基于小波多尺度變換的光纖陀螺振動(dòng)誤差分析與補(bǔ)償*

方 琳，申 沖，陳熙源*

(1.東南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，南京210096;2.東南大學(xué)儀器科學(xué)與工程學(xué)院，南京210096;3.微慣性儀表與先進(jìn)導(dǎo)航技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210096)

在慣導(dǎo)系統(tǒng)的工作過(guò)程中，機(jī)械振動(dòng)是不可避免且長(zhǎng)期存在的，作為慣導(dǎo)系統(tǒng)的核心元件，光纖陀螺在振動(dòng)環(huán)境下能否保持高穩(wěn)定性與高精度成為影響整個(gè)慣導(dǎo)系統(tǒng)精度的重要因素。理論上，光纖陀螺的全固態(tài)結(jié)構(gòu)以及無(wú)旋轉(zhuǎn)部件等特點(diǎn)使得光纖陀螺具有抗振動(dòng)能力強(qiáng)、穩(wěn)定性高等優(yōu)點(diǎn)，但在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，振動(dòng)引起的光纖環(huán)應(yīng)力變化、器件尾纖振動(dòng)以及結(jié)構(gòu)的共振等都將引起陀螺誤差，進(jìn)而影響到整個(gè)慣導(dǎo)系統(tǒng)的精度。因此，如何消除或減小光纖陀螺的振動(dòng)誤差，已成為光纖陀螺研發(fā)人員共同關(guān)心的一個(gè)問(wèn)題。

對(duì)振動(dòng)引起的光纖陀螺誤差的抑制方法主要有兩種，一是物理方法，從光纖陀螺封裝或電路結(jié)構(gòu)上進(jìn)行改進(jìn)，如采用固膠的方法提高光線環(huán)的抗振性能［1］，在有限元分析的基礎(chǔ)上對(duì)光纖陀螺的結(jié)構(gòu)進(jìn)行小型化和輕型化設(shè)計(jì)并優(yōu)化裝配工藝［2］，在光纖環(huán)圈中引入“匹配點(diǎn)”以實(shí)現(xiàn)四級(jí)對(duì)稱纏繞技術(shù)［3］等，這些方法在一定程度上提高了光纖陀螺在振動(dòng)環(huán)境中的輸出精度，但由于實(shí)際制作工藝及安裝等原因，并不能完全消除振動(dòng)對(duì)光纖陀螺性能的影響。因此在物理方法的基礎(chǔ)上，還必須引入第二種方法抑制振動(dòng)引起的誤差，即數(shù)學(xué)分析方法。利用數(shù)學(xué)方法對(duì)振動(dòng)環(huán)境下的光纖陀螺輸出信號(hào)進(jìn)行分析，以確定振動(dòng)對(duì)陀螺各誤差項(xiàng)的影響并分別進(jìn)行抑制與補(bǔ)償。相比物理方法，利用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行誤差分析與補(bǔ)償在簡(jiǎn)易性、可操作性上均有明顯優(yōu)勢(shì)，本文將利用數(shù)學(xué)方法對(duì)光纖陀螺振動(dòng)誤差進(jìn)行研究。

本文針對(duì)某一型號(hào)的光纖陀螺在振動(dòng)環(huán)境下的輸出信號(hào)進(jìn)行了小波多尺度分析，通過(guò)重構(gòu)低頻信號(hào)有效抑制了振動(dòng)造成的光纖陀螺零漂及噪聲，隨后利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)振動(dòng)造成的零偏誤差進(jìn)行了建模及補(bǔ)償，Allan方差分析結(jié)果表明，本文提出的方法能夠有效的抑制振動(dòng)產(chǎn)生的各誤差項(xiàng)，提高光纖陀螺在振動(dòng)環(huán)境下的精度。

