模糊關(guān)系中算子σ、α、ε之間的關(guān)系

吳 莉

(1. 阿壩師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)系, 四川 汶川, 623002; 2. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都, 610066)

模糊關(guān)系中算子σ、α、ε之間的關(guān)系

吳 莉

(1. 阿壩師范高等專科學(xué)校 數(shù)學(xué)系, 四川 汶川, 623002; 2. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都, 610066)

討論了模糊集中算子σ、α、ε之間的關(guān)系, 研究了它們之間的結(jié)合律與分配律, 證明了ε算子對σ算子分配律成立. 給出了σ算子、α算子以及ε算子結(jié)合律成立的條件, 給出了σ算子對α算子、α算子對σ算子、σ算子對ε算子、ε算子對σ算子、ε算子對α算子以及α算子對ε算子分配律成立的條件.

σ算子; α算子; ε算子; 分配律; 結(jié)合律

1 引言與預(yù)備知識

設(shè)X是非空集合, 稱映射A： X→[0, 1]為論域X上的模糊集. 模糊集中的算子σ、α、ε是解模糊關(guān)系方程的非常重要的工具, 其中α算子最早被用來研究格中問題. 在文獻(xiàn)[1]中Birkhoff G得到很多關(guān)于格的理論, 后來E. Sanchez用它研究模糊關(guān)系方程Q⊙S=T的最大解以及模糊關(guān)系的分解問題[2]. ε算子是α算子的對偶算子, 主要用于解對偶的模糊關(guān)系方程. 而算子σ在求方程A⊙R=B的最小解以及在模糊關(guān)系的分解中也起到非常重要的作用[3]. 本文詳細(xì)地討論了它們的結(jié)合律及分配律.

2 主要結(jié)果

以下討論全在[0, 1]區(qū)間進(jìn)行, 先討論結(jié)合律.

定理1 (1)當(dāng)a、b、c滿足下例條件之一時, 有(aσb) σc=aσ( bσc)：

(i) a≥b≥c, (ii) a≤b≤c, (iii) a≥c≥b, (iv) a＜c≤b, (v) b≤a≤c;

當(dāng)b＞a≥c時, 有(aσb) σc＜aσ( bσc).

(2)當(dāng)a、b、c滿足下例條件之一時, 有(aαb) αc=aα( bαc)：

(i) a≥b＞c,(ii) a＞b≥c,(iii) a≥c＞b, (iv) a＞c≥b,(v) b≥a＞c, (vi) c≥a＞b;

當(dāng)a、b、c滿足下例條件之一時, 有(aαb) αc＜aα( bαc)：

(i) b＞a=c, (ii) c≥b≥a, (iii) b≥c≥a.

(3)當(dāng)a、b、c滿足下例條件之一時, 有(aεb) εc=aε( bεc)：

(i) b＞a≥c, (ii) a≤c≤b(a、b、c不同時相等), (iii) a≤b≤c(a、b、c不同時相等), (iv) b≤a＜c;

當(dāng)a、b、c滿足下例條件之一時, 有(aεb) εc＞aε( bεc)：

(i) a≥b≥c,(ii) a≥c≥b.

當(dāng)a≥b≥c時, (aσb) σc=bσc=c , aσ( bσc)=aσc=c , 故(aσb) σc=aσ( bσc), 故等式成立, 其余證明同理;

當(dāng)b＞a≥c時, (aσb) σc=0σc=0, aσ( bσc)=aσc=c, 故不等式成立, 其余證明同理.

以下討論分配律.

定理2 (1) 當(dāng)a、b、c滿足下例條件之一時, 有aσ( bαc)=(aσb) α( aσc)：

(i) a≥b＞c,(ii) b≤a＜c;

當(dāng)a、b、c滿足下例條件之一時, 有aσ( bαc)＜(aσb) α( aσc)：

(i) a＜b≤c, (ii) a≥c≥b, (iii) a≤c≤b, (iv) b＞a≥c.

(2) 當(dāng)a、b、c滿足下例條件之一時, 有(aαb) σc=(aσc) α( bσc)：

(i) a≥c＞b,(ii) b＜a=c;

當(dāng)a、b、c滿足下例條件之一時, 有(aαb) σc＜(aσc) α( bσc)：

(i) a≥b≥c, (ii) a≤b≤c, (iii) a≤c≤b,(iv) b≥a≥c,(v) b≤a＜c.

在威遠(yuǎn)鎮(zhèn)卓扎灘村建立馬鈴薯“下寨65”“青薯2號”“青薯9號”原原種標(biāo)準(zhǔn)化繁育技術(shù)示范田2.08 hm2，平均產(chǎn)量2.54×104kghm-2，總產(chǎn)量達(dá)5.28×104kg；實現(xiàn)收入3.81萬元/hm2，按1.5元/kg計算，總產(chǎn)值7.92萬元。

(3) 當(dāng)a、b、c滿足下例條件之一時, aα( bσc)=(aαb) σ( aαc)：

(i) a≤c≤b,(ii) a≥c≥b,(iii) a≥b≥c,(iv) b≥a≥c,(v) b＜a≤c;

當(dāng)a≤b＜c時, 有aα( bσc)＜(aαb) σ( aαc).

(4) 當(dāng)a、b、c滿足下例條件之一時, 有(aσb) αc=(aαc) σ( bαc)：

(i) a≥b＞c, (ii) a≤b≤c,(iii) b≤a≤c, (iv) a＜c=b;

當(dāng)a、b、c滿足下例條件之一時, 有(aσb) αc＞(aαc) σ( bαc)：

(i) a＞b=c, (ii) a＞c≥b,(iii) a≤c＜b, (iv) b＞a≥c.

