月，時(shí)玉敏[5]發(fā)表了題為《微分中值定理中ξ的漸近性質(zhì)》的文章，文中主要給出了一元函數(shù)Cauchy中值定理中值點(diǎn)的漸近性質(zhì)．

本文主要利用微分中值定理和泰勒公式繼續(xù)研究上述問(wèn)題，給出了一元函數(shù)Cauchy中值定理以及二元函數(shù)微分中值定理中值點(diǎn)漸近性質(zhì)的新的充分條件．

2 主要結(jié)果

首先我們將一元函數(shù)Cauchy中值定理以及二元微分函數(shù)中值定理引述如下：

Cauchy中值定理：若函數(shù) f (x)及g(x)在閉區(qū)間[a , b ]上連續(xù)，在開區(qū)間(a , b )內(nèi)可導(dǎo)，f'(x)與g'(x)不同時(shí)為零，并且g(a)≠g(b)，則在開區(qū)間(a , b )內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使下式成立：

二元函數(shù)中值定理：設(shè)二元函數(shù) f 在凸開域D?R2內(nèi)可微，(a,b)∈D，則對(duì)任意的(a+h,b+k)∈D，有

其中0<θ<1.

下面，我們給出上述中值定理中中值點(diǎn)ξ和θ的漸近分析結(jié)論．

定理1 設(shè)Cauchy中值定理中的函數(shù) f (x)，g(x)滿足

（I）f(x),g(x)在閉區(qū)間[a , b ]上分別具有直到n+2，m+2階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，其中n,m均是自然數(shù)，且n≠m；

（II）f(i)(a)=0(i = 1,2,3,...,n-1),f(n)(a)≠0，g(j)(a)=0( j = 1,2,3,...,m-1),g(m)(a)≠0；

（III）?(x)在區(qū)間[a , b ]上連續(xù)可微，且 ?'(a)≠0．

則柯西中值定理中的ξ滿足：

證明 根據(jù)條件（I）（II）以及Taylor公式有：

其中0<θ1<1，x∈[a,b].同時(shí)，我們有

對(duì)（3）式求導(dǎo)，得

特別地，

同理，

其中0<θ2<1.

注意到，由條件（I）以及無(wú)窮小量的性質(zhì)，有

在（1）式兩邊同時(shí)乘以(b-a)m-n，即有

再將（4）-（7）代入上式,并在等式兩邊同時(shí)取極限b→a，可得

故，由條件（III）存在 a<η1<ξ,a<η2

注1：在定理1中，我們只需要函數(shù) f,g分別具有直到n+2,m+2階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，這減弱了函數(shù) f,g分別具有直到n+3,m+3階連續(xù)導(dǎo)數(shù)并且具有單調(diào)性這些要求[4-9]．

定理2 二元函數(shù)微分中值定理中的函數(shù) f滿足：

（I）f(x,y)在凸開域D?R2內(nèi)具有直到n+3階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，其中n≥2；

（II）∈D.

則二元函數(shù)微分中值定理中的θ滿足：

證明 根據(jù)二元函數(shù)微分中值定理，有

其中0<θ<1.

又由二元函數(shù)Taylor公式及條件（I）（II），對(duì)任意的( )

x,y∈D,存在0<θ3<1，使得

并且

對(duì)（9）式求偏導(dǎo)數(shù)，得

令 x=a+ θh,y=b+ θk,分別代入（11）（12）式，得

再將（10）（13）（14）代入（8），得

注意到上式右端最后兩項(xiàng)也都是ρn的高階無(wú)窮小，故我們有

整理得

從而

定理2給出了一個(gè)新的漸近分析結(jié)論．

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（下）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3] Alfonso G, Azpeitia. On the Lagrange remainder of the Taylor formula[J]. Amer Math Monthly, 1982, 89: 311-312.

[4]程希旺.二元函數(shù)微分中值定理中值點(diǎn)的分析性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2009，29（4）：104-107.

[5]時(shí)玉敏.微分中值定理中 ξ的漸近性質(zhì)[J].河南科學(xué)，2010，28（1）：15-17.

[6]程希旺.微分中值定理中值點(diǎn)漸進(jìn)性研究的新進(jìn)展[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2009，39（14）:229-231.

[7]任立順，高繼梅.關(guān)于復(fù)函數(shù)高階微分“中值點(diǎn)”的漸近性[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2007，23（3）：144-148.

[8]鄭權(quán).中值定理“中間點(diǎn)”的漸近性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，198 5，15（2）：53-57.

[9]張毅，白波，梁堅(jiān).廣義微分中值定理“中間點(diǎn)”ξ的單調(diào)性連續(xù)性和可導(dǎo)性[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2010，26（2）：8 9-92.