1 光纖陀螺振動(dòng)誤差模型及分析

1.1 光纖陀螺振動(dòng)誤差的數(shù)學(xué)描述

為了方便研究，本文主要介紹光纖陀螺的靜態(tài)特性及其部分指標(biāo)。在靜基座上，如果光纖陀螺的測(cè)量軸位于水平面內(nèi)，則陀螺的輸出信號(hào)為［4］:

其中，w是光纖陀螺實(shí)際輸出的角速度信號(hào)，wn為真實(shí)的角速度信號(hào)，b0為陀螺的常值誤差項(xiàng)，即零偏，br(t)為陀螺的隨機(jī)游走，即零漂，σn(t)為零均值的噪聲項(xiàng)，σ為方差。其中，零偏和零漂是兩個(gè)用來(lái)衡量光纖陀螺性能的重要指標(biāo)，其中零偏是指當(dāng)輸入角速率為零時(shí)光纖陀螺的輸出量，主要反映為低頻信號(hào)誤差，它以規(guī)定時(shí)間內(nèi)測(cè)得的輸出量平均值對(duì)應(yīng)的等效輸入角速率表示;零漂為當(dāng)角速率輸入為零時(shí)，衡量陀螺輸出量圍繞其均值的離散程度，主要反映為高頻信號(hào)誤差，以規(guī)定時(shí)間內(nèi)輸出量的標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)應(yīng)的等效輸入角速率表示。而噪聲如果過(guò)大，也會(huì)淹沒真實(shí)信號(hào)，影響陀螺精度。本論文將主要針對(duì)零偏與零漂及噪聲誤差進(jìn)行分析與抑制，以提高光纖陀螺的精度。

1.2 Allan 方差分析

零偏和零漂是衡量光纖陀螺性能的綜合指標(biāo)，包含有很多成分，比如量化噪聲(Q)、角度隨機(jī)游走(N)、零偏穩(wěn)定性(B)、速率隨機(jī)游走(K)以及速率斜坡(R)，其功率譜函數(shù)可分別表示為:

量化噪聲:

其中Q為量化噪聲系數(shù)。

角度隨機(jī)游走:

其中NA是速率隨機(jī)游走系數(shù)。

零偏穩(wěn)定性:

其中B是零偏穩(wěn)定性系數(shù)。

速率隨機(jī)游走:

其中KRτ是速率隨機(jī)游走系數(shù)。

速率斜坡:

其中R為速率斜坡系數(shù)。

在工程上常采用Allan方差分析法來(lái)計(jì)算這些誤差系數(shù)。Allan方差分析法［5－6］由美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)局于20世紀(jì)60年代提出，是IEEE公認(rèn)的陀螺儀參數(shù)分析的標(biāo)準(zhǔn)方法。

1.3 振動(dòng)實(shí)驗(yàn)與數(shù)據(jù)分析

針對(duì)在加速度值一定的情況下，不同振動(dòng)頻率對(duì)光纖陀螺性能的影響，做了兩組線振動(dòng)實(shí)驗(yàn)，第一組實(shí)驗(yàn)在1 Hz～500 Hz掃頻振動(dòng)下采集了光纖陀螺輸出信號(hào)，第二組在500 Hz固定頻率的振動(dòng)下采集了光纖陀螺輸出信號(hào)。兩組信號(hào)如圖1所示。

圖1 兩組振動(dòng)實(shí)驗(yàn)下的光纖陀螺輸出信號(hào)

在圖1中，圖1(a)為掃頻振動(dòng)下的光纖陀螺輸出信號(hào)，圖1(b)為固定頻率下的光纖陀螺輸出信號(hào)。由圖1可得，兩組信號(hào)波形均包含三個(gè)階段，第一階段為未加振動(dòng)時(shí)的陀螺靜態(tài)輸出，第二階段為加入振動(dòng)后的陀螺輸出信號(hào)，第三階段為取消振動(dòng)后陀螺的輸出信號(hào)。以圖1(b)信號(hào)為例，對(duì)三階段分別進(jìn)行Allan方差分析，分析結(jié)果如表1所示。