(5) 當(dāng)a、b、c滿足下例條件之一時, 有aσ( bεc)=(aσb) ε( aσc)：

(i) a≥b≥c, (ii) a≤b≤c, (iii) a≥c≥b, (iv) a＜c≤b, (v) b≤a≤c;

當(dāng)a、b、c滿足b＞a≥c時, 有aσ( bεc)＜(aσb) ε( aσc).

(6) 當(dāng)a、b、c滿足下例條件之一時, 有(aεb) σc=(aσc) ε( bσc)：

證明 只證明(1)的情況, 其余證明同理.

(i) a≥b≥c,(ii) a≤b≤c,(iii) a≥c≥b, (iv) a＜c≤b, (v) b≤a≤c;

當(dāng)b＞a≥c時, 有(aεb) σc＞(aσc) ε( bσc).

(7) 當(dāng)a、b、c滿足下例條件之一時, 有aα( bεc)=(aαb) ε( aαc)：

(i) a≤c≤b,(ii) a≥c≥b, (iii) a≥b≥c, (iv) b≥a≥c, (v) b＜a≤c;

當(dāng)a≤b＜c時, 有aα( bεc)＞(aαb) ε( aαc).

(8) 當(dāng)a＞c≥b時, 有(aεb) αc=(aαc) ε( bαc);

當(dāng)a、b、c滿足下例條件之一時, 有(aεb) αc＞(aαc) ε( bαc)：

(i) a≥b＞c, (ii) a≤b≤c, (iii) a≤c≤b, (iv) b≤a≤c, (v) b≥a≥c.

(9) 當(dāng)a、b、c滿足下例條件之一時, 有aε( bαc)=(aεb) α( aεc)：

(i) a≥c≥b, (ii) a≤b≤c, (iii) a≤c≤b,(iv) b≤a≤c, (v) b＞a≥c;

當(dāng)a≥b＞c時, 有aε( bαc)＜(aεb) α( aεc).

(10) 當(dāng)a＜b=c時, 有(aαb) εc=(aεc) α( bεc);

當(dāng)a、b、c滿足下例條件之一時, 有(aαb) εc＜(aεc) α( bεc)：

(i) a≤b＜c, (ii) a≥b≥c, (iii) a≥c≥b, (iv) b≥a≥c, (v) b≤a≤c.

(11) aε( bσc)=(aεb) σ( aεc)恒成立.

(12) 當(dāng)a、b、c滿足下例條件之一時, 有(aσb) εc=(aεc) σ( bεc)：

(i) a≥b≥c, (ii) a≤b＜c, (iii) b≤a＜c;

當(dāng)a、b、c滿足下例條件之一時, 有(aσb) εc＞(aεc) σ( bεc)：

(i) a＜b=c, (ii) a≤c＜b, (iii) a＜c≤b, (iv) b＞a≥c, (v) b＜a=c, (vi) a≥c＞b.

證明 只證明(1)的情況, 其余同理可證.

當(dāng)a≥b＞c時, aσ( bαc)=aσc=c, (aσb) α( aσc)=bαc=c, 故等式成立, 其余證明同理.

當(dāng)a＜b≤c時, aσ( bαc)=aσ1=0, (aσb) α( aσc)=0α 0=1, 故不等式成立, 其余證明同理.

致謝： 衷心感謝四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)軟件學(xué)院王學(xué)平教授的細(xì)心指導(dǎo)與熱情幫助！

[1] Birkhoff G. Lattice theory[M]. 3th Ed. AMS Colloquium Publications, 1979： 45-49.

[2] Di A, Nola W, Pedrycz E. Fuzzy Relation equqtions and their applicatlons to knowledge engineering[M]. Netherlands： Kluwer academic publishers, 1989： 7-9, 21-24.

[3] Di A Nola, Lettieri A. Relation equations in residuated lattices[J]. Final versionin Rend Circ Mat Palermo, 1988, 34： 95-106.

[4] Sanchez E. Resolution of composite fuzzy relation equations[J]. Inform and Control, 1976, 30： 38-48.

[5] Ernvall R. Generalized Bernoulli numbers, generalized irregular prime, and class number[J]. Ann Univ Turku Ser A I, 1979, 178： 1-72.

[6] 王學(xué)平. 雙蘊含算子的性質(zhì)[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報： 自然科學(xué)版, 1989, 12： 126-130.

(責(zé)任編校： 劉曉霞)

The relationships among operators σ, α, ε in fuzzy sets

WU Li
(1. Department of Mathematics, ABa Teachers College, Wenchuan 623000, China; 2. College of Mathematics and Software Science, Sichuan Normal University, Chengdu 610066, China)

The relationships among operators σ, α and ε were discussed, the associative and distribution laws laws of operators σ, α and ε were investigated. The conditions was put forward under the associate laws of operators σ, α and ε holds, respectively. And then put forward the conditions under the distributive laws are true among operators σ, α and ε.

Operater σ; Operater α; Operater ε; Distribution law; Associative law

O 159

1672-6146(2012)02-0001-03

10.3969/j.issn.1672-6146.2012.02.001

2012-05-03

四川省教育廳自然科學(xué)基金項目(12ZB002); 阿壩師專校級科研基金項目.

吳莉(1982-), 女, 講師, 主要從事代數(shù)及數(shù)論研究. E-mail： Lilihurry@yahoo.com.cn