非彈性結構體系的概率地震損傷分析

余 波，楊綠峰，2

（1．廣西大學 工程防災與結構安全教育部重點實驗室，南寧530004；2．廣西壯族自治區(qū) 住房和城鄉(xiāng)建設廳，南寧530028）

地震動對工程結構的作用實際上是一個能量的輸入、轉化與耗散的過程。結構在地震作用下不僅會產生變形，而且會發(fā)生能量耗散，兩者都會對結構造成不同程度的損傷。因此，地震作用下結構的最大位移響應和能量耗散能力是結構抗震設計的2個重要性能指標［1］。

由Park等［2－3］提出的地震損傷指標綜合考慮了結構的最大非彈性位移和累積滯回耗能的影響，是目前比較常用的地震損傷模型。楊偉等［1］根據(jù)能量方程建立結構最大彈塑性位移和累積滯回耗能的關系，提出了Park－Ang地震損傷指標的簡便算法。王東升等［4］根據(jù)鋼筋混凝土構件低周疲勞試驗數(shù)據(jù)，利用臨界延性系數(shù)和能量等效系數(shù)來確定能量項加權因子，提出了改進的Park－Ang地震損傷模型。于琦等［5］通過建立多自由度體系與等效單自由度體系之間滯回耗能的轉化關系，提出了基于變形與能量雙重準則的鋼筋混凝土結構地震損傷評估方法。易偉建等［6］利用Pushover建立多自由度體系結構與等效單自由度體系之間位移及能量的轉換關系，進而采用Park－Ang模型對結構的整體地震損傷程度進行了綜合評估。Ghosh等［7］比較了確定平面多層框架Park－Ang地震損傷指標的三種等效單自由度體系方法。張國軍等［8］分析了加載循環(huán)水平對高強混凝土框架柱累積滯回耗能的影響規(guī)律，進而確定了適用于高強混凝土框架柱的Park－Ang損傷模型的耗能因子。傅劍平等［9］根據(jù)鋼筋混凝土柱的試驗數(shù)據(jù)，對鋼筋混凝土結構的Park－Ang雙參數(shù)破壞準則的識別和修正問題進行了討論。

值得注意的是，現(xiàn)有的研究主要針對單向地震激勵下的理想彈塑性或雙線性結構體系進行分析，而對于雙向地震激勵下具有強度退化、剛度退化、捏攏效應等典型滯回特性的結構體系的地震損傷關注較少。然而，實際工程結構大多承受雙向地震激勵，特殊情況下還有必要考慮豎向地震作用和轉角激勵的影響［5］。此外，震害資料和試驗數(shù)據(jù)顯示，鋼筋混凝土結構在地震作用下往往發(fā)生混凝土開裂、破碎、剝落甚至壓潰，鋼筋與混凝土之間也會發(fā)生粘結滑移，結構整體表現(xiàn)出明顯的強度退化、剛度退化、捏攏效應等典型滯回特性。鑒于此，筆者引入規(guī)一化屈服強度和規(guī)一化位移的概念，并利用規(guī)一化位移作為控制參數(shù)，以圓形屈服面來描述雙向規(guī)一化恢復力之間的耦合效應，且綜合考慮強度退化、剛度退化、捏攏效應等典型滯回特性的影響，建立了雙向地震激勵下非彈性雙自由度體系地震損傷分析的新型數(shù)值模型，并結合所篩選的69條地震記錄定量地分析了非彈性2DOF體系的地震損傷指標的概率統(tǒng)計特征。

1 地震延性需求和損傷指標

如圖1所示，雙向水平地震激勵下非彈性雙自由度體系的運動控制方程為式（1）。

式中：m為集中質量；下標i（i＝x和y）表示地震激勵和結構響應的方向；ki和c i分別表示初始線彈性剛度和粘滯阻尼系數(shù)；αi為屈服后剛度比；和為地震加速度；ubi、bi和bi分別表示集中質量的相對側向位移、速度和加速度；zbi為非線性滯回位移。

