時(shí)差定位系統(tǒng)的縮比實(shí)驗(yàn)原理分析*

姚山峰，賀 青，熊瑾煜

(盲信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都610041)

無源時(shí)差定位是一種高精度的定位體制，它利用多個(gè)傳感器接收來波信號(hào)的到達(dá)時(shí)間差(Time Difference of Arrival，TDOA)和輻射源位置之間存在的幾何關(guān)系來對(duì)目標(biāo)定位，具有高度的隱蔽性、廣泛的實(shí)用性和精確的目標(biāo)識(shí)別特性等優(yōu)勢(shì)［1－2］。目前，時(shí)差定位技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣泛，在軍事、工業(yè)、氣象、移動(dòng)通信和無線傳感器定位等領(lǐng)域中發(fā)揮著重要作用。近年來，國(guó)內(nèi)外關(guān)于時(shí)差定位的研究很多，取得了大量成果。根據(jù)時(shí)差測(cè)量值得到的定位方程組具有非線性特點(diǎn)，通常需要先將其轉(zhuǎn)化為線性方程組之后進(jìn)行求解。文獻(xiàn)［1］采用二重最小二乘算法給出了定位方程組的非迭代閉式解，在時(shí)差測(cè)量誤差比較小時(shí)，具有最優(yōu)估計(jì)性能，但隨著時(shí)差測(cè)量誤差的增加，該算法性能迅速下降。泰勒級(jí)數(shù)展開算法［2］是求解非線性方程的有效方法，具有精度高、魯棒性強(qiáng)等特點(diǎn)。但是它要求迭代運(yùn)算的初始值必須具有一定的準(zhǔn)確度才能夠保證比較快的收斂速度，而且算法是否收斂與初始值有關(guān)。文獻(xiàn)［3］使用最小二乘算法估計(jì)目標(biāo)初始位置，然后通過泰勒迭代算法得到目標(biāo)真實(shí)值，該算法既具有泰勒級(jí)數(shù)展開算法精度高、魯棒性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，又克服了泰勒級(jí)數(shù)展開算法在某些條件下無法收斂的缺點(diǎn)。文獻(xiàn)［4］對(duì)多信號(hào)交疊環(huán)境下的時(shí)差定位算法進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)［5］指出時(shí)差定位系統(tǒng)的定位精度與站址誤差及時(shí)差測(cè)量誤差，目標(biāo)與觀測(cè)站之間幾何位置等因素有關(guān)，文獻(xiàn)［6－8］針對(duì)平面時(shí)差定位與三星時(shí)差定位精度問題，討論了目標(biāo)位置、觀測(cè)站位置、時(shí)間測(cè)量誤差和觀測(cè)站站址誤差對(duì)定位精度的影響。針對(duì)目標(biāo)與觀測(cè)站之間的幾何位置對(duì)定位精度的影響，文獻(xiàn)［9］使用加權(quán)離散搜索優(yōu)化算法求解網(wǎng)內(nèi)各觀測(cè)器每一時(shí)刻的最佳觀測(cè)位置，實(shí)現(xiàn)移動(dòng)平臺(tái)無源傳感器網(wǎng)絡(luò)的實(shí)時(shí)優(yōu)化部署，該算法通過在最佳位置測(cè)量目標(biāo)輻射源的到達(dá)時(shí)間差，完成目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析，提高了對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的定位跟蹤精度。這些研究成果主要集中在定位求解算法、不同特性信號(hào)的時(shí)差估計(jì)算法、定位精度分析、布站優(yōu)化等方面［1－10］，而對(duì)于時(shí)差定位系統(tǒng)性能指標(biāo)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，相關(guān)研究并不多見。目前，在場(chǎng)地和其他條件受限的情況下，縮比實(shí)驗(yàn)是測(cè)試時(shí)差定位系統(tǒng)性能的途徑之一，具有規(guī)模小、成本低、可行性高等優(yōu)點(diǎn)，是工程實(shí)踐中經(jīng)常采用的一種驗(yàn)證辦法?？s比實(shí)驗(yàn)技術(shù)指在滿足一定條件下，將真實(shí)系統(tǒng)按一定縮尺比例縮小(或放大)成便于測(cè)試的模型系統(tǒng)，通過對(duì)模型系統(tǒng)的研究和測(cè)試，得到真實(shí)系統(tǒng)中的規(guī)律［11］?？s比實(shí)驗(yàn)以其可實(shí)現(xiàn)性強(qiáng)、重復(fù)性好、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可靠等優(yōu)點(diǎn)，在 RCS 測(cè)量［12］、空氣動(dòng)力測(cè)量［13］、射頻仿真［14］等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。