表1 圖1(b)中三階段Allan方差系數(shù)對(duì)比

由表1可得出以下結(jié)論:①相比第1和第3階段，第2階段的各誤差系數(shù)均有顯著增加，說(shuō)明振動(dòng)下的光纖陀螺輸出產(chǎn)生較大誤差;②第1和第3階段相比，量化噪聲(Q)、角度隨機(jī)游走(N)和零偏穩(wěn)定性(B)基本沒有變化，而速率隨機(jī)游走和速率斜坡均有減小，但相比于第2階段的變化，該減小并不明顯，因此可認(rèn)為振動(dòng)前后陀螺精度無(wú)明顯變化。

2 小波多尺度分析

2.1 小波多尺度分析

為更好的分析并有效消除振動(dòng)環(huán)境下光纖陀螺信號(hào)中的誤差，本文引入了有“數(shù)學(xué)顯微鏡”之稱的小波多尺度分析方法［7］。小波多尺度分析在時(shí)域、頻域都具有良好的局部化性質(zhì)，目前應(yīng)用于小波多尺度分析的常見算法為Mallat塔式分解與重構(gòu)算法，Mallat算法的原理及流程在有關(guān)小波的文獻(xiàn)中多有詳細(xì)介紹［8］。與另兩種常用的分析方法－頻譜分析和EMD變換方法相比，小波分析具有自己的優(yōu)勢(shì)。以500 Hz振動(dòng)下的陀螺信號(hào)為例，分別進(jìn)行頻譜分析、EMD變換和小波變換分析，分析結(jié)果如圖2所示。

圖2中，圖2(a)為信號(hào)的頻譜分析圖，從圖中僅能看出信號(hào)在高頻段引入了噪聲，并且幅值隨著頻率的增加而增大，但不能得到時(shí)域內(nèi)的頻率變化情況;圖2(b)為EMD變換的頻譜圖，從圖中可看出該方法并未得到良好的分析結(jié)果，因?yàn)樵谛盘?hào)受到噪聲污染時(shí)，EMD方法并不能得到良好的分析結(jié)果［8］;圖2(c)為連續(xù)小波變換分析圖，從圖中可以清晰的看出信號(hào)頻段隨時(shí)間的變化情況:第一階段沒有引入振動(dòng)，第二階段引入高頻振動(dòng)，以及第三階段振動(dòng)消除。從圖2(c)可以得到清晰的分析結(jié)果，因此本文選取小波方法對(duì)振動(dòng)環(huán)境下的陀螺信號(hào)進(jìn)行分析。

母函數(shù)的選取是小波分析的關(guān)鍵點(diǎn)，不同的母函數(shù)的選取可使相應(yīng)的小波變換體現(xiàn)不同的信息特征，一般情況下，依據(jù)小波母函數(shù)的性質(zhì)，希望選取緊支撐、對(duì)稱、正則性好以及消失矩高的母函數(shù)［7］，但根據(jù)Heisenberg測(cè)不準(zhǔn)原理，嚴(yán)格滿足以上要求的函數(shù)并不存在?？紤]到漂移信號(hào)多尺度分解對(duì)小波母函數(shù)完備性的基本要求，并兼顧局部分析中要求的緊支性與高消失矩等性質(zhì)，在參閱大量相關(guān)參考文獻(xiàn)和多次實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，本文選取db4為小波母函數(shù)，并利用Mallat塔式算法進(jìn)行多尺度分析。