圖1 雙向地震激勵下的非彈性2DOF體系

假設在單向水平地震激勵下，線彈性體系的位移峰值為Dei（i＝x，y），非彈性體系在屈服點處的位移為Dyi，則可以引入無量綱量［10］，得到式（2）、（3）。

式中Dyi＝φi Dei；φi為規(guī)一化屈服強度；μbi和μbzi分別表示集中質量在雙向地震激勵下的規(guī)一化側向位移和規(guī)一化滯回位移。利用式（2）所定義的無量綱量，可以將式（1）表示為式（4）。

式中ξi＝ci／（2mωni）和ωni＝ （ki／m）0．5分別表示非彈性體系在初始線彈性階段沿i（i＝x，y）方向的粘滯阻尼比和自振圓頻率（rad／s）。此外，非彈性體系的規(guī)一化側向位移 （μbi）與規(guī)一化滯回位移 （μbzi）之間的關系［10－11］為式（5）～（11）。

式中：βi、γi和n i為形狀參數(shù)；δηi和δvi分別為剛度和強度退化參數(shù)；ζsi、p i、qi、ψi、δψi和λi為捏攏效應參數(shù)［12－13］；sgn（x）為符號函數(shù)；εnb為非彈性體系在時程T內的規(guī)一化累積滯回耗能。當nx＝n y＝n時，εnb定義為［11］式（12）。

式中θ＝tan－1（μby／μbx）為規(guī)一化側向位移μbx和μby之間的夾角。

若引入向量 ｛y1，y2，y3，y4，y5，y6，y7｝T＝｛μbx，˙μbx，μby，˙μby，μbzx，μbzy，εnb｝T，則可以將式（4）～（12）轉換為一階偏微分方程組（13）。

式中：

利用Gear法［14］求解式（13）所定義的偏微分方程組，可以得到規(guī)一化位移時程μbi（t）、規(guī)一化滯回位移時程μbzi（t）、規(guī)一化累積滯回耗能εnb。當nx＝ny＝n時，非彈性2DOF體系的地震延性需求（μb，max）和 Park－Ang地震損傷指標（Db）［11］為式（19）、（20）。

式中：δEb為循環(huán)加載的影響系數(shù)，其典型取值在0．01～0．25之間［7］；μcb為單調加載下結構的延性能力。由于DPAb與μcb有關，而不同結構的μcb可能千差萬別，難以統(tǒng)一衡量。所以本文選用Db＝μcbDPAb＝μb，max＋δEbεnb進行分析并建立其概率預測模型，然后結合Db和目標結構的μcb，利用損傷指標DPAb＝Db／μcb對特定的工程結構進行損傷評估［10］。

2 雙向激勵下的非彈性地震動力響應

2．1 捏攏效應和退化效應的影響

首先利用幅值遞增的簡諧荷載來分析捏攏效應以及強度和剛度退化對滯回曲線的影響。假定結構的自振周期Tn＝1．0 s，阻尼比ξ＝0．05。除圖2中特別 注 明 外，模 型 參 數(shù) ｛α，β，γ，n，δη，δv，ξs，p，q，ψ，δψ，λ｝＝ ｛0．05，0．5，0．5，1，0，0，0，2．5，0．15，0．1，0．005，0．5｝。在單向簡諧荷載激勵下，非彈性體系的滯回曲線如圖2所示。由圖2（a）可知，當剛度退化參數(shù)δη＝0．15時，隨著加卸載循環(huán)次數(shù)的增加，滯回曲線在加卸載過程中的切線剛度逐漸減小。由圖2（b）可知，當強度退化參數(shù)δv＝0．03時，隨著加卸載循環(huán)次數(shù)的增加，滯回曲線的屈服強度逐漸減小。由圖2（c）和圖2（d）可知，當捏攏效應參數(shù)ξs＝0．95時，滯回曲線在平衡位置附近出現(xiàn)明顯的收縮效應，滯回曲線的飽滿度明顯下降。由此可見，該模型可以充分考慮捏攏效應、剛度退化、強度退化等因素的影響，具有較強的適用性。