本文針對(duì)時(shí)差定位系統(tǒng)性能指標(biāo)受場(chǎng)地、經(jīng)費(fèi)等條件所限不能進(jìn)行實(shí)際場(chǎng)景驗(yàn)證的問題，對(duì)時(shí)差定位系統(tǒng)的縮比試驗(yàn)方法展開了研究，從理論上推導(dǎo)縮比模型與真實(shí)場(chǎng)景的可比性，為時(shí)差定位系統(tǒng)的縮比試驗(yàn)提供理論支持。論文首先對(duì)時(shí)差定位原理與定位精度進(jìn)行分析，得出了時(shí)差定位誤差的克拉美羅下界(Cramer-Rao Lower Bound，CRLB)，然后重點(diǎn)從幾何相似性和時(shí)差測(cè)量精度相似性兩個(gè)方面對(duì)縮比模型和實(shí)際模型進(jìn)行了分析比較。本文的研究可為時(shí)差定位系統(tǒng)性能測(cè)試提供了一種可行的驗(yàn)證方式。

1 時(shí)差定位原理與定位精度

時(shí)差定位又稱為雙曲線定位，是一種重要的無源定位方法，它是通過處理三個(gè)或更多個(gè)觀測(cè)站采集到信號(hào)之間的到達(dá)時(shí)間差，通過幾何關(guān)系計(jì)算實(shí)現(xiàn)定位。對(duì)于二維平面內(nèi)的目標(biāo)輻射源，利用輻射源信號(hào)到達(dá)兩觀測(cè)站的時(shí)間差即可確定一對(duì)以兩站為焦點(diǎn)的雙曲線，通過布置三個(gè)觀測(cè)站就可形成兩對(duì)雙曲線來產(chǎn)生交點(diǎn)，以確定輻射源的位置。若要確定三維空間內(nèi)任意目標(biāo)輻射源，輻射源信號(hào)到達(dá)兩觀測(cè)站的時(shí)間差確定了一對(duì)以兩站為焦點(diǎn)的雙曲面，則至少需要四個(gè)站形成三個(gè)單邊雙曲面來產(chǎn)生交點(diǎn)，以確定輻射源的位置。二維平面時(shí)差定位系統(tǒng)的示意圖如圖1所示。

圖1 時(shí)差定位原理示意圖

圖1中，目標(biāo)輻射源位于x處，N個(gè)觀測(cè)站分別位于 xi處，而 i=0，1，….N－1，目標(biāo)輻射源到第 i個(gè)觀測(cè)站的距離矢量為ri。選定x0為主站，其余觀測(cè)站為副站，則根據(jù)目標(biāo)信號(hào)到達(dá)主站與副站的時(shí)間差就可以得到N－1條單邊雙曲線，這N－1條單邊雙曲線的交點(diǎn)即為目標(biāo)輻射源位置。根據(jù)觀測(cè)站估計(jì)出的時(shí)差可以寫出如下N－1個(gè)定位方程

其中:ri=xi－x;r0=x0－x;c為光速;ni為時(shí)差測(cè)量噪聲。

通過求解定位方程組即可實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)輻射源的定位，寫成矩陣的形式為

其中:t為觀測(cè)矢量;x為待估計(jì)矢量;n為噪聲矢量;