以1 Hz～500 Hz掃頻振動(dòng)下的光纖陀螺輸出信號(hào)為例，進(jìn)行尺度為10的小波多尺度變換后的三維時(shí)頻圖如圖3所示。

圖2 三種頻率分析方法的頻譜圖

圖3 掃頻振動(dòng)陀螺信號(hào)的三維時(shí)頻圖

由圖3可見，分解尺度較低部分，即高頻信號(hào)存在明顯的漂移和噪聲分量，分解尺度越高，漂移和噪聲分量就越小。從圖3還可以明顯看出，在分解尺度較高即低頻信號(hào)部分，相比第一和第三階段信號(hào)，第二階段即振動(dòng)部分的信號(hào)在高振動(dòng)頻率(約300 Hz～500 Hz)的部分還是存在著一定的偏移誤差。對(duì)光纖陀螺而言，理想情況下的零偏誤差為低頻信號(hào)，零漂與噪聲誤差為高頻信號(hào)，因此在利用小波多尺度分析對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理的時(shí)候，可重構(gòu)低頻逼近信號(hào)作為陀螺零偏誤差，將高頻細(xì)節(jié)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)作為零漂誤差與噪聲項(xiàng)。小波多尺度分解的分解層數(shù)選取也是一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題，本文對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行尺度為10的分解，通過(guò)反復(fù)比較相鄰幾層信號(hào)的變化趨勢(shì)，發(fā)現(xiàn)第六層逼近信號(hào)去除了大量噪聲并最大程度的保留了真實(shí)信號(hào)，因此選取第六層逼近信號(hào)作為零偏信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，對(duì)第一層至第六層的細(xì)節(jié)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)作為零漂及噪聲信號(hào)。如圖4所示，圖4中a7為第七層逼近信號(hào)，d6、d1、d分別為第六層、第一層細(xì)節(jié)信號(hào)以及重構(gòu)后的零漂及噪聲信號(hào)。對(duì)重構(gòu)后的零偏與零漂及噪聲誤差分別進(jìn)行Allan方差分析，對(duì)比結(jié)果如表2所示。

圖4 小波分解后的低頻與高頻信號(hào)

表2 原始信號(hào)與重構(gòu)后的誤差項(xiàng)系數(shù)對(duì)比

由表2可得以下結(jié)論:①與原始信號(hào)相比，提取的零偏信號(hào)的誤差系數(shù)中量化噪聲與角度隨機(jī)游走和速率斜坡下降較大，與之相比零偏穩(wěn)定性、速率隨機(jī)游走下降較小，表明誤差系數(shù)中的零偏穩(wěn)定性、速率隨機(jī)游走主要表征了信號(hào)的低頻誤差即零偏誤差;②零漂與噪聲信號(hào)的誤差系數(shù)中，量化噪聲、角度隨機(jī)游走和速率斜坡變化很小，而零偏穩(wěn)定性、速率隨機(jī)游走下降較大，表明誤差系數(shù)中的量化噪聲、角度隨機(jī)游走和速率斜坡主要表征了信號(hào)高頻誤差即零漂與噪聲誤差。

從表2中我們還能看出，利用小波多尺度分析可以有效的去除陀螺誤差項(xiàng)中的零漂與噪聲誤差，但是對(duì)零偏誤差則沒有很好的抑制。因此為了抑制零偏誤差，還必須建立高精度的零偏誤差模型以對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)償。

3 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模補(bǔ)償

為抑制零偏誤差帶來(lái)的影響，本文使用徑向基函數(shù)(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立關(guān)于振動(dòng)頻率與光纖陀螺零偏誤差的關(guān)系模型，以實(shí)現(xiàn)依據(jù)振動(dòng)頻率對(duì)零偏誤差進(jìn)行補(bǔ)償。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由于其可以逼近任意函數(shù)的能力和訓(xùn)練速度快等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用到建模、預(yù)測(cè)以及故障診斷中來(lái)［9－11］。其具體工作原理可參見文獻(xiàn)［12］。一個(gè)典型的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖5所示。

圖5 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

在本文中，以1 Hz～500 Hz的振動(dòng)頻率為輸入，以對(duì)圖4中a7重構(gòu)后得到的零偏誤差為輸出建立了單輸入單輸出的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行逼近。訓(xùn)練時(shí)，選取網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的目標(biāo)精度為0.000 1，經(jīng)過(guò)多次驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)散布常數(shù)選為1.2時(shí)逼近效果較為理想，網(wǎng)絡(luò)中心的選擇方式為隨機(jī)固定法。與傳統(tǒng)的最小二乘擬合逼近方法相比，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近精度更高，建立的模型更準(zhǔn)確。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近結(jié)果與最小二乘擬合逼近結(jié)果的對(duì)比如圖6所示。

