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    復(fù)合材料層合殼體熱彈耦合簡化模型

    2012-06-08 11:46:20鐘軼峰余文斌張亮亮
    土木與環(huán)境工程學報 2012年4期
    關(guān)鍵詞:層合變分殼體

    鐘軼峰,陳 磊,余文斌,張亮亮

    (1.重慶大學a.土木工程學院;b.山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點實驗室,重慶400045;2.美國猶他州立大學 機械與航空航天工程系,洛根84322)

    近20年來,先進復(fù)合材料結(jié)構(gòu)因其高強度、高模量、可設(shè)計性等優(yōu)點已廣泛應(yīng)用于航天航空、機械、土木等領(lǐng)域。由于復(fù)合材料不同成分、不同纖維方向的熱膨脹系數(shù)相差很大,相比于各向同性材料對溫度的改變更加敏感,復(fù)合材料板/殼結(jié)構(gòu)的熱響應(yīng)已成為近年來復(fù)合材料力學熱點課題之一[1-2],出現(xiàn)了各種復(fù)合材料板/殼理論。Ng等[3]應(yīng)用古典層合理論(CLT)分析了復(fù)合材料圓柱殼的熱殘余應(yīng)力和自由振動,由于忽略了橫向剪切效應(yīng),該理論僅對薄殼有效;為克服CLT的缺陷,Pradyumna等[4]基于一階剪切變形理論(FOSDT)分析了復(fù)合材料層合殼體在熱環(huán)境下非線性動態(tài)穩(wěn)定性,但模擬彎曲時數(shù)值計算結(jié)果嚴重失真,產(chǎn)生“橫剪自鎖”現(xiàn)象,其原因在于總應(yīng)變能中包含橫向剪切應(yīng)變能的項在量級上不正確,沿厚度方向變化的剪切應(yīng)變線性假設(shè)與上下表面剪應(yīng)力為零自相矛盾,需人為地引入與幾何形狀和材料相關(guān)的剪切修正因子來解決這一矛盾;為提高沿厚向的應(yīng)力/應(yīng)變預(yù)測精度,各國學者紛紛把研究重點轉(zhuǎn)向了高階剪切變形理論,Li等[5]用高階殼理論分析了復(fù)合材料圓柱殼在熱環(huán)境下的非線性屈曲和后屈曲性能,Nosier等[6]基于層合理論確定濕熱環(huán)境下正交鋪層/角鋪層殼體的局部位移函數(shù)和層間應(yīng)力,但仍無法準確預(yù)測面內(nèi)的不連續(xù)性和沿厚度方向的橫向位移分量。

    由上述分析可知,現(xiàn)有板殼熱彈性分析理論大多基于位移場假設(shè),無法較好地反映層合板殼的三維效應(yīng)和鋪層之間的相互作用。筆者嘗試采用變分漸近法[7-8]分析層合圓柱殼的單向耦合熱彈性問題。通過對降維模型近似能量中變分項的漸近修正,得到與原三維能量盡可能接近的近似能量,從而構(gòu)建一種無需先驗性假設(shè)且便于工程應(yīng)用的簡化殼體模型,為復(fù)合材料層合殼體在工程中的實際應(yīng)用提供有價值的參考。

    1 復(fù)合材料層合殼體三維能量表達式

    基于Hamilton擴展原理,三維結(jié)構(gòu)的彈性動力性能可表述為

    式中:t1和t2是任意兩固定時間;K和U分別是動能和Helmholtz自由能;δˉW是外力所做虛功,上劃線表明不需要對該項精確變分。

    圖1 層合殼體幾何構(gòu)型及坐標系

    由于僅考慮單向耦合熱彈性問題,因殼體變形引起的溫度改變忽略不計,得到無二次項的Helmholtz自由能泛函[9]:

    式中:D為6×6階三維材料矩陣;α為6×1階三維熱膨脹系數(shù)列陣;T為相對于零應(yīng)力狀態(tài)的溫差;為殼體幾何修正系數(shù),其中kαβ為殼體面外曲率,因選用坐標系為圖1所示曲率線,k12=k21=0。

    Γ為三維應(yīng)變場[10],可定義為

    式中:為相應(yīng)的算子;

    其中:εαβ,καβ統(tǒng)稱二維廣義應(yīng)變,其階數(shù)分別用n,n/h表示;w i為未知翹曲函數(shù),若將參考面定義為殼體中面,則w i須滿足如下3個約束