通過最小二乘即可得到x的估計(jì)^x。

根據(jù)統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理理論，任意無偏估計(jì)量的估計(jì)誤差方差即均方誤差(MSE)都不能低于某個(gè)下界，這就是克拉美羅下界(CRLB)［15］。在高斯白噪聲條件下的時(shí)差定位系統(tǒng)中，目標(biāo)位置x的CRLB為:

式中，F(xiàn)(x)為關(guān)于待估計(jì)矢量x的Fisher信息矩陣

式中，Qt表示時(shí)差測(cè)量向量的協(xié)方差矩陣，J為雅可比矩陣

于是，定位誤差的CRLB為［16］

其中，tr(·)表示矩陣求跡運(yùn)算。

由式(7)可以看出，定位誤差的CRLB與目標(biāo)位置、觀測(cè)站位置以及時(shí)差測(cè)量精度有關(guān)。

在實(shí)際工程中，除了定位誤差之外，還常用相對(duì)誤差來衡量無源定位系統(tǒng)的定位精度，相對(duì)誤差定義為定位誤差與目標(biāo)輻射源到主站的距離之間的百分比

2 縮比模型相似性分析

當(dāng)受測(cè)試場(chǎng)地、實(shí)驗(yàn)條件、研究經(jīng)費(fèi)等因素限制，無法對(duì)時(shí)差定位系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證時(shí)，可考慮采用縮比實(shí)驗(yàn)，將真實(shí)系統(tǒng)按一定縮尺比例縮小(或放大)成便于測(cè)試的模型系統(tǒng)，通過對(duì)模型系統(tǒng)的研究和測(cè)試，驗(yàn)證真實(shí)系統(tǒng)的性能。

對(duì)于無源時(shí)差定位系統(tǒng)，為了使時(shí)差定位縮比實(shí)驗(yàn)結(jié)果能反推出原始系統(tǒng)的定位性能，需要了解縮比模型與原始場(chǎng)景的相似關(guān)系，得到縮比模型與原始場(chǎng)景之間定位誤差的比例關(guān)系。

2.1 幾何相似分析

按照幾何相似原則，將觀測(cè)站與目標(biāo)輻射源位置以1∶δl的比例幾何等比縮小，δl稱為相似比或縮放因子。圖2中目標(biāo)輻射源由x處縮小δl倍到x'處，N個(gè)觀測(cè)站分別由xi縮放到x'i，此時(shí)目標(biāo)輻射源到每個(gè)觀測(cè)站的距離也縮小了δl倍。

圖2 幾何縮比場(chǎng)景示意圖

此時(shí)定位方程

其中:r'i=x'－x'i;r'0=x'－x'0;n'i為時(shí)差測(cè)量噪聲。

同理，x'的 CRLB為

式中，Qt表示時(shí)差測(cè)量向量的協(xié)方差矩陣，J'為雅可比矩陣

其中，

觀察式(6)、式(14)，可得

也就是說，與原始場(chǎng)景相比，縮比模型條件下的雅可比矩陣并沒有發(fā)生變化，這是不難理解的，

因?yàn)楫?dāng)滿足幾何相似縮比時(shí)，縮比場(chǎng)景中觀測(cè)站與目標(biāo)輻射源之間的幾何結(jié)構(gòu)并沒有發(fā)生變化，從而縮比實(shí)驗(yàn)時(shí)，幾何因子對(duì)CRLB的影響并不會(huì)發(fā)生變化。而通過前文對(duì)定位誤差CRLB的分析可知，定位精度的CRLB除了與觀測(cè)站與目標(biāo)輻射源之間的幾何關(guān)系有關(guān)之外，還與

時(shí)差測(cè)量精度有關(guān)，下面將繼續(xù)分析時(shí)差測(cè)量精度的相似關(guān)系。

2.2 時(shí)差測(cè)量精度相似性分析

時(shí)差測(cè)量誤差由相互獨(dú)立的系統(tǒng)固有誤差與時(shí)差估計(jì)算法的誤差兩部分組成。其中，系統(tǒng)固有誤差包括觀測(cè)站之間的時(shí)間同步誤差與接收預(yù)處理系統(tǒng)中天線、接收機(jī)、變頻器、A/D采集卡、放大模塊以及傳輸線纜等將引入的時(shí)延差等，與目標(biāo)位置與輻射信號(hào)特性無關(guān)，可通過校正算法消除;時(shí)差估計(jì)算法的誤差受信號(hào)帶寬、積累時(shí)間、信噪比等因素的影響，與目標(biāo)位置與輻射信號(hào)特性有關(guān)。