圖6中，藍(lán)線為陀螺零偏曲線，紅線為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近曲線，綠線為4階最小二乘擬合逼近曲線?？梢奟BF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近精度遠(yuǎn)高于最小二乘擬合方法的逼近精度。圖7為利用小波多尺度變換后去除零漂與噪聲誤差信號(hào)的曲線圖，藍(lán)線為500 Hz振動(dòng)頻率下的陀螺信號(hào)，紅線為去零漂及噪聲后的信號(hào)，可得在振動(dòng)階段，去除零漂及噪聲后的信號(hào)還是存在一定的偏移，即零偏誤差，該誤差在圖8中反映的較為明顯。圖8為利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所建立的逼近模型對(duì)500 Hz振動(dòng)所產(chǎn)生的零偏誤差進(jìn)行補(bǔ)償，圖中的藍(lán)線對(duì)應(yīng)圖7中的零偏誤差信號(hào)，可以看出振動(dòng)階段存在較大的偏移誤差，紅線為補(bǔ)償后的信號(hào)，可見除振動(dòng)邊界處有較大波動(dòng)外，振動(dòng)過(guò)程中的零偏誤差已得到良好的補(bǔ)償。這一過(guò)程的Allan方差分析結(jié)果如表3所示。

圖6 兩種方法的逼近曲線對(duì)比

圖7 去零漂及噪聲信號(hào)曲線圖

圖8 零偏誤差補(bǔ)償曲線圖

表3 補(bǔ)償結(jié)果的Allan方差分析

由表3可得，在去零漂及噪聲誤差后，表征零漂及噪聲誤差的量化噪聲與角度隨機(jī)游走兩誤差系數(shù)明顯減小，隨后用RBF建模及最小二乘擬合建模分別進(jìn)行零偏誤差補(bǔ)償，可見表征零偏誤差的零偏穩(wěn)定性、速率隨機(jī)游走和速率斜坡三項(xiàng)誤差系數(shù)均明顯下降，但RBF建模補(bǔ)償后的誤差系數(shù)明顯小于最小二乘擬合建模補(bǔ)償后的誤差系數(shù)，說(shuō)明利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模精度更高，能更有效地消除光纖陀螺信號(hào)中的零偏誤差。

4 結(jié)論

本文針對(duì)線振動(dòng)環(huán)境對(duì)光纖陀螺性能的影響，利用小波多尺度變換對(duì)光纖陀螺在振動(dòng)環(huán)境下的信號(hào)進(jìn)行了分析，建立了基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的光纖陀螺零偏誤差模型并進(jìn)行了補(bǔ)償，對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行了Allan方差分析，得到以下結(jié)論:①振動(dòng)前后光纖陀螺的性能未發(fā)生明顯變化;②小波多尺度分析能夠提取出振動(dòng)環(huán)境下光纖陀螺信號(hào)中的各誤差項(xiàng)并對(duì)零漂及噪聲誤差進(jìn)行有效的抑制;③光纖陀螺誤差項(xiàng)中的零漂與噪聲誤差與Allan方差分析誤差系數(shù)中的量化噪聲、角度隨機(jī)游走及速率斜坡相對(duì)應(yīng)，零偏誤差與零偏穩(wěn)定性、速率隨機(jī)游走相對(duì)應(yīng);④利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立精確的零偏誤差模型并進(jìn)行補(bǔ)償，該方法優(yōu)于傳統(tǒng)的最小二乘擬合方法，有效降低了Allan方差分析中的各誤差系數(shù)，提高了振動(dòng)環(huán)境下光纖陀螺的工作精度。

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