圖2 捏攏效應和退化效應對滯回曲線的影響

2．2 雙向地震激勵的影響

在雙向地震激勵下，非彈性體系沿一個方向的屈服或累積損傷，往往會削弱另一個方向的剛度或強度，進而明顯改變非彈性體系的地震動力響應。假定結構沿x和y方向的自振周期Tnx＝Tny＝0．5 s，阻尼比ξx＝ξy＝5%，規(guī)一化屈服強度φx＝φy＝ 0．5，模 型 參數(shù) ｛αi，βi，γi，ni，δηi，δvi，ζsi，p i，qi，ψi，δψi，λi｝＝｛0．05，0．5，0．5，2，0，0，0，2．5，0．15，0．1，0．005，0．5｝。上述參數(shù)均符合文獻［10，13，15］的推薦取值。從NGA數(shù)據(jù)庫［16］中任意選擇一條地震記錄進行分析。例如，由LA－Wadsworth VA Hospital South監(jiān)測站所記錄的1994年1月17日發(fā)生的6．69級Northridge－01地震。非彈性體系在單、雙向地震激勵下的滯回曲線如圖3所示。圖中，f i和μi分別表示單向地震激勵下的規(guī)一化恢復力和規(guī)一化位移；fbi和μbi分別表示雙向地震激勵下的規(guī)一化恢復力和規(guī)一化位移；εnx、εny、εnbx和εnby為規(guī)一化累積滯回耗能。由圖3可知，雙向地震激勵促使滯回曲線在卸載點附近出現(xiàn)明顯的圓角效應；取決于地震激勵和結構動力參數(shù)的特性，雙向地震激勵作用既可能增大也可能減小非彈性體系的累積滯回耗能。

圖3 單向和雙向地震激勵下的滯回曲線

3 概率地震損傷指標分析

由于地震的發(fā)生以及地震加速度的傳播均具有較強的隨機性，所以非彈性體系的地震損傷指標也不可避免地存在隨機性。下面分析雙向地震激勵下非彈性2DOF體系的地震損傷指標的概率統(tǒng)計特征。

3．1 地震記錄的篩選

地震記錄的選擇通常需要考慮地震動對目標結構的潛在破壞勢，進而根據(jù)震級、震中距、場地條件等參數(shù)從實際地震記錄中選取。從美國太平洋地震工程研究中心所建立的NGA強震數(shù)據(jù)庫［16］中篩選地震記錄，并采用以下篩選準則［17］：1）震源位于美國加利福尼亞州；2）地震記錄的場地條件為NEHRP分類［16］中的B類或C類；3）地震記錄監(jiān)測設備安置在自由場地或單層輕型結構的地表，即屬于Geomatrix's分類［16］中的I類或A類；4）地震記錄具有完整的3個加速度分量，且同時滿足高通濾波器拐角頻率≤0．5 Hz和低通濾波器拐角頻率≥40 Hz。通過篩選，可以確定有13次地震的69條地震記錄符合上述條件，見表1。

表1 從NGA數(shù)據(jù)庫中篩選的69條地震記錄

3．2 地震損傷指標的經(jīng)驗分布模型

首先確定地震損傷指標（Db）的經(jīng)驗分布模型。假定參數(shù)｛αi，βi，γi，ni，δηi，δvi，ζsi，pi，qi，ψi，δψi，λi｝＝｛0．05，0．5，0．5，2，0，0，0，2．5，0．15，0．1，0．005，0．5｝。將非彈性體系在69條地震記錄作用下的Db的樣本點分別描繪在Frechet和Lognormal概率紙上，如圖4所示。由圖4可知，當Tn＝0．5 s或1．0 s時，采用Lognormal或Frechet分布來描述Db的差異性并不明顯，因為Db的樣本點在這2種概率紙上的分布均較好地呈現(xiàn)直線；當Tn＝0．2 s時，采用Lognormal分布來描述Db的概率分布則更為合理，因為Db的樣本點在Lognormal概率紙上的分布更趨近于直線，當規(guī)一化屈服強度較小時尤為明顯。

圖4 D b在Lognormal和Frechet概率紙上的分布

3．3 地震損傷指標的統(tǒng)計特征值

下面確定地震損傷指標（Db）的統(tǒng)計特征值。當自振周期（Tn）為0．1、0．2、0．5、1．0或1．5 s，規(guī)一化屈服強度（φ）從0．1到0．5變化時，Db的均值和變異系數(shù)如圖5所示。由圖可知，Db的均值隨著Tn和φ的減小而增大；隨著φ的減小，Db的變異系數(shù)逐漸增大并趨于穩(wěn)定，最終維持在1．0～2．0之間。