針對(duì)矩形譜信號(hào)的時(shí)差估計(jì)誤差，文獻(xiàn)［17］指出，采用最優(yōu)估計(jì)所能達(dá)到的時(shí)差估計(jì)精度為

其中:B為帶寬;T為時(shí)寬;γ為等效輸出信噪比

可見，信號(hào)帶寬、積累時(shí)間以及信噪比通過影響時(shí)差測(cè)量精度可以間接地對(duì)定位誤差產(chǎn)生影響。帶寬縮放系數(shù)δB、時(shí)寬縮放系數(shù)δT、信噪比δγ的縮放相似比與時(shí)差測(cè)量誤差縮放相似比之間的關(guān)系為

同時(shí)，信噪比由信號(hào)功率和噪聲功率決定，而環(huán)境噪聲與熱噪聲對(duì)于原始場(chǎng)景與縮比模型中時(shí)差定位系統(tǒng)的影響是一致的，當(dāng)至少一路信噪比較高時(shí)，γ≈2γ1γ2/(γ1+γ2)，此時(shí) δγ=δP/δ2l，其中，δP為發(fā)射信號(hào)功率的縮放相似比。于是

當(dāng)信號(hào)帶寬縮放因子為δB，積累時(shí)寬縮放因子為δT，信號(hào)發(fā)射功率縮放因子為δP時(shí)，觀測(cè)站的接收功率將縮放 δP/δl，輸出信噪比同比縮放 δP/δl，估計(jì)誤差縮放因子為

當(dāng)通過參考源等方法校正系統(tǒng)固有誤差使其可以忽略時(shí)，縮比模型中定位誤差將會(huì)減小倍，相對(duì)誤差將變?yōu)樵瓉淼漠?dāng)目標(biāo)輻射源的信號(hào)參數(shù)不發(fā)生變化，只是地理位置發(fā)生幾何縮比時(shí)，δB=1，δT=1，δP=1，定位誤差將會(huì)減小 δl倍，相對(duì)誤差將保持不變。

當(dāng)在原始場(chǎng)景與縮比模型中系統(tǒng)固有誤差對(duì)時(shí)差測(cè)量精度起主要作用時(shí)，原始場(chǎng)景與縮比模型的時(shí)差測(cè)量誤差主要由時(shí)間同步誤差與系統(tǒng)傳輸時(shí)延差決定。此時(shí)，原始場(chǎng)景與縮比模型的時(shí)差測(cè)量精度一致，Q't=Qt，縮比后x'處定位誤差的CRLB保持不變，相對(duì)誤差將增大δl倍。

在實(shí)際系統(tǒng)中，每個(gè)觀測(cè)站的時(shí)間頻率基準(zhǔn)源大多通過GPS馴服銣原子鐘獲得高精度的秒脈沖與基準(zhǔn)頻率，由于觀測(cè)站之間相距較遠(yuǎn)，在不同的接收位置時(shí)鐘頻率基準(zhǔn)源的收星條件不同，以及GPS信號(hào)在電離層與對(duì)流層的延遲不同，導(dǎo)致觀測(cè)站之間的秒脈沖存在一定的偏差，即時(shí)間同步誤差。在縮比模型中，各個(gè)觀測(cè)站之間的距離相差不大，收星條件基本相同，此時(shí)的時(shí)間同步誤差較小。然而，這個(gè)偏差一般是緩慢變化的，在一定時(shí)間范圍內(nèi)，可以認(rèn)為是一個(gè)固有的時(shí)差，工程應(yīng)用中常通過引入?yún)⒖颊镜姆椒ㄓ枰孕Ｕ?。在系統(tǒng)固有誤差得到校正以后，影響實(shí)際系統(tǒng)與縮比模型定位精度的因素主要為目標(biāo)位置與輻射信號(hào)參數(shù)。當(dāng)縮比模型中目標(biāo)輻射源信號(hào)參數(shù)與實(shí)際系統(tǒng)中的目標(biāo)輻射源信號(hào)參數(shù)相同，即δB=1，δT=1，δP=1 時(shí)，縮比模型中的定位誤差將會(huì)減小δl倍，相對(duì)誤差保持不變;當(dāng)縮比模型中目標(biāo)輻射信號(hào)功率縮比因子為δl，帶寬、時(shí)寬保持不變時(shí)，定位誤差保持不變，相對(duì)誤差將會(huì)減小δl倍。