    殼體參考面上質(zhì)點的動能和外力所做虛功可分別表示為

    式中:μ為質(zhì)量密度;U i為沿坐標軸x i的位移,其上的點表示對時間求導(dǎo);=-δU3;α為虛擬旋轉(zhuǎn);廣義力f i和力矩mα可定義為

    式中:p i,τi,βi分別為體力、殼體頂/底面表面力。

    由式(1)、(6)和式(7),殼體參考面的動力性能可改寫為

    由于式(9)中存在未知翹曲函數(shù)w i,若直接求解該式,將會遇到與求解原三維問題同樣的困難。常規(guī)做法是對翹曲場作先驗性假設(shè),由于復(fù)合材料的各向異性和非均質(zhì)性,這種假設(shè)可能會產(chǎn)生較大的誤差。變分漸近法可利用殼體固有的小參數(shù)對式(9)的變分項進行漸近分析得到w i,從而構(gòu)建與原三維模型盡可能接近的二維殼體模型。

    2 降維方法及近似能量推導(dǎo)

    對殼體結(jié)構(gòu),可選擇h/l?1,h/R?1作為變分漸近計算所需的小參數(shù),由此可估計各荷載階數(shù)為

    式中μ為彈性材料常量的階數(shù)。

    利用h/l,h/R可將三維能量漸近擴展為如下形式的系列二維近似能量泛函

    為能處理體多層殼結(jié)構(gòu),并與二維有限元求解器相銜接,可將三維翹曲場離散為一維有限單元形式,

    式中:S為形函數(shù);V為沿橫法線方向的翹曲場節(jié)點值。

    將式(11)代入式(9),得到離散形式能量泛函為

    式中:L為荷載相關(guān)項;新引入的與幾何形狀和材料屬性有關(guān)的變量為

    式(5)翹曲約束的離散形式可表示為

    式中:H= [STS];ψ為零初始曲率E0的正交化核心矩陣,ψTHψ=I。這樣,未知翹曲函數(shù)的求解問題轉(zhuǎn)化為式(14)約束下式(12)最小化問題。

    2.1 零階近似

    應(yīng)用變分漸近法,需根據(jù)不同階數(shù)找到泛函的主導(dǎo)項。式(12)中與未知翹曲函數(shù)有關(guān)的零階近似主導(dǎo)項為

    式中:E0,D hε0,Dεε0,αh0,αε0分別由式(14)中φ=1(無幾何修正)定義的相關(guān)矩陣。

    相應(yīng)的零階翹曲函數(shù)為

    將式(16)代入式(15)得到漸近修正到O(1)階的能量泛函為

    這與如下形式的熱彈性古典層合模型相一致,

    式中:A,NT分別為二維剛度矩陣和溫度產(chǎn)生的應(yīng)力合力,其計算式為

    2.2 一階近似

    零階近似可用于分析薄殼的全局性能和面內(nèi)分量,更高階近似可用來分析對中厚殼失效十分重要的面外應(yīng)力和應(yīng)變(σi3,Γi3),從而構(gòu)建更精確殼體模型。

    首先,將能量泛函漸近修正到O(h/R)階以考慮初始曲率效應(yīng),O(h/R)階翹曲因?qū)δ芰繜o貢獻,可不必計算。得到

    式中:

    其中帶星矩陣由φ-1代替式(14)的φ定義。

    其次,將能量漸近修正到O(h2/l2)以考慮橫向剪切變形。為此,將零階翹曲函數(shù)攝動為

    將式(23)代回式(17),可得到一階近似的總能量泛函主導(dǎo)項為

    式中:

    相應(yīng)的一階翹曲可求解為

    最后得到漸近修正到O(h2/l2),O(h/R)的總能量泛函為

    式中:

    2.3 近似能量轉(zhuǎn)換及三維場重構(gòu)

    盡管式(27)能量泛函漸近修正到O(h2/l2),O(h/R)階,但因含有廣義應(yīng)變的導(dǎo)數(shù)ε;α,難以直接應(yīng)用。為得到實用的能量范函,可將式(27)轉(zhuǎn)換為工程中常用的Reissner-Mindlin模型形式。

    在Reissner-Mindlin模型中有兩個附加橫向剪切應(yīng)變Reissner-Mindlin模型應(yīng)變量R與ε的關(guān)系可表示為

    式中:

    將式 (29)代 入 式 (27),可得到 由 Reissner-Mindlin應(yīng)變量表示的能量泛函為

    而實際應(yīng)用的廣義Reissner-Mindlin模型形式為

    為得到與式(32)等效的 Reissner-Mindlin模型,可通過以下2個彎矩平衡方程消除所有二維應(yīng)變量的偏導(dǎo)數(shù)

    由式(33),可將式(31)改寫為

    式中:

    若對任何R,U*都趨于零,則可得到漸近修正Reissner-Mindlin殼體模型。對于一般各向異性殼體,該項往往并不為零,可通過最小二乘法等優(yōu)化技術(shù)最小化U*,等效Reissner-Mindlin模型的精確性取決于U*趨近于零的程度。

    由于降維模型的可靠性最終取決于其對三維場預(yù)測的精確度,因此還需提供重構(gòu)關(guān)系以完善降維模型。由式(3),重構(gòu)的三維應(yīng)變場可表示為

    三維應(yīng)力場可使用材料本構(gòu)關(guān)系得到,

    3 算例

    柱形彎曲問題已作為評估新提出的3D/2D分析模型精確性的基準。本章將所述理論和方法編制成變分漸近板/殼分析程序VAPAS,對圖2所示4層簡支復(fù)合材料層合殼體在熱/載荷下的柱形彎曲問題進行分析。

    圖2 層合殼體結(jié)構(gòu)示意圖

    3.1 模型參數(shù)

    殼體 各 層 傾 角 為 [90°/0°/90°/0°];殼 厚h=1 mm,半徑R=10 cm,夾角φ=π/3;采用的坐標系為x1∈ [0,φ],x2∈ [0,∞],x3∈ [-h(huán)/2,h/2];材料為石墨/環(huán)氧復(fù)合材料,材料屬性為

    殼體承受的溫度變化和正弦面荷載分別為

    3.2 數(shù)值分析與討論

    圖3(a)~(f)繪出了重構(gòu)的沿厚度方向應(yīng)力分布,并與一階剪切變形理論(FOSDT)、古典層合理論(CLT)和精確解[11-12]進行對比。應(yīng)變和位移的變化趨勢和精度與應(yīng)力相同,限于篇幅未在此繪出。由于應(yīng)力分量σαβ,σ33分別是正弦和余弦函數(shù),應(yīng)力分布分別繪于x1=π/6和x1=π/3處。為方便比較,圖中縱橫坐標分別正則化為

    由圖3可看出:VAPAS、FOSD和CLT都能較準確地預(yù)測面內(nèi)應(yīng)力分量σαβ分布,由于VAPAS能得到優(yōu)化剪切剛度矩陣G,其結(jié)果比FOSDT和CLT更精確;對于橫向應(yīng)力分量σα3,因特殊的鋪層設(shè)計(正交鋪設(shè)),CLT無法計算該值,而FOSDT因?qū)ξ灰茍鏊鱿闰炐约僭O(shè),誤差較大,VAPAS與精確解相一致,且重構(gòu)的應(yīng)力分布在不同層分界面處連續(xù),這與大多數(shù)位移基殼理論完全不同。

    圖3 4層簡支復(fù)合材料圓柱殼體在熱/載荷下沿厚度方向的應(yīng)力分布

    4 結(jié)論

    1)基于變分漸近法構(gòu)建了復(fù)合材料圓柱殼熱彈性簡化Reissner-Mindlin模型和重構(gòu)關(guān)系,可考慮熱/載荷單向耦合效應(yīng),并使用4次多項式表示沿厚度方向的任意溫度分布,相較于假設(shè)溫度沿厚度方向線性分布(單層板理論)或沿層線性分布(層合理論)更符合實際情況。

    2)在推導(dǎo)降維模型過程中,使用變分漸近法求解未知翹曲函數(shù),不需任何動力學假設(shè)和剪切修正因子,也不同于傳統(tǒng)的板/殼理論假設(shè)翹曲場的一般形式,用高階翹曲作參數(shù)來求解假設(shè)函數(shù)中的未知參數(shù)的方法。

    3)通過算例驗證:重構(gòu)的沿厚度方向應(yīng)力分量與三維精確解吻合很好,且簡化模型為等效單層殼模型,計算量與一階剪切變形理論相當,若殼體層數(shù)增加,其高效性更加顯著。

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