圖5 D b的均值和變異系數(shù)

根據(jù)圖5中的變化趨勢，可以將Db的均值和變異系數(shù)的預測方程選取為［15］：

表2 預測方程的擬合參數(shù)

3．4 地震損傷指標的影響因素分析

選用表1中的69條強震記錄，對20種不同情況下的地震損傷指標（Db）進行概率統(tǒng)計分析。假定結構的自振周期Tnx＝Tny＝Tn＝0．5 s，規(guī)一化屈服強度φx＝φy＝φ＝0．5，模型參數(shù)｛αi，βi，ni，p i，qi，ψi，δψi，λi｝＝｛0．5，0．5，2，2．5，0．15，0．1，0．005，0．5｝，其他參數(shù)的取值見表3。其中，情況1為基準體系；情況2和3用于分析屈服后剛度比（αi）的影響；情況4～7考慮規(guī)一化屈服強度φx和φy的影響；情況8～11考慮自振周期（Tnx和Tny）的影響；情況12～17用于揭示強度和剛度退化參數(shù)（δvi和δηi）的影響；情況18和19用于分析捏攏效應系數(shù)（ζsi）的影響；情況20綜合考慮強度退化、剛度退化和捏攏效應的影響。

表3 在20種情況下2DOF體系的參數(shù)取值

續(xù)表3

利用單向地震激勵下非彈性單自由度體系的地震損傷指標（Dx和D y），可以將雙向地震激勵下非彈性2DOF體系的地震損傷指標近似表示為：

在69條地震記錄作用下，地震損傷指標（D x，Dy，Db，Db1和Db2）的均值和變異系數(shù)分別見表4和5。為了方便比較，r1＝Db／Db1和r2＝Db／Db2的均值和變異系數(shù)也列于表中。由表可知，地震損傷指標（D x，D y和Db）的均值隨著規(guī)一化屈服強（φi）和自振周期（Tni）的減小而增大；減小非彈性體系的規(guī)一化屈服強度（φi）和自振周期（Tni），或增大結構的強度退化系數(shù)（δvi）、剛度退化系數(shù)（δηi）和捏攏效應系數(shù)（ζsi）都會明顯增大地震損傷指標的變異性；Db1為Db提供了一個近似下限值，通常低估約25%；雖然r1和r2的變異系數(shù)相似，但r2的均值比r1的均值更接近1．0，說明利用Db2來近似估計Db更為合理。也就是說，雙向地震激勵下非彈性2DOF體系的地震損傷指標可以近似表達為單向地震激勵下非彈性單自由度體系的地震損傷指標的平方和開方。

表4 不同情況下地震損傷指標的均值

表5 不同情況下地震損傷指標的變異系數(shù)

5 結 論

綜合考慮強度退化、剛度退化、捏攏效應等典型滯回特性的影響，建立了雙向地震激勵下非彈性2DOF體系地震損傷分析的新型數(shù)值模型。結合69條地震記錄，定量地分析了非彈性2DOF體系的地震損傷指標的概率統(tǒng)計特征。根據(jù)計算結果可知，對于橋梁、水塔、單層或多層框架等可以模型化為集中質量體系且主要受第一階振型控制的工程結構具有以下結論：

1）受雙向恢復力耦合效應的影響，雙向激勵下非彈性2DOF體系的滯回曲線在卸載點附近出現(xiàn)明顯的圓角效應，取決于地震激勵和結構動力參數(shù)的特性，雙向地震激勵作用既可能增大也可能減小非彈性體系的累積滯回耗能。

2）在雙向地震激勵下，將柔性結構體系（如Tn＝0．5 s或1．0 s）的地震損傷指標（Db）描述為Frechet或Lognormal分布隨機變量的差異性并不明顯，而將剛性結構體系（如Tn＝0．2 s）的Db描述為Lognormal分布隨機變量則更為合理。

3）在雙向地震激勵下，非彈性2DOF體系的地震損傷指標可以近似表達為單向地震激勵下非彈性單自由度體系的地震損傷指標的平方和開方。

4）降低結構的屈服后剛度比或考慮強度退化、剛度退化和捏攏效應的影響，可以明顯增大非彈性2DOF體系的地震損傷指標的均值和變異性。

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