3 仿真分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

下面在前文建立的縮比模型基礎(chǔ)上，針對(duì)不同的實(shí)驗(yàn)條件進(jìn)行三站二維平面時(shí)差定位性能仿真分析與外場(chǎng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

實(shí)驗(yàn)中，觀測(cè)站位置信息如下表所示，時(shí)差測(cè)量精度為50 ns，幾何縮比因子為10，也就是當(dāng)原始場(chǎng)景的X軸分析范圍為(－200，200)，Y軸分析范圍為(－200，200)時(shí)，縮比后X 軸的等效分析范圍為(－20，20)，Y 軸等效分析范圍為(－20，20)，單位為 km。

表1 觀測(cè)站位置

在表1的觀測(cè)站布站條件下，原始場(chǎng)景的定位誤差分布圖如圖3所示，其中絕對(duì)誤差分布圖中絕對(duì)誤差等值線的單位為km，相對(duì)誤差分布圖中的相對(duì)誤差為一無量綱的百分比系數(shù)，下文中的圖5、圖7與之相同。

圖3 原始場(chǎng)景定位誤差分布圖

假設(shè)目標(biāo)輻射源位于(100，0)處，采用Chan算法直接求解目標(biāo)位置，經(jīng)過200次蒙特卡洛仿真得到定位結(jié)果如圖4(a)所示，定位誤差曲線如圖4(b)所示。

圖4 原始場(chǎng)景定位結(jié)果統(tǒng)計(jì)圖

可見，在表1的觀測(cè)站布站條件下，當(dāng)時(shí)差測(cè)量精度為50 ns時(shí)，對(duì)于(100，0)處的目標(biāo)，定位誤差均值為 976.8 m，相對(duì)誤差為 0.98%。

幾何縮比10倍，時(shí)差測(cè)量精度不變時(shí)的誤差分布圖如圖5所示，此時(shí)由于時(shí)差測(cè)量精度不變，在相同的等效分析范圍內(nèi)，定位誤差不變，相對(duì)誤差將增大10倍，原本相對(duì)誤差小于1%的區(qū)域?qū)?yīng)的縮比等效范圍內(nèi)的相對(duì)誤差將達(dá)到10%。通過對(duì)比圖3、圖5可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)差測(cè)量誤差保持不變時(shí)，原場(chǎng)景與縮比后等效范圍內(nèi)的定位誤差曲線相同，在原場(chǎng)景中的(100，0)處的定位誤差約為1 km，相對(duì)誤差為1%，對(duì)應(yīng)于縮比模型中的(10，0)km處，縮比模型中的定位誤差同樣為1 km，相對(duì)誤差為10%，即定位誤差不變，相對(duì)誤差將增大了10倍。

圖5 時(shí)差測(cè)量精度不變時(shí)縮比模型的定位誤差分布圖

外場(chǎng)實(shí)驗(yàn)中，采用一距實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地10 km的車載電臺(tái)發(fā)射QPSK信號(hào)，選擇同一方向的某廣播信號(hào)作為參考源校正系統(tǒng)固有誤差。換算到以主站為坐標(biāo)原點(diǎn)的測(cè)站坐標(biāo)系下，電臺(tái)位置為(10，0)，輻射信號(hào)帶寬為36 kHz，積累時(shí)間為100 ms，調(diào)整車載電臺(tái)的發(fā)射功率使得接收信噪比為15 dB，此時(shí)，利用CAF算法進(jìn)行時(shí)差估計(jì)的精度為50 ns，定位結(jié)果與定位誤差曲線如圖6所示。

圖6 縮比模型下外場(chǎng)實(shí)驗(yàn)定位結(jié)果統(tǒng)計(jì)圖

可見，當(dāng)目標(biāo)輻射源由原始場(chǎng)景中的(100，0)處縮放10倍，變?yōu)榭s比模型中的(10，0)處時(shí)，縮比模型下的定位誤差均值為983.2 m，與相同仿真條件下原始場(chǎng)景中的定位誤差相同，縮比模型下的相對(duì)定位誤差為9.83%，與原始場(chǎng)景中的相對(duì)定位誤差相比，增大了大于10倍，這與前文的結(jié)論一致。

幾何縮比10倍，忽略固有誤差的影響，當(dāng)信號(hào)參數(shù)與發(fā)射功率保持不變時(shí)的誤差分布圖如圖7所示。

圖7 信號(hào)參數(shù)不變時(shí)的誤差分布(幾何縮比10倍，忽略固有誤差)

此時(shí)由于信號(hào)發(fā)射功率不變，目標(biāo)輻射源到觀測(cè)站的距離減小了10倍，相當(dāng)于 δB=1，δT=1，δP=1，δl=10，時(shí)差估計(jì)誤差將減小10倍，因此，在相同的等效分析范圍內(nèi)絕對(duì)定位誤差將減小10倍，相對(duì)定位誤差與原場(chǎng)景保持一致。

綜上，文中對(duì)原始場(chǎng)景以1∶10的比例幾何等比縮小后，進(jìn)行了2組仿真實(shí)驗(yàn)并利用外場(chǎng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真分析結(jié)果進(jìn)行了比對(duì)。當(dāng)幾何縮比10倍，時(shí)差測(cè)量精度不變時(shí)，圖5所示縮比后對(duì)應(yīng)分析范圍內(nèi)的絕對(duì)誤差分布與原場(chǎng)景絕對(duì)誤差分布情況一致，相對(duì)誤差分布增大了10倍，外場(chǎng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真分析一致。圖7所示信號(hào)參數(shù)條件保持不變時(shí)的誤差分布圖反映了當(dāng)目標(biāo)輻射源發(fā)射信號(hào)不變、發(fā)射功率不變時(shí)，在對(duì)應(yīng)分析范圍內(nèi)的目標(biāo)輻射源，縮比模型下的絕對(duì)誤差比原始場(chǎng)景的定位誤差減小了10倍，相對(duì)誤差保持不變。

4 結(jié)論

縮比實(shí)驗(yàn)是工程實(shí)踐中經(jīng)常采用的一種驗(yàn)證辦法。如果想測(cè)試距主站上百公里以外區(qū)域的定位性能，可以利用縮比實(shí)驗(yàn)測(cè)試縮放一定倍數(shù)后縮比模型的定位性能，反推出原始場(chǎng)景中的定位性能。本文分析了時(shí)差定位系統(tǒng)原始場(chǎng)景與縮比模型的相似性，通過對(duì)信號(hào)帶寬、積累時(shí)間、發(fā)射功率與時(shí)差測(cè)量誤差、定位誤差之間縮比關(guān)系的分析，得出了縮比模型下定位誤差的變化規(guī)律:①當(dāng)系統(tǒng)固有誤差可以忽略，目標(biāo)輻射源的信號(hào)參數(shù)不發(fā)生變化時(shí)，在幾何縮比模型中，定位誤差將隨著幾何縮比因子同比縮小，相對(duì)誤差保持不變;②當(dāng)時(shí)差測(cè)量精度不變時(shí)，在幾何縮比模型中，絕對(duì)誤差分布與原始場(chǎng)景一致，相對(duì)誤差同比增大。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了采取縮比實(shí)驗(yàn)方案的可行性，可為時(shí)差定位系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的開展提供參考依據(jù)。

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